2021高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的热点问题含解析
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第3讲 圆锥曲线中的热点问题
高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法的考查.
真 题 感 悟
1.(2020·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐
近线分别交于D ，E 两点.若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )
A.4
B.8
C.16
D.32
解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x . 因为D ，E 分别为直线x ＝a 与双曲线C 的两渐近线的交点，
所以不妨设D (a ，b )，E (a ，－b )，
所以S △ODE ＝12×a ×|DE |＝12
×a ×2b ＝ab ＝8， 则c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16，当且仅当a ＝b ＝2
2时等号成立，∴c ≥4. 故曲线C 的焦距2c 的最小值为8.
答案 B
2.(2020·全国Ⅰ卷)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2
a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →·GB →
＝8.P 为直线x ＝6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .
(1)求E 的方程；
(2)证明：直线CD 过定点.
(1)解 由题设得A (－a ，0)，B (a ，0)，G (0，1).
则AG →＝(a ，1)，GB →＝(a ，－1).
由AG →·GB →＝8，得a 2－1＝8，
解得a ＝3或a ＝－3(舍去).
所以椭圆E 的方程为x 29
＋y 2＝1. (2)证明 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (6，t ).
若t ≠0，设直线CD 的方程为x ＝my ＋n ，
由题意可知－3 易知直线PA 的方程为y ＝t 9 (x ＋3)， 所以y 1＝t 9 (x 1＋3). 易知直线PB 的方程为y ＝t 3 (x －3)， 所以y 2＝t 3 (x 2－3). 可得3y 1(x 2－3)＝y 2(x 1＋3).① 由于x 229＋y 22＝1，故y 22＝－（x 2＋3）（x 2－3）9 ，② 由①②可得27y 1y 2＝－(x 1＋3)(x 2＋3)， 结合x ＝my ＋n ， 得(27＋m 2)y 1y 2＋m (n ＋3)(y 1＋y 2)＋(n ＋3)2＝0.③ 将x ＝my ＋n 代入x 29 ＋y 2＝1， 得(m 2＋9)y 2＋2mny ＋n 2－9＝0. 所以y 1＋y 2＝－ 2mn m 2＋9，y 1y 2＝n 2－9m 2＋9. 代入③式 得(27＋m 2)(n 2－9)－2m (n ＋3)mn ＋(n ＋3)2(m 2＋9)＝0， 解得n ＝－3(舍去)或n ＝32 . 故直线CD 的方程为x ＝my ＋32， 即直线CD 过定点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫32，0. 若t ＝0，则直线CD 的方程为y ＝0，过点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫32，0. 综上，直线CD 过定点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫32，0. 3.(2020·新高考山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22 ，且过点A (2，1). (1)求C 的方程； (2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足.证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值. (1)解 由题设得4a 2＋1b 2＝1, a 2－b 2a 2＝1 2 ， 解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 2 3＝1. (2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 若直线MN 与x 轴不垂直， 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23 ＝1， 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2 .① 由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0， 故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km 1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A (2，1)不在直线MN 上， 所以2k ＋m －1≠0，所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1. 所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23－13 (k ≠1). 所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23 ，－13. 若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1). 由AM →·AN →＝0， 得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0. 又x 216＋y 213 ＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝23.