江苏省南通市如东县2020-2021学年高一上学期期末数学试题

江苏省南通市如东县2020-2021学年高一上学期期末数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合{}|11M x x =-<<，{}02|N x x =≤<，则M N ⋃等于（ ） A ．{}|12x x -<<
B ．{}|01x x ≤<
C ．{}1|0x x <<
D ．{}|10x x -<< 2．cos960︒等于（ ）
A
． B
．2 C ．12- D ．12
3．已知点()1,2A ，()3,4B ，则与AB 共线的单位向量为（ ）
A
．22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B
．22⎛
⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
C
．22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
或22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
D ．()2,2
4．已知函数112
3,0()log (1),0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，则[(3)]f f 等于（ ） A ．27- B ．127 C ．3 D ．9
5．在ABC 中，D 为边BC 上的一点，且3BD DC =，则AD =( )
A ．3144A
B A
C + B ．1344AB AC + C ．1344AB AC -
D ．3144AB AC - 6．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点（2
，则()2log 2f 的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．12- D ．1- 7．已知角α的终边过点()1,1P -，则
sin 2cos 2sin cos αααα+-等于（ ） A ．13
B ．13-
C ．3
D ．3- 8．求值：222sin sin cos 33ππααα⎛
⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭（ ）
A ．12-
B ．12
C ．0
D ．1-
9．函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的函数，且当[)1,1x ∈-时，()21f x x =-；
已知函数()lg ||g x x =，则函数()()y f x g x =-在区间[]7,10-内的零点个数为（ ） A ．11 B ．13 C ．15 D ．17
10．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，60BAD ∠=︒，点E ，F 分别满足AE ED λ=，DF FC =，若6AF BE ⋅=-，则λ等于（ ）
A ．23
B ．13
C ．1
D ．2
二、多选题
11．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ）
A ．1-
B ．113
C ．32
D ．32
- 12．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．函数()f x 的图象关于2x π
=直线对称
B ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭
对称 C ．函数()f x 在区间36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，上单调递增 D ．1y =与图象()231212y f x x ππ⎛⎫=-
≤≤ ⎪⎝⎭的所有交点的横坐标之和为83π
三、填空题
13．函数1()ln(1)1
f x x x =++-的定义域是________． 14．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，则()()2f x f ≤的解集是________．
15．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为_______________．
16．矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点P 为矩形ABCD 内（包括边界）一点，则PA PB +的取值范围是________．
四、解答题
17．已知()1,2a =，()3,2b =-．
（1）求a b -；
（2）当k 为何值时，ka b +与3a b -垂直？
18．已知函数2()sin cos f x x x x =
+． （1）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值；
（2）若3225f α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，54,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin α的值． 19．已知函数2()1()f x x mx m =-+∈R ．
（1）若函数()f x 在[]1,1x ∈-上是单调函数，求实数m 的取值范围；
（2）若函数()f x 在[]
1,2x ∈上有最大值为3，求实数m 的值．
20．如图，半径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中AB BE <，设AOB θ∠=．
（1）将十字形的面积S 表示为θ的函数；
（2）求十字形的面积S 的最大值．
21．设函数32()32
x x
x x a f x -⋅=+为奇函数． （1）求实数a 的值；
（2）当[1,)x ∈+∞时，求()f x 的值域．
22．如果函数()f x 在定义域的某个区间[],m n 上的值域恰为[],m n ，则称函数()f x 为[],m n 上的等域函数，[],m n 称为函数()f x 的一个等域区间．
（1）若函数2()f x x =，x ∈R ，则函数()f x 存在等域区间吗？若存在，试写出其一
个等域区间，若不存在，说明理由
（2）已知函数()()x f x a a k x b =+-+，其中0a >且1a ≠，0k >，b ∈R ．
（ⅰ）当a k =时，若函数()f x 是[]0,1上的等域函数，求()f x 的解析式；
（ⅱ）证明：当01a <<，1k a ≥+时，函数()f x 不存在等域区间．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据集合并集运算，即可求解.
【详解】
{}|11M x x =-<<，{}02|N x x =≤<
∴{}12M N x x ⋃=-<<
故选：A
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题.
2．C
【分析】
根据三角函数诱导公式，化简求值.
【详解】 由题意1cos960cos(720240)cos(18060)cos602=+=+=-=- 故选：C
【点睛】
本题考查三角函数诱导公式，属于基础题.
3．C
【分析】
由题意写出()2,2AB =.可设与AB 共线的单位向量(),e m m =，由1e =，即可求解.
【详解】
由题意()2,2AB =
设与AB 共线的单位向量(),e m m =，
又1e =
1=
解得212m =，m =
故2,22e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭或2,22e ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
故选：C
【点睛】 本题考查向量共线的坐标运算，属于基础题.
