第二讲 随机事件概率与加法公式

P( A)
事件A包含的基本事件数 总基本事件数
m n
3 排列组合 基本计数原理 1. 加法原理 设完成一件事有m类方式， 第一类方式有n1种方法， 第二类方式有n2种方法, 则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm … 第m类方式有nm种方法, 种方法 . 无论通过哪种方法都可以 完成这件事，
分5名到1班： C 5 分5名到2班： C
10
1班
2班
3班
第三步： 剩下5名到3班： 1 总分法共有： C 5 C 5 1
15
15 5 10
例12 P 13 15名新生（其中有3名优秀生）平均分配到三 个班，求下列概率（1）A={ 每班分到一名优秀生} （2） B={3名优秀生在同一个班} .
特殊的加法公式
其它性质 性质4（一般加法公式） 对任意两个事件A、B
S
A
B
P( A B) P( A) P( B) P( AB) P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC) P( BC) P( ABC)
证明 P( A B) P( A A B) P ( A) P ( A B )
P( A B) P( A) P( B)
7 65 6 5 15
43
2 1
取1个球 共 2次
4个白球,2个红球
例9 一部5卷文集任意排在书架上，求第一卷 排在左端或第五卷排在右端的概率 解： A=“第一卷安排在左端” B=“第五卷排在右端”
P( A B) P( A) P( B) P( AB) 4! 4! 3! 7 5! 5! 5! 20
解 （1）A={恰有1个白球} 1 1 m C5 C3 P( A) 2 n C8
取两个球
（2）B={全是白球} 5个白球, 3个红球 2 m C 5 P( B) n 1 1 2 C82 C5 C3 C5 m （3）C={至少有1个白球} P(C ) 2 n C8 2 或者 P (C ) 1 P(C) 1 C3 C82
5 6 6 6 6 9
4 4 2 2
取1个球 共 2次
4个白球,2个红球
例8 P10 一袋中装有6只大小相同的乒乓球，其 中4只是白色，2只是红色。从袋中取球2次，每 次1只，试分别按下列两种方式取得的2只球颜色 相同的概率。(1)有放回抽取；(2)无放回抽取 解： 设 A=“2只球都是白色” B=“2只球都是红色” (2)无放回抽取
k n
记住八字方针：分类，分步，有序，无序
三 古典概型中概率计算举例(加法公式练习) 例1 P10 一枚硬币抛3次，观察正面H与反面T 出现情况，求下列事件的概率（1）A={恰好出 现一次正面} （2）B={至少有一次正面} . 解： S {HHH, HTH , HHT, THH ,
THT , TTH , HTT , TTT } 3 (1) P ( A) 8 7 (2) P ( A) 1 P( A) 8
分法共有
4 12 4 8 5 10
4 8
1
例12 P 13 15名新生（其中有3名优秀生）平均分配到三 个班，求下列概率（1）A={ 每班分到一名优秀生} （2） B={3名优秀生在同一个班} .
平均分配到三个班
解：
3名优秀生
12名优非秀生
总分法共有： C C 1 （2）B={3名优秀生在同一个班} 第一步：3名优秀生选1个班 3 2 第二步： 选2人到优秀生班：C12 5 第三步： 10人平分到剩余2个班： C 1 10 5 分法共有 3 C 2 C10 1
A
B
1 PA B PB AB PB P A 4
B
S
A
7 PA B PB) P( AB 18
A
AB
B
S
A B
3 概率的公理化定义 P7 设S 是随机试验E的样本空间， S 中每个随机 事件A, 对应一个实数P(A), 且集合函数P(· )满足: (1) 非负性 P( A) 0 P(A) A (2) 规范性 P( S ) 1 P() 0
A P n(n 1)( n 2) (n k 1)
k n
k n
4 组合: 从n个不同元素取 k个组成一组(无秩序) 称从n个不同元素取 k个的一个组合 从n个不同元素取 k个的不同组合总数为：
n(n 1)...( n k 1) C k (k 1)....3.2.1
例4 两封信随机地向标号为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ的4个邮 筒投寄,求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率
I II III IV
解 A={第二个邮筒恰好被投入1封信}
1 1 m C C 3 P ( A) 2 3 n 8 44
例5 将一颗骰子抛掷4次,问至少出一次 “6”点 的概率是多少？ . 解 A={至少出一次“6”点}
r 365 r
例7 P13 在1~2000的整数中任取一数，问取到的 数既不能被6整除又不能被8整除的概率是多少？ 解 设A=“取到的数能被6整除” B=“取到的数能被8整除”
P( A B ) P( A B) 1 P( A B)
1 P( A) P( B) P( AB) 333 250 83 3 1 2000 2000 2000 4
(3) 完全可加性： 对于两两互不相容事件A1，A2，…，An….
P( A1 A2 ..An ...) P( A1 ) P( A2 ) ... P( An ) ...
