勾股定理及逆定理的综合应用
17.2勾股定理及其逆定理的综合应用
第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用姓名：基础题知识点1 勾股定理逆定理的应用1．在一根长为30个单位长度的绳子上，分别标出A，B，C，D四个点，将绳子分成长为5个单位长度，12个单位长度和13个单位长度的三条线段．自己握住绳子的两个端点(A点和D点交于一处)，两个同伴分别握住B点和C点，将绳子拉成一个几何图形，会得到( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能组成三角形2．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40 m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B.若A，B两点的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( )A．南偏东60°B．南偏西60°C．北偏西30°D．南偏西30°3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列选项中正确的是( )A B C D4．某小区的一所健身中心的平面图如图所示，活动区是面积为200 m2的长方形，其长为20 m，餐饮区是一个半圆形，面积为 4.5π m2，休息区是一个三角形，边AE＝8 m，求休息区的面积．知识点2 勾股定理及其逆定理的综合应用5．如图，正方形网格中的△ABC.若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )A．直角三角形B．B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对6．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．7．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°.若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝65.(1)求AC，CE的长．(2)求证：∠ACE＝90°.中档题8．已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上一个动点，则线段BP长的最小值是( )A.6013B．5 C.3013D．129．如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF 的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路．若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB＝160 km，BC＝120 km，则A，C两村之间的距离为( )A．250 km B．240 kmC．200 km D．180 km10．如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB－∠DCE＝ (点A，B，C，D，E是网格线交点)．11．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉的距离AB的长为250 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M 到AB的距离MN的长为120 m，BM的长为150 m.(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长．(2)直接写出喷泉B到小路AC的最短距离．12．(教材P34习题T5变式)如图，在四边形ABCD 中，AB＝BC＝1，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°.(1)求∠BAD的度数．(2)求四边形ABCD的面积(结果保留根号)．(3)将△ABC沿AC翻折至△AB′C，如图所示，连接B′D，求四边形ACB′D的面积．综合题13．通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．(1)根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ (填“是”或“不是”)．(2)若某三角形的三边长分别为1，7，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据．(3)在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据．探究：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a.若Rt△ABC是奇异三角形，求a2∶b2∶c2.1．A 2．A 3．C4．解：根据题意，得12π×(ED 2)2＝4.5π，∴ED ＝6.∵AD ·AB ＝200，AB ＝20， ∴AD ＝10. ∵AE ＝8，∴AE 2＋ED 2＝AD 2，即∠AED ＝90°.∴S △AED ＝8×62＝24(m 2)，即休息区的面积为24 m 2.5．A6．解：在△ABC 中，∵AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°， ∴根据勾股定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2＝42＋32＝52. ∴AC ＝5.∵AC 2＋CD 2＝52＋122＝25＋144＝169， AD 2＝132＝169， ∴AC 2＋CD 2＝AD 2.∴△ACD 是直角三角形，且AD 为斜边， 即∠ACD ＝90°.7．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋22＝13.∵在Rt △EDC 中，∠D ＝90°，CD ＝6，DE ＝4， ∴CE ＝CD 2＋DE 2＝62＋42＝52＝213. (2)证明：∵AC ＝13，CE ＝52，AE ＝65， ∴AE 2＝AC 2＋CE 2.∴∠ACE ＝90°. 8． A 9． C 10．45°11．解：(1)在Rt △MNB 中，BN ＝BM 2－MN 2＝1502－1202＝90(m)，∴AN ＝AB －BN ＝250－90＝160(m)．在Rt △AMN 中，AM ＝AN 2＋MN 2＝1602＋1202＝200(m)．∴供水点M 到喷泉A ，B 需要铺设的管道总长为AM ＋BM ＝200＋150＝350(m)．(2)喷泉B 到小路AC 的最短距离是BM ＝150 m. 12．解：(1)∵AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，AC ＝AB 2＋BC 2＝ 2. 又∵CD ＝3，DA ＝1， ∴AC 2＋DA 2＝CD 2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°. (2)∵S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，S △ADC ＝12AD ·AC ＝22，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋22.(3)过点D 作DE ⊥AB ′，垂足为E ， 由(1)知∠DAC ＝90°.根据折叠可知∠B ′AC ＝∠BAC ＝45°，AB ＝AB ′＝1，S △AB ′C ＝S △ABC ＝12.∴∠DAE ＝∠DAC －∠B ′AC ＝45°. ∴AE ＝DE.设DE ＝AE ＝x ，在Rt △ADE 中，AE 2＋DE 2＝AD 2. ∴x 2＋x 2＝1.∴x ＝22. ∴S △ADB ′＝12×1×22＝24.∴S 四边形ACB ′D ＝S △AB ′C ＋S △ADB ′＝12＋24＝2＋24.13．解：(2)∵12＋(7)2＝2×22，∴该三角形是奇异三角形．(3)当c 为斜边时，b 2＝c 2－a 2＝50，Rt △ABC 不是奇异三角形；当b 为斜边时，b 2＝c 2＋a 2＝150，∵50＋150＝2×100，∴a 2＋b 2＝2c 2.∴Rt △ABC 是奇异三角形．探究：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2. ∵c ＞b ＞a ，∴2c 2＞b 2＋a 2，2a 2＜b 2＋c 2. ∵Rt △ABC 是奇异三角形， ∴2b 2＝a 2＋c 2.∴2b 2＝a 2＋a 2＋b 2. ∴b 2＝2a 2.∴c 2＝3a 2. ∴a 2∶b 2∶c 2＝1∶2∶3.。