4．B
【分析】
由分段函数代入即可求解
【详解】
由题意
()()11223log 31log 42f =+==-
()()21132327
f f f --⎡⎤=-==⎣⎦ 故选：B
【点睛】
本题考查分段函数求值，属于基础题.
5．B
【分析】
D 为边BC 上的一点，且3BD DC =，D 是四等分点，结合AD AB BD =+，最后得到答案．
【详解】 ∵D 为边BC 上的一点，且3BD DC =，∴D 是四等分点，
()
33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题.
6．A
【分析】
先求幂函数的表达式，进而求值即可.
【详解】
设幂函数f （x ）＝x α，
因为幂函数的图象经过点（2，
所以2α=α12
=，
则幂函数的解析式为()f x =
∴()2f =，()21log 2log ,2
f = 故选：A
【点睛】
本题考查幂函数的求法，考查函数值的求法及对数运算，属于基础题.
7．B
【分析】
由题意，根据三角函数定义，可知tan 1α=-，再将分式上下同除cos α，即可求解.
【详解】
由题意，角α终边过点()1,1P -
tan 1α∴=- 原式sin cos 2sin cos αααα+=-tan 22tan 1αα+=-121213
-+==--- 故选：B
【点睛】
本题考查齐次式求值，属于基础题.
8．B
【分析】
由题意，先根据三角函数两角和与差的正弦公式，化简，即可求值.
【详解】
222sin sin cos 33ππααα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22
211sin sin cos 22ααααα⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222132sin cos cos 44ααα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦ 22213sin cos cos 22
ααα=+- 2211sin cos 22
αα=+ 12
= 故选：B
【点睛】
本题考查两角和与差的正弦公式，三角函数的化简与求值，考察计算能力，属于中等题型. 9．C
【分析】
根据函数的周期性，作出函数()f x 和()g x 的图象，观察图像，即可得到两个函数公共点的个数.
【详解】
函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的函数，且当[)1,1x ∈-时，()21f x x =-； ∴作出函数()f x 的图象如图：
()lg ||g x x =，定义域()(),00,-∞⋃+∞
∴在同一直角坐标系内，作出函数()g x 的图象如图：
当910x ≤≤时，1100x -≤-≤
则()()()2
10110f x f x x =-=--
此时()()101,101f g == ()()90,9lg9f g ==
故由图象可知两个图象的交点个数为15个.
故选：C
【点睛】
本题考查函数周期性、对数函数运算，考查函数与方程思想、数形结合思想，综合性较强，有一定难度.
10．D
【分析】
利用平行四边形法则，将AF BE ⋅分别利用平行四边形的相邻两边表示，然后利用已知计算向量的数量积，列出方程求解参数.
【详解】
由题意4AB =，3AD =，60BAD ∠=︒
216AB ∴=，29AD =，43cos606AB AD ⋅=⨯⋅= 由图知12
AF AD DF AD AB =+=+ AE ED λ= 1AE AD λ
λ∴=+
1BE BA AE AB AD λλ∴=+=-+
+ 则121AF BE AB AD AB AD λλ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭
()
221262121AB AD AB AD λλλλ--=-++⋅=-++ 代入，得()
92866121λλλλ+-+
-⋅=-++ 解得2λ=
故选：D
【点睛】
考查几何图形中的向量表达，化成同一组基底进行数量积的运算，典型题，考查热点，本题属于中等题型.
11．BCD
【分析】
由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解.
【详解】
若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=
230k ∴+=解得23
k =- 若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=
()()2,3,1,AB AC k ==
()1,3BC k ∴=--
2390k ∴-+-=解得113
k = 若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=
()()2,3,1,AB AC k ==
()1,3BC k ∴=--
()130k k ∴-+-=解得k =
综合可得，k 的值可能为21133,,3322--
故选：BCD
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型. 12．BCD
【分析】
根据图象求出函数解析式，再判断各选项．
【详解】
由题意2A =，254312T πππ⎛⎫
=⨯-=
⎪
⎝⎭
，∴22πωπ==，又22sin 223πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，42,32k k Z ππϕπ+=-∈，又ϕπ<，∴6
π
=ϕ， ∴()2sin(2)6
f x x π
=+．
∵722
6
6
π
π
π⨯
+
=
，∴2x π
=不是对称轴，A 错；
sin 20126ππ⎡⎤⎛⎫⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，∴,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭是对称中心，B 正确；
36x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，时，2,622x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 正确；
2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，1sin 262x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，2266x k πππ+=+或522,66x k k Z πππ+=+∈，
即x k π=或3
x k π
π=+，k Z ∈，又2312
12x π
π-
≤≤
，∴40,,,33
x πππ=，和为83π
，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题关键是掌握“五点法”，通过五点法求出函数解析式，然后结合正弦函数性质确定函数()f x 的性质．本题方法是代入法，整体思想，即由已知求出26
x π
+的值或范围，然后结合正弦函数得出结论．
13．(1,1)(1,)-+∞
【分析】
由题意分析，使函数成立需满足真数大于0、分母不为0，然后取交集，即可求解. 【详解】
要使函数1
()ln(1)1
f x x x =++-有意义，需满足10x +>且10x -≠， 得1x >-且1x ≠
故答案为：(1,1)(1,)-+∞
【点睛】
本题考查函数定义域求法，属于基础题.
