对偶原理
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证明：对于问题（P）的任意一个可行解X ，必有
CX≤Y*b 但 CX*=Y*b ， 故对原问题（P）的所有可行解X，有
CX≤CX* 所以，X*为原问题（P）的最优解。 同理可证Y*是对偶问题（D）的最优解。
例Leabharlann min W 20 y1 20 y2
max Z x1 2x2 3x3 4x4
x1 2x2 2x3 3x4 20
C)X
*
0
根据这一定理，在一对对偶问题中，我们可以把其 中任何一个称为原问题，则另一个就是其对偶问题.
定理1（对称性定理）对偶问题的对偶是原问题.
证明：对于问题（D）
minW Yb
(D)
s.t.
YA C Y 0
将问题(D)改写对称形 式(D)’ ：
maxW (bT )Y T
s.t.
( AT
xj 0( j 1, 2,3)
解：此问题的对偶问题为 max Z x1 2x2
min W 2 y1 y2
y1 2 y2 1
s.t.
s.t.
y1 y2 2 y1 3y2 0
y1, y2 0
x1 x2 x3 2 2x1 x2 3x3 1 xj 0( j 1, 2,3)
Y
T
)Y 0
T
CT
记对偶变量为XT，
则(D)’的对偶规划为
min z' ( X TCT )
即
s.t.
X X
T T
(
AT 0
)
bT
max Z CX
AX b
s.t.
X
0
这就是原问题(P),证毕.
定理2（弱对偶定理） 设 X 和 Y 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有
CX Yb
中一个问题有可行解，但目标函数无界，则另一个
问题无可行解.
注：推论2不存在逆.
推论3：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其中一个问题 有可行解，而另一个无可行解，则该问题无界.
定理3(最优性判别定理) 若X*和Y*分别是问题(P)和(D)的可行解，且
CX*=Y*b， 则X*，Y*分别是问题(P)和(D)的最优解.
minW Yb (D) s.t.YYA0C
由弱对偶性，有下面推论：
CX Yb
推论1：若 X0 和Y0 分别是问题(P)和(D)的可行解，则 （1） CX0是问题(D)的目标函数的一个下界； （2） Y0 b是问题(P)的目标函数的一个上界。
推论2：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其中一个问题 有可行解，但目标函数无界，则另一个问题无可行解.
定理1（对称性定理）对偶问题的对偶是原问题.
定理2（弱对偶定理） 设 X 和 Y 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有
CX Yb
推论1：若 X0 和Y0 分别是问题(P)和(D)的可行解，则 （1） CX0是问题(D)的目标函数的一个下界； （2） Y0 b是问题(P)的目标函数的一个上界。
推论2(无界性)：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其
(DP)
y1 2 y2 1
s.t.
2 y1 y2 2 2y1 3y2 3
3y1 2 y2 4
y1, y2 0
max Z x1 2x2 _ 3x3 4x4
解： 由观察可知
s.t.
x1 2x2 2x3 3x4 20 2x1 x2 3x3 2x4 20
s.t. 2x1 x2 3x3 2x4 20
x j 0( j 1,2,3,4)
y1 2 y2 1
s.t.
2 y1 y2 2 2y1 3y2 3
3y1 2 y2 4
试估计它的目标函数值的界,并验证弱对偶定理.
max Z x1 2x2 3x3 4x4
解：
s.t.
问题(LP)的对偶问题(DP)为
x1 2x2 2x3 3x4 20 2x1 x2 3x3 2x4 20 x j 0( j 1,2,3,4)
min W 20 y1 20 y2
定理4（对偶定理） 若一对对偶问题（P）和（D）一个有最优解，则 另一个也有最优解，且目标函数的最优值必相等.
