多自由度机械系统动力学

例：图示系统中,杆OA和AB以铰链相连,O端为圆柱绞， B端自由,杆重及摩擦不计，杆长 OA=l1，AB=l2，设二 杆均在铅垂面内,OA杆与铅垂线成φ1角，杆AB与铅垂 线成φ2角.今在点A和B分别作用铅垂向下的力F1和F2， 求在图示位置时的广义力。
解：1、定义法求广义力 此为具有二个自由度的双摆系统，选取φ1和φ2为广义 坐标，对应的广义虚位移为φ1和φ2，由定义得：
抖 yA Q1 = F1 + F2 抖 f1 抖 yA Q2 = F1 + F2 抖 f2 yB f1 yB f2
因
y A = l1 cos f 1 , y B = l1 cos f 1 + l2 cos f 2
求出相应的偏导数，代入广义力公式有：
Q1 = - ( F1 + F2 )l1 sin f 1 Q2 = - F2l2 sin f 2
2
cos ) l 2x
系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面 为重力势能零点）
1 2 U kx m2 gl cos 2
拉格朗日函数：
L T U 1 1 2 m2l 2 (m1 m2 ) x 2 2
2
1 2 l cos kx m2 gl cos m2 x 2 L L (m1 m2 ) x m2l cos , kx x x
2、用虚功方法求Q1和Q2，可先令φ2=0，可得： 由于 d rA = d rB = l1df 1 代入上式得： Q1 = - ( F 1 +F 2 )l1 sin f 1 再令φ1=0，可得：
' d WF - F1 sin f 1d rA - F2 sin f 1d rB Q1 = = df 1 df 1
二自由度系统。保守
系统。取 x , 为广义 坐标， x 轴 原点位于 弹簧自然长度位置，
逆时针转向为正。
2 cos ) 2 l vB (x sin ) 2 (l
2 2 l 2 x os l 2x
系统动能：
1 1 1 1 2 2 2 2 l 2 T m1 x m2 vB m1 x m2 ( x 2 2 2 2 1 1 2 2 m x m2l 2 (m1 m2 ) x 2 l cos 2 2
'' d WF - F2 sin f 2d rB Q2 = = , d rB = l2df 2 \ Q2 = - F2l2 sin f 2 df 2 df 2
[例 3] 刚度为 k 的弹簧相连滑块A，质量为m1, 可在光滑水平 面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为m2 ， 试列出该系统的运动微分方程。 解：将弹簧力计入主 动力，则系统成为具 有完整、理想约束的