精品-勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在中考和数学竞赛中有十分广泛的应用，下面举例说明． 一、用于求线段的长例1 如图1，四边形ABCD 中，60A ∠=°，9023B D BC CD ∠=∠=︒==，，，则____AB =． 解：延长AD BC ，相交于点E ． 6030A E ∠=︒∠=︒ ，∴．36CD CE == ，∴，8BE =∴． 设AB x =，则2AE x =，由勾股定理在ABE Rt △中，可得2228(2)x x +=，解得x =，即AB = 二、用于求角的度数例2 如图2，在四边形ABCD 中，:::2:2:3:1AB BC CD DA =，且90B ∠=︒，求：BAD ∠的度数．解：设AD a =，则23AB BC a CD a ===，，连接AC ， ABC △为等腰三角形，45BAC ∠=︒∴．在ABC Rt △中，由勾股定理，得2222228AC AB BC AB a =+==，又22229AD a CD a == ，，∴222AC AD CD +=． 由勾股定理的逆定理知CAD △是直角三角形．904590135CAD BAD BAC CAD ∠=︒∠=∠+∠=︒+︒=︒∴，∴．三、用于求面积 例3 如图3，在四边形ABCD 中，2160AB CD A ==∠=︒，，，90B D ∠=∠=︒．求四边形ABCD的面积．解：延长AD BC ，相交于点E ，则30E ∠=︒，从而4AE =．由勾股定理可得BE ===又1CD =，2CE =∴，由勾股定理可得DE =．112122ABCD ABE CDES S S =-=⨯⨯⨯=四边形△△∴． 四、用于判定三角形的形状例4 若三角形的三条边a b c ，，满足关系式4222240a b c a c b +--=，则此三角形形状是 ． 解：∵4222240a b c a c b +--=，∴2222222()()()0a b a b c a b +---=，即22222()()0a b a b c -+-=．∴220a b -=或2220a b c +-=．∴a b =或222a b c +=．图1 ABCDE图2ABCD 图3ABC DE1 230︒ 60︒∴此三角形的形状是等腰三角形或直角三角形． 五、用于证明两线段垂直例5 如图4，正方形ABCD 中，14AE BE AF AD ==，，求证：CE EF ⊥． 证明：连接CF ，设1AF =，则324DF AE BE BC CE =====，，，∵222125EF =+=，2222420CE =+=，2223425CF =+=，222CF EF CE =+∴． CEF ∴△为为直角三角形（勾股定理的逆定理）． CE EF ⊥∴．六、用于证明几条线段间的等量关系例6 如图5，在ABC △中，90BAC AB AC ∠=︒=，，D 是BC 上的点． 求证：2222BD CD AD +=．分析：过A 点作ABC △的高AE ，则AE BE CE ==．利用勾股定理222AD AE ED =+再求证．证明：过A 点作ABC △的高AE ， 90BAC AB AC ∠=︒= ，， 45B C ∠=∠=︒∴．45BAE EAC B C ∠=∠=∠=∠=︒∴， AE BE CE ==∴．而2222()()BD CD BE DE CE DE +=++-222222BE BE DE DE CE CE DE DE =+++-+ 2222222222BE CE DE AE DE AD =++=+=． 2222BD CD AD +=∴．七、用于求值例7 如图6，在ABC △中，2AB AC ==，BC 边上有100个不同的点12100P P P ，，…，， 记2(12100)i i i i m AP BP PC i =+= ，，…，，求12100m m m +++…的值． 分析：作ABC △的高AD ，利用勾股定理求出各个i m 的值是解决本题的关键． 解：作AD BC ⊥垂足为D ， AB AC BD CD == ，∴． 设i BD CD y DP x ===，，则222()()i i i i i m AP BP PC AP y x y x =++=+-+2222224iAP x y AD y AC =-+=+==．图4BE图5i 图612100444400m m m +++=+++=个1004∴……．。
第三讲 中考中的勾股定理应用
第三讲中考中的勾股定理应用【典型例题A】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．【变式】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长．2、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．求证：．【变式】已知，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：.类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，D是BC上的一点，且AD⊥AC，求BD的长．【变式】如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，BD＝，AE⊥BC于E，求AE的长.4、如图①所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示，则不难证明．(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示，那么之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用表示，请你确定之间的关系并加以证明．5、如果ΔABC的三边分别为，且满足，判断ΔABC的形状.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少?【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______.(π取3)【典型例题B】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝，AB＝，BC，E是AB上一点，且AE＝，求点E到CD的距离EF．【变式】如图所示，在△ABC中，D是BC边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的长．类型二、勾股定理与其他知识结合应用2、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．3、如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点(E左F右)，且∠ECF＝45°，求证：．