施工控制网的优化设计

1 优化设计指标
控制网的优化设计指标包括精度、 可靠性和经济费用指标。 精度指标一般通过精度约束函 数来满足。 可靠性分为内部可靠性和外部可靠性, 常用的指标有: 观测量的多余观测分量、 可发 现粗差的下界值、 外部可靠性尺度等。这些指标均对某些特定的条件有显著作用。根据施工控 制网的特点, 其可靠性指标可用平均可靠率来表示[ 1 ]
第 2 期 顾利亚等: 施工控制网的优化设计
( a ) 使用 标准, 若 t r ( ∃D Υi ) = m in, 则 P i = 0; “ A” ( b ) 使用 “E ” 标准, 若 d iag ( ∃D Υi ) m ax = m in, 即 P i = 0; ( 4) 若
163
∑sign (P ) ≤ t
(1 -
r0 ) , 则结束计算, 否则回到 ( 2) 。 C P = m in A P ≤H P > 0
通过上述步骤获得最优的控制网图形后, 再利用整数规划求解
( 14)
式中, C 为费用系数阵; A 、 H 分别为精度函数, 借助矩阵 K ×R 积变换的权系数阵和约束数列 阵, 由式 ( 14) 可解出满足精度要求的, 费用最优的观测纲要。 具体的解法文献 [ 1 ] 中有详细报 道。
D X1 = D X
P i= 0
协方差增量为 ∃D X i = D X 1 - D X 若按控制网的精度要求建立的权函数为 Υ= FX 则控制网的精度函数为
D Υ = FD X F
T
( 9)
( 10)
精度函数的增量为 ∃D Υi = F ∃D x iF T 在控制网的纯精度指标中, 如果 Κ 1, Κ 2 , …, Κ t 为参数协方差阵 D X 相应的特征值, 则: ( a ) 若 t r (D X ) = Κ 1+ Κ 2 + …+ Κ t = m in, 称 A 最优;
mm
7 ～ 10 5. 0 5. 1 5. 7
完全观测图形 “ 标准图形 A” “E ” 标准图形
4. 1 4. 1 4. 6
在观测图形的优化过程中, 观测量被删除的先后顺序, 实际上反映了该观测量对目标函数 的影响精度。 从测量意义上说, 采用 “ 标准作为目标函数, 是使删除的观测量所引起的精度 A” 函数的平均变化量为最小; 采用 “E ” 标准, 则是使删除的观测量所引起精度函数的最大增量比 删除其它任何一个观测量时都要小。换句话说, 就是在最不利的情况下求取最好的结果。由表
d iag (D Υ) ≤ G
∑sign (P ) ≤ t
sign ( P ) =
(1 -
r0 )
1, P i > 0 0, P i = 0
( 13)
式中, G 为精度函数的限差列阵; t 为必要观测量个数。 参照整数规划中的 021 规划法, 对式 ( 11) ( 或式 ( 12) ) 和式 ( 13) 的数学模型进行控制网的 图形优化, 具体步骤为: ( 1) 建立控制网的完全观测图形, 并按量纲相同的观测量等精度观测的要求给权赋初值, 使 d iag (D Υ) ≤G ; ( 2) 计算 ∃D Υi , i= 1, 2, …, n; ( 3) 比较目标函数 t r ( ∃D Υi ) = m in;
( 8)
式中
D Y = Ρ0YN
Y
T = Ρ2 0Y (A Y P YA Y )
1
162
N
西 南 交 通 大 学 学 报 第 32 卷
= AT Z P ZA Z G Z = N
- 1
Z
Z
A Z P Z L
T
ZY
= (
5lZ ) 5Y
删除观测量 L i , 等于该观测量的权 P i = 0, 故控制网的参数协方差阵为
t r ( ∃D Υi ) = m in i ∈ n
( 11)
即以 ∃D Υi 的迹最小为目标函数来删除观测量 L i; ( 2) “E ” 最优
d iag ( ∃D Υi ) m ax = m in i ∈ n ( 12)
即以所有的 ∃D Υi 最大的主对角线元素中, 挑选最小的 ∃D Υim ax 作为目标函数来删除观测量 L i。 以精度函数和平均可靠率为约束条件
2 图形优化
设施工控制网初始设计方案的平差模型为 V = A X n ×1 n × t t×1
n ×1
L
2 - 1 L ～ N (A X , Ρ0 P )