14．(][)22-∞-⋃+∞，
， 【分析】
由题意先确定函数()f x 在(),0-∞上是增函数，再将不等式转化为()()112f f ⨯≤即可求得x 的取值范围. 【详解】
函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，
∴函数()f x 在区间(),0-∞上是增函数
()()2f x f ≤
()()2f x f ∴≤
2x ∴≥
2x ∴≥或2x -≤
∴解集为(]
[),22,-∞-+∞ 故答案为：(][),22,-∞-+∞
【点睛】
本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型. 15．=4ω. 【分析】
由所给函数图像 过点05(
,)24y π,011(,)24
y π
-，列式115sin()sin()2424
ππ
ωϕωϕ+=-+，利用诱导公式可得.
【详解】
由函数图像过点05(
,)24y π,011(,)24y π-,得05sin()24
y πωϕ=+，011sin()24y πωϕ-=+，所以115sin()sin()2424
ππ
ωϕωϕ+=-+，又两点在同一
周期，所以115()2424
ππ
ωϕπωϕ+=++，4ω=.故答案为4. 【点睛】
本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解能力，属于基础题.
16．[0, 【分析】
由题意，取AB 中点为M ，则有=2PA PB PM +，可知求解2PM 的范围就是PA PB +的范围. 【详解】
由题意，取AB 中点为M ，则有=2PA PB PM +，
=2PA PB PM ∴+，
如图所示，当P 点与D 点或者C 点重合时，=2PA PB PM +取最大值当P 点与M 点重合时，=2PA PB PM +取最小值0
故答案为：[0, 【点睛】
本题考查向量计运算，属于基础题. 17．（1）4（2）19 【分析】
（1）由题意，先求(4,0)a b -=，再求模长；
（2）根据向量垂直，推出数量积为零，求解参数. 【详解】
解：（1）因为()4,0a b -=，所以||4a b -=； （2）因为1(3)221a b ⋅=⋅-+⋅=，
所以2
2
()(3)(13)32380ka b a a ka k a b b k +⋅-=+-⋅-=-=， 解得19k =． 【点睛】
本题考查（1）向量模长的求法；（2）垂直关系的向量表示；本题考查转化与化归思想，属于基础题.
18．（1）6f π⎛⎫= ⎪
⎝⎭（2）sin α= 【分析】
（1）根据三角函数恒等变换，化简函数()sin 232
f x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪
⎝
⎭，再求值；
（2）由（1）代入3225
f α⎛⎫=+
⎪⎝⎭，可知3sin 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由角的范围，求出4cos 35πα⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭，由组合角sin sin 33ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，即可求解.
【详解】
解：（1）因为2
1cos 21
()sin cos sin 222
x f x x x x x -=+=+
sin 23x π⎛
⎫=-+
⎪⎝
⎭
所以6f π⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
（2）因为3sin 23225f απα⎛⎫⎛
⎫=-+=+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭， 所以3sin 35πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
又因为54,63ππα⎛⎫
∈
⎪
⎝⎭
，所以,32ππαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 所以cos 03πα⎛
⎫
-
< ⎪⎝
⎭
，
所以4cos 35πα⎛⎫
-
==- ⎪⎝
⎭， 因此sin sin sin cos cos sin 333333ππππππαααα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-
+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，
314sin 525α⎛⎫=⨯+-=
⎪⎝⎭ 【点睛】
本题考查（1）三角函数恒等变换；（2）配凑组合角求值问题；注意角的取值范围，考察计算能力，属于中等题型.
19．（1）(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞（2）1m = 【分析】
（1）根据二次函数单调性，使对称轴不在区间()1,1-上即可；
（2）由题意，分类讨论，当()13f =时和当()23f =时分别求m 值，再回代检验是否为最大值. 【详解】
解：（1）对于函数()f x ，开口向上，对称轴2
m
x =， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递增时，
12m
≤-，解得2m ≤-， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减时，12
m
≥，解得2m ≥，
综上，(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞．
（2）由题意，函数()f x 在1x =或2x =处取得最大值， 当()13f =时，解得1m =-，此时3为最小值，不合题意，舍去； 当()23f =时，解得1m =，此时3为最大值，符合题意．
综上所述，1m =． 【点睛】
本题考查（1）二次函数单调性问题，对称轴取值范围（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，属于中等题型.