4、已知：如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长．类型三、本章中的数学思想方法1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．5、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．求线段EF的长.【变式】已知凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证：2.方程的思想方法6、如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，，求、、的值.【变式】直角三角形周长为12，斜边长为5，求直角三角形的面积.【巩固练习A】一、选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3处折断，树顶端落在离树底部4处，则树折断之前高( )（1）（2）（4）A.5B.7C.8D.102．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )A. B.C. D.3. 下列命题中是假命题的是（）A.三个内角的度数之比为：3：4的三角形是直角三角形；B.三个内角的度数之比为：：2的三角形是直角三角形；C.三边长度之比：：2的三角形是直角三角形；D.三边长度之比：：2的三角形是直角三角形；4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．A．6 B．12 C．24 D．305．下列三角形中，是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，416．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要( )（6）（7）（8）A.450元B.225元C.150元D.300元7. 如图所示，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对8. 已知，如图长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.3B.4C.6D.12二、填空题9．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．10．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．11．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．（12）（13）（15）12. 下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．13. 长为4 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______．14．在直角三角形中，一条直角边为11，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．15. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10，则其中最大的正方形的边长为______．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．三.解答题17. 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.18．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3 千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．20. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长.【巩固练习B】一、选择题1. 在△中，若，则△ABC是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形2. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°（2）（6）（8）3．在下列说法中是错误的（）A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形．B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形．C．在△ABC中，若，，则△ABC为直角三角形．D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形．4．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )A. B. 或 C. D. 或5. 若三角形的三边长分别等于，则此三角形的面积为（）A. B. C. D.6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于( )A. 5B.C. D.7. 已知三角形的三边长为，由下列条件能构成直角三角形的是（）A.B.C.D.8. 如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上移动，则当PA＋PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）A. B. C. D. 3二、填空题9. 如图，平面上A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30／min.结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_______.（9）（10）（11）10．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．11．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．12．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．13．如图，长方体的底面边长分别为1和3，高为6．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____,如果从点A开始经过四个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要_____.（13）（15）（16）14．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．15. 已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________．16. 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，BC＝________.三.解答题17. 如图所示，已知D、E、F分别是△ABC中BC、AB、AC边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，AB ＝4,AC＝3，，求：△ABC的面积．18．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．19. 有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6，BC ＝8,①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，且与AB重合，则CD ＝_________.②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，使点C落在AB中点H上，点M、N分别在AC、BC上，则、与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.20. 如图1，四根长度一定的木条，其中AB＝6，CD＝15，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）.现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置.位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2中，若设BC的长为，请用的代数式表示AD的长；（2）在图3中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长．。
