2空气动力学基础-第2章 流体动力学

§2.1.3 流线、流管、流面与流量
人们希望用一些曲线将流场上的流动情况表现出来。在某一 瞬间看流场的话，从某点出发，顺着这一点的速度指向画一 个微小的距离到达邻点，再按邻点在同一瞬间的速度指向再 画一个微小距离，一直画下去便得一条曲线。这条某瞬时的 空间曲线，其切线都和该点的微团速度指向相一致。这样的 空间曲线称为流线，这样的线可以画无数条。
§2.1.1 拉格朗日方法与Euler方法
流体质点的其它物理量也都是 a,b,c,t 的函数。例如流体 质点（a,b,c）的温度可表为T(a,b,c,t) 2、Euler方法（Euler方法，空间点法，流场法） •Euler方法的着眼点不是流体质点而是空间点。考察不同流 体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流 体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动规律。 •在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无法像 拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。
p p( x, y, z, t ),
( x, y , z , t , )
T T ( x, y , z , t )
§2.1.1 拉格朗日方法与Euler方法
如果场只是空间坐标的函数而与时间无关则称为定常场， 否则为非定常场，例如，定常速度场的表达为：
u u ( x, y, z ), v v( x, y, z ), w w( x, y, z )
注意上式并非全导数的表达（在微积分中当复合函数 只是一个自变量 t 的函数时才有全导数），因为在Euler观 点下 x、y、z 等与时间 t 无关，不能写出 dx/dt 的表达。
§ 2.1.2 Euler法的加速度表达式
算子： u v w t x y z Material derivative：往往用D/Dt这样一个符号来表示。 这个导数称为随流体运动的导数，或称随体导数、实质导 数或物质导数。
§ 2.1.2 Euler法的加速度表达式
水位下降---------流场的非定常性， 管道收缩---------流场的不均匀性。 引起流体质点速度的变化主要来自以上两方面的贡献
用Euler法来描述一般的非定常流场时，关于加速度要强调 两点。
A（x，y，z）点上 t 瞬时的流体微团的速度是时间的函
§2.1.1 拉格朗日方法与Euler方法
u ( x, y, z, t ) v( x, y, z, t ) w( x, y, z, t ) V ui vj wk
上式既描述了某一瞬间各点的流动情况，也描述了不同 瞬间的流动参数在各点的分布情况。这种描述法称为Euler 法。 请注意，x,y,z,t 是四个独立变数。如果不另外赋以意义， 则不能有
§2.1.1 拉格朗日方法与Euler方法
在固定空间点记录流过的不同质点的速度
u ( x, y, z, t ) v( x, y, z, t ) w( x, y, z, t )
V ui vj wk
x.y.z.t 称为Euler变量，是四个相互独立的变量。 x,y,z 给定，t 变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空 间点的速度。 t 给定， x.y.z 变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同 空间点的速度，给定速度场。
令：
u u( x, y, z, t )
经Δt 之后，u 变成 u+Δu:
u u u( x ut , y vt , z wt , t t )
u u u u u ( x, y, z, t ) ( ut vt wt t ) o(t ) x y z t
§2.1.1 拉格朗日方法与Euler方法
用如下方程描述质点（a,b,c）所经历的轨迹： x(a,b,c,t), y(a,b,c,t), z(a,b,c,t)
to
x, y, z
·
t
·a, b, c
其中，a,b,c 为流体质点的标识符，用于区分和识别各质 点，一般可用质点的初始坐标表示; t 表示时间。 a.b.c.t 称为拉格朗日变数。 a.b.c 给定，表示指定质点的轨迹。
数，所以速度可以随时间变化。 原在 A 点的微团经Δt 后到了 B 点，若 B 点的速度与 A
点的不同，那么由于迁移，它也会有速度的速度表达式
设在 t 瞬时，位于A（x，y，z）点的一个微团具有速度u， v，w。经Δt 时间后，该微团移到
( x ut , y vt , z wt )
从而上述加速度可以写成：
Du u u u u u v w Dt t x y z
同理：
Dv v v v v u v w Dt t x y z
Dw w w w w u v w Dt t x y z
§ 2.1.2 Euler法的加速度表达式
§ 2.1.2 Euler法的加速度表达式
将变化前后的速度表达相减，略去高阶项，仅保留一阶项， 得
u u u u u u v w t t x y z
此式右侧第一项是微团在（x，y，z）处其速度随时间的变 化率，即当地加速度。后三项是由于微团流向速度不相同 的邻点而出现的速度变化率，即迁移加速度 。
§ 2.1.2 Euler法的加速度表达式
Euler法表示的流场速度和加速度实质上显然是指该瞬时恰 好通过该点的流体质点所具有的速度和加速度：
dx u ( x, y, z, t ) 欧拉 , dt 拉格朗日 d 2x a x ( x, y, z, t ) 欧拉 2 dt 拉格朗日
