【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第七章 立体几何 计时双基练47 空间向量及其运算 理 北师大版

计时双基练四十七 空间向量及其运算

A 组 基础必做

1．点M (－8,6,1)关于x 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－8，－6，－1) B ．(8，－6，－1) C ．(8，－6,1)

D ．(－8，－6,1)

解析 点P (a ，b ，c )关于x 轴的对称点为P ′(a ，－b ，－c )。 答案 A

2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→。 其中与向量BD 1→

相等的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④

D ．①④

解析 ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→

； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→。 综上，①②符合题意。 答案 A

3．(2015²济南月考)O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →

，则A ，B ，C ，P 四点( )

A ．一定不共面

B ．一定共面

C ．不一定共面

D ．无法判断 解析 因为OP →＝34OA →＋18OB →＋18

OC →

，

且34＋18＋1

8＝1。所以P ，A ，B ，C 四点共面。 答案 B

4．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12

B ．－13，12

C ．－3,2

D ．2,2 解析 ∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)，

∴⎩⎪⎨⎪

⎧

6＝k λ＋1 ，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩

⎪⎨⎪

⎧

λ＝2，μ＝1

2或⎩

⎪⎨⎪

⎧

λ＝－3，μ＝1

2。

答案 A

5．(2015²西安质检)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →²AF →

的值为( )

A ．a 2

B.12a 2

C.14

a 2

D.34

a 2 解析 AE →²AF →＝12(AB →＋AC →)²12AD →＝14(AB →²AD →＋AC →²AD →)＝14(a 2cos 60°＋a 2

cos 60°)＝

14

a 2。故选C 。

答案 C

6．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →²AC →＝0，AC →²AD →＝0，AB →²AD →

＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是( )

A ．钝角三角形

B ．锐角三角形

C ．直角三角形

D ．不确定

解析 ∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →

)。

∴AM →²AD →＝12(AB →＋AC →)²AD →

＝12AB →²AD →＋12AC →²AD →

＝0。 ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形。 答案 C

7．(2016²长春模拟)已知点B 是点A (3,7，－4)在xOz 平面上的射影，则OB →2

等于________。

解析 点A 在xOz 平面上的射影为B (3,0，－4)，则OB →＝(3,0，－4)，OB →2

＝25。 答案 25

8．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)满足条件(c －a )²(2b )＝－2，则x ＝________。

解析 c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)，由(c －a )²(2b )＝－2，得(0,0,1－x )²(2,4,2)＝－2，即2(1－x )＝－2，解得x ＝2。

答案 2

9．已知P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，M 在线段PC 上，N 在线段PD 上，且PM ＝2MC ，PN ＝ND ，若MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →

，则x ＋y ＋z ＝________。

解析 如图，MN →＝PN →－PM →

＝12PD →－23

PC → ＝12(AD →－AP →)－23(PA →＋AC →) ＝12AD →－12AP →＋23AP →－23(AB →＋AD →) ＝－23AB →－16AD →＋16

AP →。

所以x ＋y ＋z ＝－23－16＋16＝－23。

答案 －2

3

10．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →

。 (1)若|c |＝3，且c ∥BC →

，求向量c 。 (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值。

解 (1)∵c ∥BC →，BC →

＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1，2)， ∴c ＝mBC →

＝m (－2，－1,2)＝(－2m ，－m,2m )。 ∴|c |＝ －2m 2

＋ －m 2

＋ 2m 2

＝3|m |＝3。 ∴m ＝±1。

∴c ＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)。 (2)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a ²b ＝(1,1,0)²(－1,0,2)＝－1。 又∵|a |＝12

＋12

＋02＝2， |b |＝ －1 2

＋02

＋22

＝5，