勾股定理及其逆定理应用
勾股定理及其逆定理应用1. 简介勾股定理是数学中的基本定理之一，描述了直角三角形中各边之间的关系。
勾股定理被广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域，为解决实际问题提供了有力的工具。
除了勾股定理本身，其逆定理也有着广泛的应用价值。
本文将介绍勾股定理及其逆定理的基本原理和应用。
2. 勾股定理勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方之和。
数学表达式为：a^2 + b^2 = c^2其中，a和b分别表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边长度。
该定理可以用来计算不知道的边长，或者验证一个三角形是否为直角三角形。
勾股定理的一个重要应用是解决实际问题中的测量和计算。
例如，在建筑工程中，可以利用勾股定理计算墙面的对角线长度，或者确定直角拐角的位置。
在导航系统中，可以利用勾股定理计算两个地点之间的直线距离。
此外，勾股定理还可以用于解决三角函数的关系，例如求解正弦、余弦和正切等。
3. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理由三个整数构成，称为勾股数。
逆定理可以表示为：给定三个正整数a、b和c，若满足以下条件，则它们是勾股数：1.a、b和c两两互质；2.a、b和c中至少有一个为偶数。
勾股数具有很多有趣的性质和应用。
例如，利用勾股数可以构造出无穷多个满足勾股定理的直角三角形。
此外，逆定理还与数论中的素数有着密切的关系。
例如，勾股数中的c值是素数的情况下，其它两个整数a和b可以构成一个素勾股数。
4. 勾股定理的应用勾股定理被广泛应用于几何学和三角学中。
在几何学中，可以利用勾股定理求解三角形边长、角度和面积等问题。
在三角学中，勾股定理的衍生形式被用于计算三角函数的值。
在物理学中，勾股定理用于计算物体的速度、加速度和力的分解。
在工程学中，勾股定理被应用于设计和计算建筑物、桥梁和机械等。
例如，计算机图形学中的三维模型投影和旋转操作都离不开勾股定理。
此外，勾股定理还在实际生活中的测量和定位中发挥着重要作用。
例如，在测量地理位置时，可以利用勾股定理计算两个地点之间的直线距离。
勾股定理及逆定理的综合应用试题
勾股定理及逆定理的综合应用一、勾股定理的逆定理逆定理如果三角形三边长a，b，c满足222a b c+=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
逆定理说明：①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。
②在运用这一定理时，可用两小边的平方和22+与较长边的平方2c作比较，若它们a b相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222+<时，以a，b，c为三边a b c的三角形是钝角三角形；若222+>时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形。
a b c二、实际应用定理中的注意问题1. 定理中a，b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三a b c边长a，b，c满足222+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为a c b斜边；2. 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
三、勾股定理逆定理的几种典型应用总结：1. 理解勾股定理与勾股定理逆定理之间的关系；2. 掌握好数形结合的思想及方程思想的应用。
例题1 如图，△ABC中，AB=15，AC=8，AD是中线，且AD=8.5，则BC的长为（）A. 15B. 16C. 17D. 18解析：延长AD至E使ED=AD，利用好“AD是中线”这个条件，再根据题中数据的特点正好符合勾股定理逆定理，得到直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质就可以求出BD的长度了，再根据BC=2BD，所以BC的长也就求出了。
答案：解：延长AD 至E ，使DE=AD ；连接B E ， ∵AD=8.5，∴AE=2×8.5=17， 在△ADC 和△EDB 中，AD ＝DE ∵∠ADC ＝∠EDB BD ＝CD ，∴△ADC≌△EDB（S AS ），∴BE=AC=8，BE 2+AB 2=82+152=289，AE 2=172=289， ∴∠ABE=90°，∵在Rt△BED 中，BD 是中线， ∴BD=21AE=8.5，∴BC=2BD=2×8.5=17。
人教版八年级下册数学：勾股定理及其逆定理的综合应用
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
既
a2+ b2=c2
是 互
Ｒt△ 直角边a、b，斜边c
逆
a2+b2=c2
命
题
形
数
也
Ｒt△
逆定理:
a2+b2=c2
是
互
三边a、b、c 逆
定
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形 理
是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
D
B
10 x6
A
x 8-x C
E
折叠四边形
折叠四边形
例7：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在
BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM, 求 (1) CF的长 ；(2)EC的长.
10
D
A
8-X
8 10
E
8-X X
B
6
F4 C
折叠四边形
例8：折叠矩形纸片，先折出折痕 对角线BD，再绕点D折叠，使点A 落在BD的E处，折痕DG，若AB=4， BC=3，求AG的长。
2O
蛋糕 B
C
６
B
8
８
A
A
展开思想
例12：如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别 为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点， A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 着台阶面爬到B点最短路程是多少？
Ａ
２０
Ｃ
A
20
3
23
２
3
2
B
3
∵ AB2=AC2+BC2=625,
勾股数
勾股定理及其逆定理的运用课件