因此Euler法与拉格朗日方法表示的加速度实质上是一致的， 据此我们也可以利用拉格朗日观点下对流体质点求全导数得 到质点的加速度后，再转化为Euler法的加速度表达。 例：在拉格朗日观点下沿轨迹线对质点速度求全导数得流体 质点的加速度为： d 2 x du u u x u y u z 2 dt dt t x t y t z t
§ 2.1.2 Euler法的加速度表达式
随体导数算子：
D u v w Dt t x y z
除可作用于速度外，对流场中其它变量也成立。 如对于压强 p，有：
Dp p p p p u v w Dt t x y z
Remark 由于在Euler观点下，x,y,z,t 是四个独立变量，一般不 能写出 dx/dt 的表达，因此上述表达并非数学上的全导数。但 在物理上，上式仍然表示质点压强在运动过程中的时间变化 率，只是在场的观点下将这个变化率写为当地变化率和迁移 变化率称为随体导数。
§ 2.1.2 Euler法的加速度表达式
由于拉格朗日法与Euler法下的速度关系为：
dx u( x, y, z, t ) 欧 , dt 拉 dy v( x, y, z, t ) 欧 , dt 拉 dz w( x, y, z, t ) 欧 dt 拉
代入即得Euler法下的加速度表达
ax ( x, y, z, t ) u u u u u v w t x y z
§2.1 描述流体运动的方法
§2.1.1 拉格朗日方法与Euler方法 根据连续介质的假设，流体是由质点组成，无空隙地充满所 占据的空间。对于无数多的流体质点，当其发生运动时，如 何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运动学 必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。 1、Lagrange方法（拉格朗日方法，质点法） 在该方法中，观察者着眼于个别流体质点的流动行为，通过 跟踪每个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。 （引出迹线的概念）
空气动力学基础
第2章 流体动力学和运动学基础
沈阳航空航天大学 航空航天工程学院 飞机设计教研室
2014年3月
第 2 章 流体运动学和动力学基础
§2.1 描述流体运动的方法 §2.2 流体微团运动的分析 §2.3 理想流体运动微分方程组 •2.3.1 连续方程 •2.3.2 Euler运动微分方程组 •2.3.3 Bernoulli积分及其物理意义 •2.3.4 Bernoulli方程的应用 §2.4 流体运动积分方程组 •2.4.1 Lagrange型积分方程 •2.4.2 Reynolds输运方程 •2.4.3 Euler型积分方程 § 2.5 环量与涡
t 给定，表示在给定时刻不同质点的空间位置。
上式就是质点（a,b,c）的轨迹参数方程，三式消去得轨迹
§2.1.1 拉格朗日方法与Euler方法
因为质点的坐标位臵是时间 t 的函数，对于给定的流体质点 （a，b，c） ，速度表达式是：
u x(a, b, c, t ) , t y (a, b, c, t ) v , t z (a, b, c, t ) w t
§ 2.1.2 Euler法的加速度表达式
Euler观点下如何表达加速度？如下4图来定性描述引起各处速 度变化的原因： 1. 流体质点从A流到B速度不变； 2. A点与B点因水位下降引起速度同时减小； 3. 流体质点从A流到B点，因管道收缩引起速度增加； 4. 流体质点从A流到B点，因水位下降和管道收缩引起速度的 变化。
2 dx dt、 d 2 x dt 这类的表达式。
应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好通过 该空间点的流体微团所具有的速度 。
流场 flow field
一个布满了某种物理量的空间称为场 流体运动所占据的空间称为流场
除速度场之外，还有压强场。在高速流动时，气流的密 度和温度也随流动有变化，那就还有一个密度场和温度场 。这都包括在流场的概念之内。
需要指出，上述加速度仍然是空间坐标和时间坐标四个独 立变量（x,y,z,t）的函数：
Du u u u u a x ( x, y , z , t ) u v w Dt t x y z Dv v v v v a y ( x, y , z , t ) u v w Dt t x y z Dw w w w w a z ( x, y , z , t ) u v w Dt t x y z
流体质点的加速度为：
2 x ( a , b, c , t ) ax , 2 t 2 y ( a , b, c , t ) ay , 2 t 2 z ( a , b, c , t ) az t 2
这里使用偏导数是因为坐标同时是时间和质点标号的函数， 求导时要求a,b,c固定不变，即求导是针对同一流体质点的。
将上三式分别乘 (i , j , k ) 再相加可得加速度表达的向量式：
DV V a( x, y, z, t ) ax i a y j az k (V )V Dt t
Hamilton算子
i j k x y z
时间 t 固定
§2.1.3 流线、流管、流面与流量
为零才可能存在迁移加速度，因此也将 称为对流导数。
V u v w x y z
譬如像直圆管中的定常层流（如下图）那样一种实际 流动，u=u（y）。当地加速度和迁移加速度都是零。
§ 2.1.2 Euler法的加速度表达式
根据上述分析可得出以下各图中Euler法的加速度表达式。
d
D 在不引起误会的条件下，也有将随体导数 Dt 表为 dt 的。 随体导数与全导数实质上是瞬时统一的，前者采用场的表示 方法，后者采用质点运动学的表示方法。
§ 2.1.2 Euler法的加速度表达式
迁移加速度中的任何一项都是速度分量与同一方向的导
数之乘积， 或称沿速度方向的导数。因此只有上述两项都不