钢结构基本原理课件(陈以一)5

+
Ny0u''
+
(
Nr
2 0
−
R )θ
''
=
0
整体失稳变形
——包括弯曲变形和扭转变形 假定变形是微小的，但必须予以考虑
——以变形后位置建立平衡方程是非线性问题
z
N
II
II
v
II
z
N
v M x1
N
N
弯曲平衡
考虑挠度沿 y 轴发生，由平衡产生
M
x1
=
本坐标系中
x
为负值
0
Nv
θ
考虑形心位置发生扭转，再产生 M x2 ≈ −Nx0θ
σ cr
屈曲后强度物理原因
和数学分析
p.123-125
屈曲后强度会否高于屈服点？
屈曲后强度与屈服点 的比较
σ
fy
σ cr1
计算板件屈曲后强度
σ cr2
的有效宽度概念
σ cr3
板件 压杆
v w
w
§4 实腹式轴心压件中板件的局部稳定
七、屈曲后强度利用的讨论
正面： ——增大构件弹性抗弯刚度 ——提高构件整体稳定性
六、残余应力对压杆稳定承载力的影响
残余应力分布及峰值大小对稳定承载力的影响
Δσ1+Δσ2 <σE
σ max− = f y
Δσ1 = fy −σr− <σE σmax− = f y
σr-
Δσ1 Δσ2
Δσ1
σr+
N : 0 → NE*x
w v vm
N
N
N Ex
NE*x
v
N E (σ cr )
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
r02
=
Ix
+ Iy A
+
x
2 0
+
y
2 0
σ dAaθ ' dθ
σ dAaθ '
aθ θ
x
a(s) y
∫θ ' a(s)2σ rdA ⇒ θ ' R
双轴对称截面的扭转平衡
a a γ = adθ / dz
N
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
三、双轴对称截面理想压杆的临界力
失稳临界力
EI x v IV + Nv '' − Nx0θ '' = 0
弯曲平衡方程 EIxv'' + Nv = 0 EIx(v − vo)'' + Nv = 0
若 vo = vom sin(π ⋅ z / L)
N:0→
w
N
v vo
NE
vm vom
则 vm = vom /(1− N / NE) 或 N = (1− vo / vm)NE
结论 Nult < NE
v
N
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
§5 格构式轴心压件的整体稳定和肢杆稳定
二、考虑剪切变形的稳定平衡方程
考虑剪切变形影响的稳定平衡方程
v = v1 + v2 v1'' = − M x / EI x = − Nv / EI x
dv 2 dz
=γ
= γ 1V
=
γ
1
dM dz
x
= γ 1Nv '
→ v2'' = γ 1Nv ''
其中 γ 1 ——单位剪力作用下剪切角变形
双轴对称截面3个微分方程独立，得到3个解，对应3种失稳模态
杆端弯曲约束和扭转约束的自由、铰支、固接
约束对应的计算长度系数 p.101
失稳临界应力 σE = NE / A = π 2E / λ2
讨论：3种临界力中何者控制压杆的承载力？
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
四、单轴对称截面理想压杆的临界力
基本方程之一解耦（设 x 轴为对称轴）
工程做法：用宽厚比限值代替局部稳定计算
允许利用屈曲后强度时—容忍弹性局部失稳发生
工程计算方法：
——计算有效宽度和有效截面：p.126, 式(5-70)-(5-72)
be b
=
(1 − 0.22 / λe ) / λe，λe
=
σ e / σ cr = 1.05(b / t) σ e / kE
——用有效截面计算截面强度和整体稳定
§5 格构式轴心压件的整体稳定和肢杆稳定
一、格构式构件的概念
轴压构件的等稳定性要求 →格构式构件
肢杆 x y
y 实轴
格构式构件的类型
肢杆：材料—型钢或组合焊接截面 数量—双肢、三肢、四肢 （本章介绍双肢）
缀材：缀条—形成三角形区格 缀板—形成四边形区格
实轴与虚轴
x 缀材 虚轴
绕实轴的整体稳定
与实腹式构件相同
v '' = v1'' + v2'' = − Nv / EI x + γ 1Nv ''
− GItθ ''
−
Nx0v''
+
Ny0u''
+
(
Nr
2 0
−
R )θ
''
=
0
v
θ x0
约束扭转与翘曲
x M z1 = − Nv'x0
轴线弯曲引起的扭转分量 − N v ' x0 , N u ' y0 N
σ dAa(s)θ '
纵向应力和残余应力对扭转平衡的影响 σ dA
∫ σ dAa(s)θ ' ⋅ a(s) ⇒ θ ' a(s)2σ dA ⇒ Nr02θ '