通过学习勾股定理及其逆定理，学生可 以培养出严密的逻辑思维和推理能力， 为后续的数学、物理、工程等学科的学
习打下坚实的基础。
学生可以从中领悟到数学与实际生活的 紧密联系，激发对数学的兴趣和热爱，
提高自主学习和探索的能力。
对实际应用的展望和期待
随着科技的发展和实际问题的复杂化，勾股定理及其逆定理的应用前景 将更加广阔。
度。
物理学
在物理学中，勾股定理可以用来解 决与直角三角形相关的力和运动问 题，例如单摆的运动和受力分析。
航海学
在航海学中，勾股定理可以用来计 算船只的航行距离和方向，以确保 航行安全。
02
逆定理的的逆定理是指，如果一 个三角形的三边满足勾股定理的 条件，那么这个三角形一定是直 角三角形。
条件限制不同
勾股定理适用于所有直角 三角形，而逆定理只适用 于已知一边和与之相对的 角为直角的三角形。
证明方法不同
勾股定理可以通过相似三 角形或面积法证明，而逆 定理通常通过反证法证明 。
定理与逆定理的互补之处
勾股定理是逆定理的前提
01
只有当满足勾股定理的条件时，一个三角形才可能是直角三角
形。
逆定理是勾股定理的延伸
02
勾股定理的逆定理是勾股定理的 一个重要应用，它可以帮助我们 判断一个三角形是否为直角三角 形。
逆定理的证明方法
勾股定理的逆定理可以通过反证法进 行证明。
然后通过构造一个直角三角形与三角 形ABC全等，并利用勾股定理证明假 设不成立，从而得出三角形ABC是直 角三角形的结论。
首先假设一个三角形ABC的三边满足 a²+b²=c²，但角C不是直角。
勾股定理及其逆定理的运用ppt课件
目录
勾股定理与其逆定理的联合应用
●
●
，
●
●
●
，
●
●
，
●
●
，
L
川 刻 引 引刻
簿
口山
东
，
朱玉 晶
可 以解决很 多几 何 问题 其
．
一
联合应用勾股定理及其逆定理
骤 是
：
般步
先应 用 勾 股 定 理 的逆 定 理 证 明 已 知 图形 (或适 当添 加 辅 助 线 后 的
，
图形 )中的某 个 三 角形 为直 角 三 角形
例
D 1
然后 再应用 勾股 定理 解 决 问题
设
D C
=
x
，
．
~ lJ A C
=
2
x
．
由
勾股定理 得z
所 以 例
2
B
．
+
-
8
2
=
] ( 2 x )。 1 0 3 x
．
64
~
—
8 N／ 3
)
-
_
故A
C
=
2
x
：
1 6 N／ 3
—
D
．
j
F
如 图2
的大小
：
，
M 已矢 B
I
B C A B
，
=
B C A D
-
=
-
2 C D -2
，
、 3 ／
．
。
求
[
删
．
解析
，
力 中 心 旋 转 的 所 以 实 际 上 地 球 共 有 3 种 不 同 的旋 转 方 式 ：环 绕 自 己 的 自转 轴 旋
勾股定理及逆定理的综合应用
类型二：勾股定理的构造应用
【变式】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD面积.
1．解决面积的问题.已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?
S四边形ABCD=36
答案:（4）a= ，c= .
5
8
5
类型一: 勾股定理的直接应用（一）知两边或一边一角型
1.如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，若BC＝4 ，AB＝x ，AC=8-x，则AB= ,AC= .
2.在Rt△ABC 中,∠B=90°，b =34,a:c=8:15,则a = , c = .
类型三：勾股定理及其逆定理的综合应用
【变式】为了筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色彩纸，如图已知圆筒高108cm，其截面周长为36cm，如果在表面缠绕彩纸4圈，最短应截剪多长彩纸？
27
45
45×4=180
3．解决最短路径问题.
如图所示，在△ABC中，AC＝6，AB＝BC＝5，则BC边上的高AD＝____
【变式】如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，BC/交AD于E，AD＝8，AB＝4，求DE的长？
2．解决折叠的问题.
3．解决最短路径问题.
如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
类型三：勾股定理及其逆定理的综合应用
2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10, 求BE的长.
勾股定理及其逆定理综合应用
毕达哥拉斯定理是一个基本的数学概念，它指出在直角三角形中，斜边（直角的对边）长度的平方等于其他两条边的平方和。
该定理在数学、物理和工程中有许多实际应用，是解决各种问题的重要工具。
在本文中，我们将详细探讨勾股定理及其逆定理的综合应用。
我们还将讨论这些定理的证明，并提供示例说明如何使用它们来解决现实世界的问题。
什么是勾股定理？毕达哥拉斯定理是数学中最著名和最广泛使用的定理之一。
它以发现它的古希腊数学家毕达哥拉斯命名。
该定理指出，在直角三角形中，斜边长度的平方等于其他两条边的平方和。
这种关系可以用等式表示：a^2 + b^2 = c^2其中a和b是三角形两条边的长度，c是斜边的长度。
勾股定理的证明毕达哥拉斯定理有几种不同的证明，每一种都以不同的方式证明了定理的有效性。
该定理最著名的证明之一被称为“图解证明”，它涉及绘制直角三角形图并使用几何原理来证明该定理成立。
毕达哥拉斯定理的另一个证明被称为“代数证明”，它涉及使用代数方程来证明定理的有效性。
此证明首先将直角三角形分成两个较小的直角三角形，每个直角三角形的边等于较大三角形的斜边。
然后可以通过证明两个较小三角形的平方和等于较大三角形斜边的平方来证明该定理。
勾股定理的应用毕达哥拉斯定理在数学、物理学和工程学等各个领域都有许多实际应用。
在数学中，该定理常用于求坐标平面上两点之间的距离或求直角三角形斜边的长度。
在物理学中，勾股定理用于计算三维空间中两点之间的距离，以及计算物体沿直线运动的速度。
在工程中，该定理用于计算梁和其他结构元件的长度，以及设计和分析各种结构的强度。
逆勾股定理逆勾股定理是与勾股定理相关的数学概念。
该定理指出，如果已知直角三角形两条短边的平方，则可以计算出斜边的长度。
逆毕达哥拉斯定理可以用等式表示：c = 开方(a^2 + b^2)其中a和b是三角形两条边的长度，c是斜边的长度。
反勾股定理的证明逆勾股定理可以通过从勾股定理的等式(a^2 + b^2 = c^2) 开始并求解c 来证明。
八年级-人教版-数学-下册-[学习任务单]第3课时-勾股定理及其逆定理的综合应用
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第3课时勾股定理及其逆定理的综合应用班级_________ 姓名_________学习目标1．进一步巩固勾股定理及其逆定理的相关知识，并能解决综合应用问题．2．培养“数形结合”“方程”等数学思想方法和数学建模能力．课前学习任务写出三组常见的勾股数．课堂学习任务【学习任务一】知识回顾1．勾股定理：2．勾股定理的逆定理：【学习任务二】新知学习【问题】在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6，8，9时，△ABC为_________三角形；当△ABC三边分别为6，8，11时，△ABC为________三角形；（2）猜想，当a2＋b2和c2满足什么关系时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2和c2满足什么关系时，△ABC为钝角三角形；（3）判断当a＝2，b＝4时△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围．【学习任务三】典例精讲例1一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100 km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．（1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA方向返回A港所需的时间；（2）C岛在A港的什么方向？例2拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150 m和200 m，AB＝250 m，拖拉机周围130 m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为50 m/min，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？例3如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10（1）求四边形ABCD的面积；（2）求对角线BD的长．本课小结请根据本课所学内容，画出你的思维导图吧！课后任务完成教材第34页习题17.2第6题．。