定理5（互补松弛定理）
设 X* 和Y* 分别是问题（P）和（D）的可行解， 则它们分别是最优解的充要条件是 同时成立：
Y * X S 0
YS
X*
0
Y *(b AX * ) 0
(Y
*A
证明：因 X 是问题(P)的可行解，故必有
AX b; X 0
(1)
同理,由于 Y 是问题(D) 的可行解，故必有
YA C;Y 0
(2)
用 Y 左乘不等式（1）两边得
YAX Yb
(3)
用 X 右乘不等式（2）两边得
max Z CX
(P)
s.t.
AX X 0
b
YAX CX
(4)
由（3）和（4）式可知 CX YAX Yb 证毕.
3y1 2 y2
4
W Yb 40
y1, y2 0
故 CX Yb ，弱对偶定理成立。
且由推论1知，对偶问题目标函数W的下界为10， 原问题目标函数Z的上界为40。
例：利用对偶性质判断下面问题有无最优解
max Z x1 2x2
s.t.
x1 x2 x3 2 2x1 x2 3x3 1
由观察可知 X (0,0,0)T 是原问题的一个可行解。
因 y1, y2 0 而其对偶问题的第一个约束条件 y1 2y2 1
不能成立，因此对偶问题不可行。故由推论3知原 问题无界。
定理3 (最优性判别定理) 若X*和Y*分别是问题(P)和(D)的可行解，且 CX*=Y*b， 则X*，Y*分别是问题(P)和(D)的最优解.
xj 0( j 1, 2,3, 4)
X (1,1,1,1)T ,Y (1,1)
min W 20 y1 20 y2
分别是原问题和对偶问题的可行解。 y1 2 y2 1
且原问题的目标函数值为
Z CX 10
s.t.
2 y1 y2 2 2y1 3y2 3
对偶问题的目标函数值为
注：推论2不存在逆.
推论3：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其中一个问题 有可行解，而另一个无可行解，则该问题无界.
例 已知原问题(LP)，
max Z x1 2x2 3x3 4x4
s.t.
x1 2x2 2x3 3x4 20 2x1 x2 3x3 2x4 20
x j 0( j 1,2,3,4)
CX≤Y*b 但 CX*=Y*b ， 故对原问题（P）的所有可行解X，有
CX≤CX* 所以，X*为原问题（P）的最优解。 同理可证Y*是对偶问题（D）的最优解。
例Leabharlann min W 20 y1 20 y2
max Z x1 2x2 3x3 4x4
x1 2x2 2x3 3x4 20
C)X
*
0
根据这一定理，在一对对偶问题中，我们可以把其 中任何一个称为原问题，则另一个就是其对偶问题.
定理1（对称性定理）对偶问题的对偶是原问题.
证明：对于问题（D）
minW Yb
(D)
s.t.
YA C Y 0
将问题(D)改写对称形 式(D)’ ：
maxW (bT )Y T
s.t.
( AT
xj 0( j 1, 2,3)
解：此问题的对偶问题为 max Z x1 2x2
min W 2 y1 y2
y1 2 y2 1
s.t.
s.t.
y1 y2 2 y1 3y2 0
y1, y2 0
x1 x2 x3 2 2x1 x2 3x3 1 xj 0( j 1, 2,3)
Y
T
)Y 0
T
CT
记对偶变量为XT，
则(D)’的对偶规划为
min z' ( X TCT )
即
s.t.
X X
T T
(
AT 0
)
bT
max Z CX
AX b
s.t.
X
0
这就是原问题(P),证毕.
定理2（弱对偶定理） 设 X 和 Y 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有
CX Yb
中一个问题有可行解，但目标函数无界，则另一个
问题无可行解.
注：推论2不存在逆.
推论3：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其中一个问题 有可行解，而另一个无可行解，则该问题无界.