EIxvIV + Nv'' − Nx0θ'' = 0
EIxvIV + Nv'' − Nx0θ'' = 0
EIyuIV + Nu'' − Ny0θ'' = 0
EIyu''+ Nu = 0
EIωθ IV −GItθ'' − Nx0v'' + Ny0u'' + (Nr02 − R)θ '' = 0 EIωθ '' − (GIt + R − Nr02)θ − Nx0v = 0
§4 实腹式轴心压件中板件的局部稳定
一、薄板受压时的失稳变形和平衡方程
理想轴心受压薄板
——板件平直，厚度相等
Nx b y
x
——板件宽度b和厚度t之比大于10
a
——轴压均匀分布，作用板的中面 t
t
受压薄板的弯曲失稳
w
受压薄板弹性失稳的平衡方程
∂4w D( ∂x4
+
2
∂4w ∂x2∂y4
+
∂4w ∂y4 )
非弹性稳定临界应力的修正
σ xcr
=
k
12
π
(1
2E
−μ
2
)
⋅
t2 b2
σ cr
σ xcr =
ψ
t
⋅k
⋅ π 2E 12(1 − μ 2 )
⋅
t2 b2
ψ t = Et / E
σ
fy
弹塑性修正
fy
b/t
Et / E
1.0
§4 实腹式轴心压件中板件的局部稳定
六、板件失稳后性能
板件失稳后性能特点
σ
——屈曲后强度
=
π 2E 412(1− μ2 )
/
b2 t2
宽厚比
比较
σE = π 2E / λ2
σxcr =π2E*[ k /(b/t)]2
§4 实腹式轴心压件中板件的局部稳定
三、板的多种边界条件及板的稳定系数
临界应力的一般表达方式
σ xcr
=
π 2E b2 4 12(1 − μ 2 ) / t 2
⇒
k
12
π
NEx = π 2EIx / L2ox
EI xv'' + Nv = 0
= π 2EA(Ix / A) / L2ox = π 2EA/ λx2
同理
NEy = π 2EIy / L2oy = π 2EA/ λ2y
NEθ = (π 2EIω / L2oθ + GIt + R) / r02 = π 2EA/ λθ2
轴心受压构件
Axially Compressive Member
第一节 概述 第二节 截面强度 第三节 实腹式轴心压杆的整体稳定 第四节 实腹式轴心压杆中板件的局部稳定 第五节 格构式轴心压杆的整体稳定和肢杆稳定 第六节 轴心受压构件的刚度 第七节 轴心受压构件的设计计算
截面形式和破坏类型
结构中的受压构件：桁架杆件、支撑、铰接柱 受压构件的截面 (参见 p.77）
Nxcr
=
π 2D
b2
mb (
a
+
n2a)2 mb
m、n的几何意义（波数图形）
n
=1时临界力有最小值
Nxcr n=1
=
π 2D
b2
( mb a
+
a )2 mb
=
k
π 2D
b2
N xcr
=
π 2D
4 b2
=
π 2E 412(1− μ2 )
⋅
t3 b2
p.120图5-15
临界应力
σ xcr
=
N xcr t
双轴对称截面、单轴对称截面、无对称轴截面
§1 概述
构件破坏类型
——截面强度破坏：截面有较大削弱处或非常粗短的构件 ——构件整体失稳：弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳 p.97 ——构件中板件的局部失稳
§2 截面强度
截面极限状态和工程计算公式
截面承载力（强度）
N u = An f y An —— 净截面；（最小受力截面） f y —— 屈服点
四、板间相互约束对稳定承载力影响
板间的相互影响
考虑板间相互影响的单板修正——采用板组约束系数
σ xcr
=
k
π
12(1
2E
−μ
2
)
⋅
t2 b2
σ xcr
=
χ
⋅k
π 2E 12(1 − μ 2 )
⋅
t2 b2
直接采用计入板间相互影响的稳定系数
p.121 表5-6
§4 实腹式轴心压件中板件的局部稳定
五、非弹性稳定
初始挠曲和初始扭转对稳定承载力的影响
例：若无初始变形 弯曲平衡方程 EIxv'' + Nv = 0
NEx = π 2EIx / L2ox
v
N : 0 → NEx
w
N Ex
N
vm
v
N
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
五、有缺陷压杆的稳定承载力
初始挠曲和初始扭转对稳定承载力的影响
例：双轴对称截面对强轴有初挠曲 v0
七、柱子曲线
σ cr / f y
ϕ
= σ cr
/
fy
轴心受压构件 稳定系数
Np
1.0
( fy)
弹塑性修正
含残余应力影响
λe
λ
稳定承载临界力(临界应力) ——长细比曲线
缺陷影响
λ
柱子（轴心压杆） 稳定系数曲线