勾股定理及其逆定理的综合应用
Ｒt△ 直角边a、b，斜边c
Ｒt△
互逆命题
勾股定理: 直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
逆定理:
a2+ b2=c2
1、下列各组线段中，能够组成直角三角形的是(）． A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5,6 D．3，4，5 2.在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）如果a=3，b=4， 则c= ； （2）如果a=6，c=10， 则b= ； （3）如果c=13，b=12，则a= ； 3、在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ） A．BC2=AB2+AC2; B．AB2=AC2+BC2; C．AB2=BC2-AC2; D．AC2=BC2-AB2 4、已知直角三角形的两边长为3、2，则第三条边长是 ．
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
解:设BE=x，折叠，∴△BCE ≌△FCE， ∴BC=FC=10. 令BE=FE=x，长方形ABCD， ∴ AB=DC=8 ，AD=BC=10，∠D=90°， ∴DF=6, AF=4，∠A=90°, AE=8-x ， ∴ ，解得 x = 5 .∴BE的长为5.
证明：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵在Rt△ADB中，AB=10，AD=8， ∴BD=6 . ∵BC=12, ∴DC=6. ∵在Rt△ADC中，AD=8， DC=6. ∴AC=10， ∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.
勾股定理逆定理及其应用
勾股定理逆定理及其应用知识要点：1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形.2、命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
3、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
4、勾股数：3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数组有：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）例：观察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．题型分析：一、判断直角三角形问题：1.下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2. 如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2 m ，m 2+1(m ＞1)那么( )A.△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1B.△ABC 是直角三角形，且斜边长2 为mC.△ABC 是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定D.△ABC 不是直角三角形３．阅读下列解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判定△ABC 的形状. 解：∵ a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4 ①∴c 2(a 2－b 2)=(a 2+b 2)(a 2－b 2) ②∴c 2=a 2+b 2 ③∴△ABC 是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.４．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.５．如图， 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ， 求证：∠EFA=90︒.二、边长问题 １．若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x 2则此三角形是直角三角形的x 2的值是（ ）A.42B.52C.7D.52或7 2. 已知，△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，试说明△ABC 是等腰三角形。
第6课时 选讲：勾股定理及其逆定理的综合运用(原卷版)
第十七章勾股定理第6课时选讲：勾股定理及其逆定理的综合运用1. 图2是图1的侧面展开图.一只蚂蚁沿着圆柱的侧面,从点A沿最短的距离爬到点B,则点B在图2中的位置是 ( )A.甲B.乙C.丙D.丁知识点1：最短路径问题【例1】如图,圆柱底面直径AB与高BC均为4cm,在点A处有一只蜘蛛,在高BC的中点S处有一只苍蝇,蜘蛛沿圆柱体侧面爬到点S处吃苍蝇,求最短路径的长.同步练习2.如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB=15米，CD=7米，两树间的距离BD=6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），求这只鸟飞行的最短距离.知识点2：求直角三角形斜边上的高（最短距离）【例2】如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别是AB=13km，BC=12km，AC=5km，要从C修一条公路CD直达AB．（1）试判断△ABC的形状；（2）求这条公路CD的最短长度．同步练习3.如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A、B的距离分别为300m和400m，且AC⊥BC，为了安全起见，如果爆破点C周围半径250m的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路AB段是否需要暂时封闭，为什么？【课时过关】4.将一根26cm的筷子，置于底面直径为9cm，高12cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的最小值是____cm．5.如图，图形中的折线是迷宫路线，沿着其中的路线才能由A顺利到达B点，从而走出迷宫，迷宫中的AB距离_____米．