定理3(最优性判别定理) 若X*和Y*分别是问题(P)和(D)的可行解，且
CX*=Y*b， 则X*，Y*分别是问题(P)和(D)的最优解.
minW Yb (D) s.t.YYA0C
由弱对偶性，有下面推论：
CX Yb
推论1：若 X0 和Y0 分别是问题(P)和(D)的可行解，则 （1） CX0是问题(D)的目标函数的一个下界； （2） Y0 b是问题(P)的目标函数的一个上界。
推论2：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其中一个问题 有可行解，但目标函数无界，则另一个问题无可行解.
定理1（对称性定理）对偶问题的对偶是原问题.
定理2（弱对偶定理） 设 X 和 Y 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有
CX Yb
推论1：若 X0 和Y0 分别是问题(P)和(D)的可行解，则 （1） CX0是问题(D)的目标函数的一个下界； （2） Y0 b是问题(P)的目标函数的一个上界。
推论2(无界性)：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其
(DP)
y1 2 y2 1
s.t.
2 y1 y2 2 2y1 3y2 3
3y1 2 y2 4
y1, y2 0
max Z x1 2x2 _ 3x3 4x4
解： 由观察可知
s.t.
x1 2x2 2x3 3x4 20 2x1 x2 3x3 2x4 20
s.t. 2x1 x2 3x3 2x4 20
x j 0( j 1,2,3,4)
y1 2 y2 1
s.t.
2 y1 y2 2 2y1 3y2 3
3y1 2 y2 4
试估计它的目标函数值的界,并验证弱对偶定理.
max Z x1 2x2 3x3 4x4
解：
s.t.
问题(LP)的对偶问题(DP)为
x1 2x2 2x3 3x4 20 2x1 x2 3x3 2x4 20 x j 0( j 1,2,3,4)
min W 20 y1 20 y2
定理4（对偶定理） 若一对对偶问题（P）和（D）一个有最优解，则 另一个也有最优解，且目标函数的最优值必相等.
定理5（互补松弛定理）
设 X* 和Y* 分别是问题（P）和（D）的可行解， 则它们分别是最优解的充要条件是 同时成立：
Y * X S 0
YS
X*
0
Y *(b AX * ) 0
(Y
*A
证明：因 X 是问题(P)的可行解，故必有
AX b; X 0
(1)
同理,由于 Y 是问题(D) 的可行解，故必有
YA C;Y 0
(2)
用 Y 左乘不等式（1）两边得
YAX Yb
(3)
用 X 右乘不等式（2）两边得
max Z CX
(P)
s.t.
AX X 0
b
YAX CX
(4)
由（3）和（4）式可知 CX YAX Yb 证毕.
3y1 2 y2
4
W Yb 40
y1, y2 0
故 CX Yb ，弱对偶定理成立。
且由推论1知，对偶问题目标函数W的下界为10， 原问题目标函数Z的上界为40。
例：利用对偶性质判断下面问题有无最优解
max Z x1 2x2
s.t.
x1 x2 x3 2 2x1 x2 3x3 1
由观察可知 X (0,0,0)T 是原问题的一个可行解。
因 y1, y2 0 而其对偶问题的第一个约束条件 y1 2y2 1
不能成立，因此对偶问题不可行。故由推论3知原 问题无界。
定理3 (最优性判别定理) 若X*和Y*分别是问题(P)和(D)的可行解，且 CX*=Y*b， 则X*，Y*分别是问题(P)和(D)的最优解.
xj 0( j 1, 2,3, 4)
X (1,1,1,1)T ,Y (1,1)
min W 20 y1 20 y2
分别是原问题和对偶问题的可行解。 y1 2 y2 1
且原问题的目标函数值为
Z CX 10
s.t.
2 y1 y2 2 2y1 3y2 3
对偶问题的目标函数值为
注：推论2不存在逆.
推论3：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其中一个问题 有可行解，而另一个无可行解，则该问题无界.
例 已知原问题(LP)，
max Z x1 2x2 3x3 4x4
s.t.
x1 2x2 2x3 3x4 20 2x1 x2 3x3 2x4 20
x j 0( j 1,2,3,4)