2.1随机变量和其分布函数

设各次命中的概率为p，则
P{X=1} ＝p P{X=2} =p（1－p） P{X=3} ＝p（1－p）2 …… P{X=k} ＝p（1－p）k-1
二、分布函数的概念及性质
定义1 设X是一随机变量，称函数
F(x)=P{X≤x}， (－∞<x<∞)
(1)
为X的分布函数。
定理1 任一随机变量X的分布函数F(x)，都具有下列性质：
1,
x≥2
例2 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心 圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并且射击都能中 靶，以X表示弹着点与圆心的距离。试求随机变量X的分布函 数。
解：当x<0时，{X ≤x}为不可能事件 F(x)=P {X ≤x}=0
当 0x2时P ， {0Xx}k2 x,k为某一常数
例3 随机试验E：接连不断地进行射击，直到首次命中目标为 止，样本空间Ω＝{1，01，001， 0001，… },其中1表示命 中， 0表示未命中，001表示第1，2次未命中，第三次命中
（余类推），以X表示射击的次数，则X=X(e)，e∈Ω是随机变
量.其对应关系为
e1 X（e） 1
01 001 0001 … 2 3 4…
e=t∈ Ω
也是一个随机变量，其值域Rx＝[0,＋∞） 总结上述两例，有一个共同的特点：X均为定义在随机试验
的样本空间Ω上的函数，对于试验的不同结果X对应了不同的 值。由此我们引出
定义1 设E是随机试验，它的样本空间是Ω={e}，如果对
于每一个e∈Ω，有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个
定义在Ω上的单值实值函数X=X(e),称为随机变量。我们常用
当x<0时 F (x)P { x}0
0x1时 F(x)P{x}P{0}0.36
1x2时 F(x)P{x} P { 0 } P { 1 } 0 .84
x 2时
F(x)P{x}
P { 0 } P { 1 } P { 2 } 1
F(x)=
0,
x<0
0.36, 0≤x<1
0.84 , 1≤x<2
P{X>a} =1-F(a) P{X≥a} =1-F(a-0) 定义1 F(x)=P{X≤x}， (－∞<x<∞)
例1 接连进行两次射击，以ξ表示命中目标的次数。假设 已知每次射击命中目标的概率为0.4，写出ξ的分布函数
解：由假设易求得
P{ξ=0}=0.36 P{ξ=1}=0.48 P{ξ=2}=0.16
大写英文字母X，Y，Z，…，或小写希腊字母ξ，η，ζ，…来
表示随机变量。
区别之一是：函数f（x）的自变量是数x，而随机变量X（e）
的自变量是样本点e（样本空间的元素不一定是实数）
区别之二是：在试验之前只知道X（e）可能的取值范围，而
不能预知它取什么值，但对于任一实数a，我们可以研究{X=a} 发生的概率
1）单调不减性：பைடு நூலகம்x2>x1，F(x1)≤F(x2)
2）0≤F(x)≤1，且F(-∞)= lim F ( x) =0 x F(+∞) = lim F ( x) ＝1 x
3）右连续性：若a∈(－∞,+∞)，
F(a+0)= lim F ( x ) ＝F(a) x a
由定理1可推得：对于任意-∞＜a＜b＜ +∞，可通过分布
例2 观察某地区从一次三级以上地震到下一次三级以上地 震的时间间隔（以小时计算）试验结果本身是用数量表示的，
其样本空间Ω={e}＝{t≥0}。我们以X记间隔的时间（以小时计）
这样引入了一个变量X，这个变量由Ω中的结果所确定。随着 试验的不同结果取不同的值，其定义域为Ω，对应关系为：
X=X(e)＝t,
1
由题 P {0意 x， 2}22k1
k 4
F(x)=P {X ≤x} =P{X<0}+P{0≤X≤x} =x2/4
当 x2时 {X， x}是必然 F(x) 事 P {X件 x}1 ，
∴X的分布函数为
0,
x<0
F(x)= x2/4， 0≤x < 2
1， x≥2
y
1 O 2x
谢谢欣赏
THANK YOU FOR WATCHING
引入一个变量Ⅹ。对于试验的两个结果，将Ⅹ的值分别规定 为1或0。随着试验结果的不同，Ⅹ对立着不同的值。这种关
系体现在样本空间Ω上，即为定义在样本空间Ω上的函数
Ⅹ= X（e）= 1，e=H
0，e=T
由于结果的出现是随机的，因而函数X=X（e）的取值也是随
机的。我们称之为随机变量，其定义域为Ω，值域为Rx＝{0,1}
§2.1 随机变量
一、随机变量的概念
二、分布函数的概念及性质
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、随机变量的概念
例1 抛一枚硬币，可能有两种结果，“出现H”或 “出 现T”样本空间为Ω={H,T}={e}，现在以数“1”表示“出现 H”，以数“0”表示“出现T”.这样试验结果就是或者出现 数1或出现数0。在建立这种数量化关系时，实际上就相当于
函数F（x）来表示事件的概率，有
1) P{a<X ≤b} =P{X≤b}-P{X≤a} =F(b)-F(a) 2) P{X=a} =P{X≤a}-P{X<a} =F(a)-F(a-0)
3) P{a ≤X ≤b} =F(b)-F(a-0)
P{a<X <b} =F(b-0)-F(a) P{a ≤X<b} =F(b-0)-F(a-0) 4) P{X<a} =F(a-0)