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
七、柱子曲线
中国钢结构设计规范的柱子曲线
——4条稳定系数曲线 ——依截面形式、失稳方向、
工程计算公式
N ≤ An fd , fd = f y / γ R 或 fd = f y / K
σ
=
N An
≤
fd
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
一、理想压杆概念
截面几何中心（形心）和物理中心（质心）始 终重合 杆件轴线（截面形心的连线）笔直
轴力作用线与杆件轴线始终重合
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
负面: ——截面极限强度降低 ——无法利用塑性开展 ——构件滞回性能劣化
§4 实腹式轴心压件中板件的局部稳定
八、轴压构件板件局部稳定的设计原则
不允许出现局部失稳时
σ cr ≥ f 其中 f 为强度控制值或整体稳定控制值 整体稳定控制时：f = ϕ ⋅ f y 板件宽厚比限值
p.127推导 ，表5-7各项
(1
2E
−μ
2
)
⋅
t2 b2
k ——板的稳定系数，与荷载分布状态、边界约束条件有关
板的边界约束条件
——简单支承（铰接）、固接、自由 ——边界约束条件的搭配 ——实际构件中板件的边界约束
不同边界约束条件下的板的稳定系数 p.120-121
结论：约束越强，稳定系数就越大，临界应力越高
§4 实腹式轴心压件中板件的局部稳定
+
Nx
∂2w ∂x2
=
0
——单位板宽抗弯刚度
D
=
Et3
12(1− μ
2
)
EI x v IV + Nv '' = 0
EI x
=
Ebh 3 12
——单位板宽上的轴压力 N x
平衡方程的物理意义及与杆件的比较
§4 实腹式轴心压件中板件的局部稳定
二、四边简单支承板的稳定临界力
四边简单支承板 (边界上挠度、弯矩为零) 四边简单支承板的临界力
x
x0
x y0
x
y
x
y
y
x
y
x0 y
x0
y0
形心 剪力中心
z
L
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
二、理想压杆弹性失稳的平衡方程(2)
EI x v IV + Nv '' − Nx 0θ '' = 0
EI yu IV + Nu '' − Ny 0θ '' = 0
Fra Baidu bibliotek
EIωθ IV
− GItθ ''
−
Nx0v''
八、工程计算方法
工程计算原理
N ≤ N ult = σ cr A = (σ cr / f y ) Af y = ϕAf y N ≤ ϕ Af d
注意点： ——整体稳定计算计算采用毛截面 ？ ——采用设计规范的轴压构件稳定系数 计算步骤 ——确定轴力设计值 ——计算构件两主轴方向的长细比 ！ ——确定轴压构件稳定系数 ——稳定校核
（1）两组方程代表了整体失稳两种模态：弯曲失稳与弯扭失稳
（2）与双轴对称截面理想压杆的区别
临界力 N Ey = π 2 EI y / L2ox
两联立方程的求解：p.108
1 ( NEx
+
1 NEθ )NEω
− (1−
x02 r02
)
NE2ω NEx NEθ
=1
NEω
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
五、有缺陷压杆的稳定承载力
原因：形心相对剪力中心转动后
x
轴压力合力点作用位置相对偏移所致
x0
y
M x2
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
二、理想压杆弹性失稳的平衡方程(3)
EI x v IV + Nv '' − Nx 0θ '' = 0
zN
EI yu IV + Nu '' − Ny 0θ '' = 0
Nv'
Nv' y
EIωθ IV
板件厚度、制造加工方式 1.0 确定 p.106-107 表5.4及解释
稳定系数确定方法
ϕ = σ cr / f y
——公式法
由相对长细比
λ=λ
fy
按公式(5.34)计算 π E
λ
柱子曲线
p.105
——查表法
（轴心压杆稳定系数）
截面分类→计算长细比→查表 p.371-374
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
二、理想压杆弹性失稳的平衡方程(1)
EI x v IV + Nv '' − Nx0θ '' = 0 EI yu IV + Nu '' − Ny0θ '' = 0
EIωθ IV − GItθ '' − Nx0v'' + Ny0u'' + (Nr02 − R)θ '' = 0
截面坐标、剪力中心概念、由形心轴 规定的剪力中心坐标