( 3)
式中 L 为观测向量; V 为残差向量; A 为模型系数阵, 且 R (A ) = t; Ρ2 0 为方差因子; P 为观测量 权的对角线阵。 初始设计方案的参数协方差阵为 2 - 1 2 T - 1 ( 4) D X = Ρ0 N X = Ρ0 (A PA ) 设删除第 i 个观测量, 其模型系数为 A i , 权系数值为 P i , 则方案修改后的平差模型为 V 1 = A 1X - L 1
i
∃D X i = -
( 7)
当控制网为两级网, 采用固定数据平差的数据处理方法, 则完整地考虑原始数据误差影响 的控制网参数协方差阵为[ 2 ]
DX = DY D Z, Y D Y, Z DZ
=
DY
- D YL
T
ZY
GZ
T
- G ZL Z YD Y
2 - 1
Ρ2 0N
Z
- 1
T + G ZL Z YD YL T ZYG Z
r0 = r n
( 1)
式中, r 为多余观测数, n 为总观测数。 控制网的费用标准一般可用下式表示
收稿日期: 1996210208 顾利亚: 女, 1956 年生, 讲师。
第 2 期 顾利亚等: 施工控制网的优化设计
S =
161 ( 2)
∑C P
式中 C 称为费用系数, 它是目前优化设计中最难确定的参数, 也是数学优化设计方法中有待 进一步研究的课题。P 为观测值的权。通常, 用观测次数的多寡来表征同一量纲观测量精度的 费用, 可用线性函数表示, 而补充或删除一个观测量与增减重复观测次数的费用之间的函数关 系则较难确定。 控制网最终的优化结果, 是各个阶段优化设计的总和。 因此, 在各个阶段的优 化设计上不必强求同时满足精度、 可靠性和费用指标, 而最后的优化设计结果中达到这三项指 标便可。 因此, 首先利用控制网的完全观测图形, 在一定的平均可靠率和精度约束下, 解算出最 佳的观测图形, 然后在此图形设计的基础上求解满足精度约束条件、 费用最省的观测方案, 这 样, 分两步将控制网图形与观测纲要优化设计用解析法直接求解。 施工控制网的观测纲要优化 设计的具体方法文献 [ 2 ] 已有研究。 为节省篇幅, 下面主要介绍控制网图形优化设计的方法。
(b ) 若 Κ m ax = m in, 称 E 最优, Κ m ax 为矩阵的最大特征值。
根据文献 [ 3 ] 的研究, 矩阵 D X 中的每个元素不但受到 D X 的所有特征值 Κ的影响, 而且还 受到其相应特征向量的影响。假如单独比较特征值, 它只能获得抽象的数学概念。考虑到施工 控制网的精度指标就是使精度函数D Υ 的主对角线元素满足对应的限差要求。 以精度函数增量 的 “ 最优或 “E ” 最优作为优化设计中的目标函数, 控制网的图形优化设计的数学模型为: A” ( 1) “ 最优 A”
第 32 卷 第 2 期 1997 年 4 月
西南交通大学学报 JOU RNAL O F SOU THW EST J I AO TON G U N I V ER S IT Y
Vol . 32 N o. 2 A p r. 1997
施工控制网的优化设计
顾利亚 岑敏仪
( 西南交通大学 测量工程系 成都 610031)
3 算 例
有一座九孔三联连续梁的特大桥梁, 其控制网的完全观测图形如附图所示。OD 、 B E 为长 约 680m 的基线边, 完全观测量为 28 个, 必要观 测量为 15 个。 设放样桥墩的方向测设中误差为 10 mm 。 其控制网能满足相邻墩台和连续梁两端 墩台间的距离中误差小于±10 mm 的精度要求, 可求出满足精度要求的等精度完全观测图形设计 方案。 为更好地比较采用 “ 标准和 “E ” 标准作为 A” 目标函数对优化结果的影响, 算例中采用平均可 靠率 r0 = 0. 118, 表 1 中列有两种优化方法的计算 过程。 最后优化的图形对桥梁相邻墩台间的墩距 和两端墩台间的跨距精度列于表 2。 表 1 控制网图形优化过程
1 2
AO AO
附图 控制网完全观测图形
3
EO EO
4
OB OB
5
BD BD
6
DB DB
7
EC EC
8
BO BO
9
OE CA
10
EA OE
11
DE OD
“ 标准 A” “E ” 标准
CA CE
