数值分析试题

. 华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷A （2015年1月9日）

1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；

2. 所有答案请按要求填写在本试卷上；

3. 课程代码：S0003004；

4. 考试形式：闭卷；

5. 考生类别：硕士研究生；

6. 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一．（12分）解答下列问题 1．欲计算下式： ()13(1)2(1)(2)7(1)(2)(3)6(1)(2)(3)(4),P x x x x x x x x x x x =+-+------+---- 2．设有递推公式 0161,1,2,n n y y y n -⎧=⎪⎨=-=⎪⎩ *001.732y y ≈= 作实际计算，问计算到10y 时误差为初始误差*00y y -的多少 这个计算过程数值稳定吗 ？ . （14分）解答下列问题

1. 若2()63f x x =+，则[1,2,3]f 和[1,2,34]f ，的值分别是多少？

2. 1012估计误差。

三. (10分) 设f 在互易节点i x 上的值()()0,1,....i i f f x i n ==。试证明：f 在节点i x 上的

n次最小二乘拟合多项式

()n p x 与f 在节点i x 上的n 次Lagrange 插值多项式()n L x 一致，即()()=n n p x L x 。

四. (12分) 按代数精度的定义，构造下列形式的求积公式（即确定参数,A B ，

α）:

()()()1

1f x dx Af Bf αα-≈-+⎰ 要求公式具有尽可能高的代数精度，并说明所得公式是不是Gauss 型求积公式。

五. (14分) 已知线性代数方程组Ax=b 为：

⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡=⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡b b x x v d v d 212122110000

(1) 用顺序高斯消去法求解方程组Ax=b ；

(2) 先由(1)的消元过程直接写出A 的LU 分解，再利用该LU 分解求解方程组Ax=b 。

六. (12分) 对方程组323,

,121Ax b A b ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，拟用迭代法 (1)()()(),0,1,

k k k x x Ax b k α+=+-

= 求解，试确定实数α的取值范围，使得该迭代公式收敛。

.

0)/(,0,1

1,,,≠-≠∑-=n i i i i n i i i i i d v u d d b v u d 已知其中

七. (14分) 欲求方程 ln 2 (1)x x x -=> 的根，试

（1）证明 [3, 4] 为方程的一个有根区间；

（2）在区间 [3, 4] 上构造一个收敛的不动点迭代公式；

（3）求所构造迭代公式的收敛阶。

八. (12分) 对初值问题

()()00

y f xy y x y '=⎧⎪⎨=⎪⎩ （1）试利用Taylor 展开公式推导下列数值求解公式： ()()()212

n n n n n n n n n n h y y hf x y f x y y x f x y +'=+++⎡⎤⎣⎦ （2）指出上述公式是几阶公式。

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