20．（1）2
8sin cos
4sin 2
2
2
S θ
θ
θ
=-（2）max 2S =．
【分析】
（1）由题意，根据三角函数和圆的半径表达2sin 2
AB θ
=，2cos
2
BE θ
=，再计算十字形
的面积；
（2）由（1）中十字形的面积2
8sin cos
4sin 2
2
2
S θ
θ
θ
=-，根据三角恒等变换，化简函数
解析式，即可求解最大值. 【详解】
解：（1）由题意，2sin 2
AB θ
=，2cos
2
BE θ
=，
因为AB BE <，所以0,
2πθ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭
． 所以2
22sin 2cos 2sin 222S θθθ⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭． 即2
8sin
cos
4sin 2
2
2
S θ
θ
θ
=-，0,
2πθ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭
． （2）由（1）得：
4sin 2cos 2S θθ=+-1)2tan 2θϕϕ⎛
⎫=+-= ⎪⎝
⎭
所以max 2S =． 答：（1）2
8sin
cos
4sin 2
2
2
S θ
θ
θ
=-；
（2）max 2S =． 【点睛】
本题考查（1）三角函数在几何图形中的应用；（2）三角恒等变换求最值问题；考察计算能力，实际操作能力，综合性较强，有一定难度.
21．（1）1（2）1,15⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【分析】
（1）由题意，根据奇函数(0)0f =，即可求解；
（2）由（1），将函数化简为31322()32312x
x x
x x x y f x ⎛⎫
- ⎪-⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，导出3121x y y +⎛⎫= ⎪-⎝⎭
，再根据指数函数有界性，求解y 的范围，即可求解值域. 【详解】
解：（1）因为函数()f x 为奇函数，且函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，
所以0000
321(0)0322a a f -⋅-===+，所以1a =． 证明：函数32()32x x
x x
f x -=+，其定义域为R ，
3223()()3223
x x x x
x x x x
f x f x -------===-++，故()f x 为奇函数， 故所求实数a 的值为1．
（2）因为函数31322()32312x
x x x x x y f x ⎛⎫
- ⎪-⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，所以3121x y y +⎛⎫= ⎪-⎝⎭
， 又[1,)x ∈+∞时，3322
x
⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以
1312y y +≥-， 解得
1
15
y ≤<， 故所求函数的值域为1,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭
． 【点睛】
本题考查（1）奇函数定义（2）函数值域求法：反函数法；考查直观想象能力，考查计算能力，技巧性强，有一定难度.
22．（1）[]0,1；见解析（2）（ⅰ）()21x
f x =-（ⅱ）见解析
【分析】
（1）由题意，分析等域区间定义，写出函数2()f x x =的等域区间； （2）（ⅰ）当a k =时，分析函数单调性，分类讨论等域区间，即可求解；
（ⅱ）由题意，根据01a <<，1k a ≥+，判断函数()()x
f x a a k x b =+-+为减函数，再由反证法，假设函数存在等域区间[,]m n ，推导出矛盾，即可证明不存在等域区间. 【详解】
解：（1）函数2
()f x x =存在等域区间，如[]0,1；
（2）已知函数()()x
f x a a k x b =+-+，其中0a >且1a ≠，0k >，b ∈R D （ⅰ）当a k =时，()x
f x a b =+
若函数()f x 是[]0,1上的等域函数， 当1a >时，()f x 为增函数，
则(0)10(1)1f b f a b =+=⎧⎨
=+=⎩得21
a b =⎧⎨=-⎩，此时()21x
f x =-．
当01a <<时，()f x 为减函数，
则(0)11(1)0f b f a b =+=⎧⎨=+=⎩，得00a b =⎧⎨=⎩
，不满足条件．
即()21x
f x =-．
（ⅱ）证明：当01a <<，1k a ≥+时，1k a -≤--，即10a k -≤-<， 则()()x
f x a a k x b =+-+为减函数， 假设函数存在等域区间[,]m n ，
则()()()()m n
f m a a k m b n f n a a k n b m
⎧=+-+=⎨=+-+=⎩， 两式作差()()m
n
a a a k m n n m -+--=-，
即()()()(1)()m
n a a a k m n n m k a m n -=---+-=---，
01a <<，1k a ≥+，0m n a a ∴->，0m n -<，10k a --≥，
则(1)()0k a m n ---<，
等式不成立，即函数()f x 不存在等域区间． 【点睛】
本题考查（1）函数新定义概念辨析（2）函数单调性、最值问题分析；考察计算能力，考查分析问题的能力，探究问题本质为单调性对值域的分析，综合性较强，属于难题.。