则 P(A)称为A的概率
二 概率的古典定义
1 古典概型 满足下述条件随机试验称为古典概型
(1) 它的样本空间只有有限多个样本点
2. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤， 第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, … 第m个步骤有nm种方法, 必须通过每一步骤,才算完成这件事， 则完成这件事的方法共有
n1 n2 nm
3 排列: 从n个不同元素取 k个按一定的次序排成一列 称从n个不同元素取 k个的一个排列 从n个不同元素取 k个的不同排列总数为：
N n A (2) P ( B ) 1 P( A) 1 N n N
N
n N n
例11 P12 袋中有a只白球，b只红球，k个人一 次在袋中取一球，（1）作放回抽样（2）作不放 回抽样，求第i(i=1,2,…k)个人抽到白球的概率 . 解： A={第i个人抽到白球} a只白球 (1)作放回抽样 a 每人依次 P ( A) 取一球 ab b只红球 （2）作不放回抽样 第一步：第i个人取一白球 ，有a种取法 第二步：剩下k-1个人每人取一球，有 Ak 1种取法
(2) 每个样本点出现的可能性相同 实例 “抛掷一枚均匀的骰子,观察出现的点 数”. 结果有可能为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
2 概率的古典定义 设试验E是古典概型,其样本空间S由n个基本事件 组成, 事件A由m个基本事件组成
A 有m个基本事件
S共有n个基本事件
例1
1 1 P( A) P( B) 就下列情况,求 设A,B为随机事件, 4 2
解 (1) A与B互斥
1 P( AB) (1) A与B互斥 (2) A B (3) P ( AB ) 9
1 P( AB) P( B) 2 (2) A B
1 (3) P ( AB ) 9
S
例8 P10 一袋中装有6只大小相同的乒乓球，其 中4只是白色，2只是红色。从袋中取球2次，每 次1只，试分别按下列两种方式取得的2只球颜色 相同的概率。(1)有放回抽取；(2)无放回抽取 解： 设 A=“2只球都是白色” B=“2只球都是红色” (1)有放回抽取
P( A B) P( A) P( B)
P ( A) P ( A B ) P ( AB ) P ( AB )
P ( A) P ( B ) P ( AB )
性质5 P( A ) 1 P( A) 性质6 若 A B ，则 （1）P( A) P( B)
S A
B
（ 2） P( B A) P( B) P( A)
例2 P12 有N件产品，其中有D件次品，取n件 产品，问恰有k（k≤D ，）件次品的概率 . 解： A={ 取n件恰有k件次品}
D件次品
取n件 N-D件正品
C C P ( A) n CN
k D
n k N D
例3 袋内装有5个白球，3个红球。从中任取两个球， 计算下列事件的概率（1）恰有1个白球 ,（2）全是白 球 （3）至少有1个白球
probability
4 概率的性质
(1) 非负性 P( A) 0
(2) 规范性 P( S ) 1 P() 0
(3) 完全可加性： 对于两两互不相容事件A1，A2，…，An….
A1
S
A2 …
A3
An …
P( A1 A2 ..An ...) P( A1 ) P( A2 ) ... P( An ) ...
① ② ③ ④ ⑤
例10 P11 设有n个人，每个人都等可能地分配 到N (n≤N)个房间中的任意一间去住，求以下事件 发生的概率。(1) A=“恰好有n个房间，其中各住 1人”；(2) B=“至少有两人住进了一个房间”。 … (1) (2) (3) … (N)
解： (1) P ( A) N ( N 1)....(N n 1) A n
第二讲
随机事件的概率及加法公式 一 概率的统计定义
P5
二 加法公式
三 古典概率
一 概率的统计定义
1 频率 n次实验中事件A出现的次数m 称 f (A) = m 为事件A发生的频率 n n 注意：频率的大小随试验变化 2 频率的性质： 频率具有稳定性
1 请观察下列表格
实验者 Demorgan 抛的次数n 正面朝上次数 频率m/n
2048
1061 2048
0.518 0.5069
Buffon
Pearson
4040 12000 24000
6019
12012
0.5016
0.5005
Pearson
容易知道: 试验次数增加,频率趋于0.5
3 概率定义 随机事件A的频率的极限值p称为A的概率
即
f n ( A) p P( A) lim n
P ( A) 1 P( A)
5 5 5 5 1 6 66 6 4 5 1 4 6
例6 有r 个人，设每个人的生日是365天的任 何一天是等可能的，试求事件“至少有两人 同生日”的概率.
解 A={至少有两人同生日}
P( A) 1 P( A)
P 365 364 .... ( 365 r 1 ) P( A ) 365 365 365 .... 365 r P365 r个365 P( A) 1 r 365
P ( A)
a A A
k 1 a b 1
k a b
a ab
a b1
例12 P 13 15名新生（其中有3名优秀生）平均分配到三 个班，求下列概率（1）A={ 每班分到一名优秀生} （2） B={3名优秀生在同一个班} .
平均分配到三个班
解：
3名优秀生
12名优非秀生
总分法： 第一步： 第二步：
5 15 5 10
1班
2班
3班
6 P( A) 5 5 C15 C10 1 91
3 C C 1
2பைடு நூலகம்12 5 10
12
平均分配到三个班
解：
3名优秀生
12名优非秀生
总分法共有： C C 1 （1）A={ 每班分到一名优秀生} 第一步： 每班一名优秀生 3! 4 4 第二步： 12人平分到3个班：C12 C8
5 15 5 10
1班
2班
3班
3! C C 1 4 3!C12 C 1 25 P( A) 5 C15 C 1 91