6. 如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地 2.5米，当物体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时，感应门才自动打开，则感应器的最大感应距离是_____米．【课时提升】7.如图，某公司（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路边建一个物流站（C点），使之与该公司A及车站D的距离相等，求物流站与车站之间的距离．8.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．9. 如图,有两条公路OM,ON相交成30°,沿公路OM方向,距O点80米处有一所小学A,当拖拉机沿ON方向行驶时,它的周围50米内会受到噪音的影响.已知拖拉机的速度为5米/秒,那么拖拉机沿ON方向行驶时，是否会给小学带来噪声影响？若受影响，计算影响的时间？10.如图，在△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1个单位的速度移动，设运动的时间为t．（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）若△ABP为直角三角形，求t的值；（3）若△ABP为等腰三角形，求t的值．。
2024年春八年级数学下册第十七章勾股定理17
第十七章勾股定理17.2 勾股定理的逆定理第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用学问点 1 勾股定理的逆定理与实际应用1．有四个三角形，分别满意下列条件，其中直角三角形有( )(1)一个内角的度数等于另外两个内角的度数之差；(2)三个内角的度数之比为3∶4∶5；(3)三边的长度之比为5∶12∶13；(4)三边长分别为7，24，25.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰、底及底边上的高，并按依次记录下数据，量完后，不当心与其他记录的数据混淆了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据( )A．13，10，10 B．13，10，12C．13，12，12 D．13，10，113．一根电线杆高12 m，为了平安起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离5 m处加一根拉线．拉线工人发觉所用线长为13.2米(不计捆缚部分)，则电线杆与地面________(填“垂直”或“不垂直”)．4．如图17－2－4所示，甲、乙两船从港口A同时动身，甲船以30海里/时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/时的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，则乙船航行的角度是南偏东多少度？图17－2－4学问点 2 勾股定理与其逆定理的综合应用5．有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是( )图17－2－5图17－2－66．如图17－2－6，在△ABC中，D为BC上一点，且BD＝3，DC＝AB＝5，AD＝4，则AC ＝________．7．如图17－2－7，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．图17－2－78．如图17－2－8，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.(1)求CD和AB的长；(2)求证：∠ACB＝90°.图17－2－89．如图17－2－9，A，B两个村庄分别在两条马路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路．若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB＝160 km，BC＝120 km，则A，C两村之间的距离为( )A．250 km B．240 kmC．200 km D．180 km17－2－917－2－1010．如图17－2－10是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC 的顶点都是图中的格点，其中点A，B的位置如图所示，则点C可能的位置共有( ) A．9个 B．8个 C．7个 D．6个11．若一个三角形的三边长之比为3∶4∶5，则这个三角形三边上的高的比为________．12．如图17－2－11，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC边上的中线AD＝2，延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE.(1)求证：△DEC≌△DAB；(2)求证：CE⊥AE；(3)求BC边的长．图17－2－1113．某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图17－2－12中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，AB＝3 m，BC＝4 m，CD＝12 m，DA＝13 m，∠B＝90°.(1)连接AC，△ACD是直角三角形吗？为什么？(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，则铺满这块空地共需花费多少元？图17－2－1214．小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家里动身沿南偏西30°方向走60米到达河边B处取水，然后沿另一方向走80米到达菜地C处浇水(家和菜地在河的同一侧)，最终沿第三方向走100米回到家里．(1)依据题意画出图形；(2)小明在河边取水后是沿哪个方向行走的？15．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2345…a 22－132－142－152－1…b 46810…c 22＋132＋142＋152＋1…(1)a＝________；b＝________；c＝________.(2)猜想：以a，b，c为三边长的三角形是不是直角三角形？为什么？。
勾股定理及逆定理的综合应用
圆柱(锥)中的最值问题
例： 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从 距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C
B
A
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的表 面爬行的，故需把圆柱展开成平 面图形.根据两点之间线段最短， 可以发现A、B分别在圆柱侧面 展开图的宽1m处和长24m的中 点处，即AB长为最短路线.(如图)
4a
证明“垂直”的方法
通过“角”来证明 通过“边”来证明
例题评讲
S1、S 2、S 3 S1+2S2+S3
8
在直线l上依次摆放着五个正方形，如图所示，已知倾斜放置的
两个正方形的面积分别是3,5,正放置的三个正方形的面积依次
是
,则
=____
分类思想
01
02
03
当已知条件中没有 给出图形时，应认 真读句画图，避免 遗漏另一种情况。
直角三角形中，已 知两边长，但不能 确定是直角边、斜 边时，应分类讨论。
规律
例：三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上 的高线AD=8,求BC.