表 2 各种图形设计的墩距、 跨距精度
1 ～2 2 ～3 6. 0 6. 0 6. 3 3 ～4 6. 6 6. 6 6. 7 4 ～5 7. 4 7. 4 7. 5百度文库5 ～6 8. 5 9. 4 8. 9 6 ～7 7. 4 7. 4 7. 4 7 ～8 6. 6 6. 6 6. 6 8 ～9 6. 0 6. 0 6. 1 9 ～ 10 4. 1 4. 1 4. 3 1 ～4 5. 0 5. 2 7. 1 4 ～7 7. 7 8. 4 7. 8
【摘 要】 根据施工控制网的特点, 提出了用解析法进行控制网优化设计的新方法, 介绍了在平 均可靠率和精度的约束下使用 021 规划进行网形设计的算法。 实例验证, 精度函数增 量的 “ 标准和 “E ” 标准均可作为控制网图形设计的目标函数。 A” 【关键词】 优化设计; 021 规划; 测量控制网 【分类号】 T P391. 41; TU 198
= - D XA T Ρ2 i (0P i 1 - 1 + A iD X A T A iD X i )
(A T PA ) - 1 ] ( 6)
由于 A i 为 1× t 的行矩阵, 故 A iD X A
T
i
为标量, 则有
D X A i A iD X - 1 Ρ2 + A iD X A 0P i
T T
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西 南 交 通 大 学 学 报 第 32 卷
1 中数据可以看出, 两种目标函数的优化过程非常接近, 特别是从第 2 步到 8 步删除的观测量
完全相同。 从表 2 的优化结果来看, 两种方案设计的墩距, 跨距均满足精度要求。
4 结束语
通过算例的计算说明, 采用精度函数增量的 “ 标准或 “E ” 标准为目标函数, 在一定的平 A” 均可靠率和精度要求的约束下, 使用 021 规划进行控制网图形设计, 方法可行。 它是解析法进 行一类设计的新尝试, 通过与解析法进行二类设计的结合, 可以把施工控制网的图形设计和观 测纲要设计有机地变成一个整体。 根据这一思路已编制了一个通用的、 能同时满足施工控制网 图形和观测纲要优化设计的软件包。 目前, 通过综合不同类型的设计标准, 已建立求解模型, 可求出满足不同需要的优化设计 结果。 控制网的优化设计只有紧密结合具体的测量实际情况才能充分发挥其经济效益。 本文 提出的根据作业程序, 分阶段满足精度、 可靠性和费用指标的方法, 是对优化设计方法的一次 有益探讨。
根据作业的过程, 通常将施工控制网的优化设计划分为四个阶段, 即: 零类设计、 一类设 计、 二类设计和三类设计。 零类设计是控制网参考系或基准的设计问题, 它包括数据处理的方 法和坐标系的选择, 不同用途的控制网选择不同的数据处理方法。 由于施工控制网要考虑相对 点位的精度问题, 因此零类设计通常采用传统的习惯做法。 一类设计是控制网的网形设计问 题, 是在预定测量精度的前提下, 确定最佳的点位概略坐标和联系方式。 控制点的设计位置, 主 要受施工放样的需要及地形和设备条件的制约, 有些因素目前还很难用数学的方式表示。 而控 ( ) 制网的图形 即控制点之间的联系方式 对网的图形强度影响较大, 它是一类设计的主要研究 内容, 亦是本文的核心内容。 二类设计是控制网在图形固定的前提下, 寻求最佳的精度配置, 它 是控制网优化设计的热点问题。 三类设计则是对已有控制网的改善, 它一般要包含零类、 一类 和二类设计。 施工控制网优化设计的作用, 是使所求解的控制网的图形和观测纲要在高精度、 高可靠性 及低成本意义上为最优。 本文针对施工控制网设计的特点, 在其图形设计中建立求解模型, 使 求出的图形和观测纲要同时满足预先规定的优化设计指标。
2 L 1 ～ N (A 1X , Ρ0 P 1 ) 1
( 5)
且有
V = V V
1
i
A =
A A
1
i
L =
L L
1
i
删除观测量 L i 后, 其参数协方差阵的增量为 T - 1 T T - 1 ∃D X i = Ρ2 - (A T PA ) - 1 ] = Ρ2 0 [ (A 1 P 1A 1 ) 0 [ (A PA - A i P iA i )