《简单组合体的结构特征》习题

《简单组合体的结构特征》习题

一、选择题

1．下列命题正确的是( )

A．棱柱的底面一定是平行四边形

B．棱锥的底面一定是三角形

C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥

D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

2．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )

A．三棱锥B．四棱锥

C．五棱锥D．六棱锥

3．给出四个命题：

①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；

②底面是矩形的平行六面体是长方体；

③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；

④长方体一定是正四棱柱．

其中正确命题的个数是( )

A．0个B．1个C．2个D．3个

4．如图1­1是一幅电热水壶的主视图，它的俯视图是( )

图1­1

5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是( ) A．16πB．20πC．24πD．32π

6．两个球的体积之和为12π，且这两个球的大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是( )

A.1

2B．1C．2D．3

7．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )

A．4B．3C．2D．5

8．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现又沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图1­2所示的平面图形，则标“△”的面的方位是( )

图1­2

A ．南

B ．北

C ．西

D ．下

9．图1­3是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )

图1­3

A ．32π

B ．16π

C ．12π

D ．8π

10．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，如图1­4.若将△ABC 绕BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )

图1­4

A ．92π

B ．.72π

C ．.52π

D ．32π 二、填空题

11．正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的体积为__________．

12．圆台的高是12 cm ，上、下两个底面半径分别为4 cm 和9 cm ，则圆台的侧面积是__________．

13．已知四棱锥P ­ABCD 的底面是边长为6的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝8，则该四棱锥的体积是________．

14．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________． 三、解答题

15．圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形ABCD ，求圆柱的侧面上从A 到C 的最短距离．

16．如图1­5，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85 m ，底面的边长是1.5 m ，制造这种塔顶需要多少平方米铁板(精确到0.1 m 2)？

图1­5

17．如图1­6是一个奖杯的三视图．求这个奖杯的体积(精确到0.01cm3)．

图1­6

18．如图1­7，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为多少？

图1­7

19．如图1­8，已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．

(1)求圆柱的侧面积；

(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大．

图1­8

20．如图1­9，在正四棱台内，以小底为底面，大底面中心为顶点作一内接棱锥．已知棱台小底面边长为b，大底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个棱锥的高，并指出有解的条件．

图1­9

答案

1．D 2.D 3.A 4.D 5.C 6.B

7．B 解析：如图D60，设球的半径是r ，则π·BD 2＝5π，π·AC 2＝8π，∴BD 2＝5，AC 2＝8.又AB ＝1，设O A ＝x .∴x 2＋8＝r 2，(x ＋1)2＋5＝r 2.解得r ＝3.

图D60

8．B 9.C

10．D 解析：旋转体的体积就是一个大圆锥体积减去一个小圆锥的体积，13·π·(3)2

×5

2－13·π·(3)2

×1＝3

2π.

11．2 3 12.169πcm 2 13.96 14.1∶8

15．解：如图D61，由圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形，知：圆柱高CD 为5 cm ，底面半径为2.5 cm ，底面周长为5π cm ，则AD 为2.5π cm ，圆柱侧面上从A 到C 的最短距离即是矩形ABC D 的对角线长为52

＋

π

2

＝5

2 π2

＋4 (cm )．

图D61

16．解：SE ＝0.852＋0.752. 所需铁板面积为

S ＝4×⎝⎛⎭⎫12×1.5×0.852＋0.752≈3.4(m 2)．

17．解：由三视图可以得到奖杯的结构，底座是一个正四棱台，杯身是一个长方体，顶部是球体．

V 正四棱台＝1

3×5×(152＋15×11＋112)≈851.667(cm 3)， V 长方体＝18×8×8＝1152(cm 3)， V 球＝4

3π×33≈113.097(cm 3)， 所以，这个奖杯的体积为

V ＝V 正四棱台＋V 长方体＋V 球≈2116.76(cm 3)．