A
17
8 10
B
C
例:三角形ABC是等腰三角形 AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方 向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕 为CE，求三角形ACE的面积
A BD
A
A
12-x 8
12
13
Ex x
D1
5
C D5 C D5 C
例：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上
的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求 (1) CF ( 2) EC. (3) AE
勾股定理及其逆定理的综合应用
那么这个三角形是直角三角形
用途：
判断三角形是否为直角三角形
问题2.勾股定理与勾股定理逆定理的联 系与区别．
定理
勾 股 定 理
勾的 股逆 定定 理理
区别
（1）勾股定理是以“一个三角形是 直角三角形”为条件，进而得到这个 直角三角形三边长的关系a2+b2=c2 (c 为斜边）
（2）勾股定理是根据直角三角形 探求边长的关系，体现由形到数的 转化
勾股定理与勾 股定理逆定理 都与直角三角 形有关
应用：例题讲解
例1 某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”
号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向
航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每
小时航行12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位
于点Q，R处，且相距30 n mile ．如果知道“远航”号沿
3
分析：证AC⊥CD，
1 勾股定理的逆定理
已知AD、CD必须先求到AC，
在直角△ABC中，用 勾股定理可求出AC
变式练习：如图所示的一块地，∠ADC＝90°， AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m， 求这块地的面积．
分析： 由于四边形土地是个不规则图形，求不 规则图形面积想到分成两个规则三角形 的面积之和，于是延长AD或者CD，分 别求两个的面积，但是可以发现两个图 形都不能求出
东北方向航行，能知道“海天”
N
号沿哪个方向航行吗？
东北方向是什么意思？
S
Q
北偏东450 即射线PQ
R
海天”号航行的方向即射线RP
求出∠RPN的度数即解决本题
P
E
解：根据题意得：
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例：三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边 上的高线AD=8,求BC.
A
17
8 10
B
C
例:三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13， BC=10，将AB向AC方向对折，再将CD 折叠到CA边上，折痕为CE，求三角形 ACE的面积
A
B
D
A 12-x 8 13 x D1 12 E 5 x C D5 C D5 C A
AC1 =√52+22 =√29
.
例题评讲
在直线l上依次摆放着五个正方形，如图所示，已知倾斜放置的
两个正方形的面积分别是3,5,正放置的三个正方形的面积依次
S2、 S3 ,则 S1 +2S2 +S3 =____ 8 是 S1、
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长，但不能确 定是直角边、斜边时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
A 5
1
3
A
5
C
12 B ∵ AB2=AC2+BC2=169, ∴ AB=13.
B
圆柱(锥)中的最值问题 例： 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m， 一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C A
B
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的 表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和 长24m的中点处，即AB长为最 短路线.(如图)
D1 A1 D
A 4 C1 1 B1 C 2 B
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股 定理可求得图1中AC1爬行的路线最 短.
D D1 C1
2
D1
C1
1
A1
B1
4
①
D
C
4
②
A B 2
C1
1
③
A
B
2
C
A 1 A1
4
B1
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ;
解：AC = 6 – 1 = 5 ， BC = 24 × 1 2 = 12，
由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .
长方体中的最值问题 例：如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿 长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所 示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
例：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在
BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM, 求 (1) CF ( 2) EC. (3) AE A
8 10 10
D
8-X
E
8-X X
B
6
F
4
C
正方体中的最值问 题
B
C
C a 2a B
A
A
结论：5a，即由两个正方形组成 的长方形的对角线长
台阶中的最值问题 例：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个 相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面 爬到B点，最短线路是多少？
勾股定理及逆定理的综合应用
例题评讲
1 例：如图，已知在正方形ABCD中，AE=EB，AF= AD. 4
求证：CE⊥EF
a 2a 4a 2a 4aF=3a，AE=EB=2a，BC=CD=4a.
余下的部分请同学们完成。
通过“角”来证 明
证明“垂直”的方 法 通过“边”来证