物理-经典力学和量子力学中的谐振子
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2.1.3自然长度和自然能量…………………………………………………………8
2.2三维谐振子…………………………………………………………………………8
2.3谐振子的相干态……………………………………………………………………9
2.3.1降算符的本征态………………………………………………………………9
2.3.2相干态的性质……wenku.baidu.com………………………………………………………10
关键字：谐振子；经典力学；量子力学；相干态
Abstract：Harmonic oscillator is importantin bothclassical and quantum mechanics. The reason is that simple harmonic oscillationwidely existsin nature, and many systems can be viewed as harmonic oscillatorsystem.In this paper, wemainly introduce the solution of the several categories and their relating physics terms of oscillator in classical mechanics and the relevantpropertyof one-dimensional harmonic oscillator, the three dimensional harmonic oscillator,anditscoherent state in quantum mechanics,finally compareharmonic oscillator in classical mechanics with that in quantum mechanics.
而且加速度a等于x的二次微分导数，得： (1.1.3)
若定义 ，则方程可以写为： (1.1.4)
又因为： (1.1.5)
然后代回（1.1.4）式，得到：
对方程积分，得： (1.1.6)
其中K是积分常数，设 ，得到：
(1.1.7)
再对方程积分，结果（包括积分常数 ）为：
(1.1.8)
并有一般解为：
(1.1.9)
1.6经典谐振子的计算
一质量为m的质点沿ox轴运动，它所受到的回复力 可从势函数的微商得到。势函数为：
（1.6.1）
力 的表达式为：
（1.6.2）
i是沿ox轴的单位矢量。运动方程可以写成：
（1.6.3）
令 （1.6.4）
（1.6.3）式可变为： （1.6.5）
方程（1.6.5）的解具有下列形式： （1.6.6）
3.经典谐振子和量子谐振子的比较………………………………………………………10
3.1能级…………………………………………………………………………………10
3.1.1能级取值点…………………………………………………………………10
3.1.2零点能………………………………………………………………………10
摘要（关键词）………………………………………………………………………………1
Abstract（Key words）…………………………………………………………………… 1
前言……………………………………………………………………………………………1
1.经典力学中的谐振子………………………………………………………………………1
振幅：偏离平衡点的最大的位移量。
周期：系统完成一个振荡循环所需的时间，为频率的倒数。
频率：单位时间内系统执行的循环总数量（通常以1赫兹 = 1/秒为量度）。
角频率：ω = 2πf
相位：系统完成了循环的多少（开始时，系统的相位为零；完成了循环的一半时，系统的相位为π）。
初始条件：t= 0时系统的状态。
1.1简谐振子……………………………………………………………………………1
1.2受驱谐振子…………………………………………………………………………2
1.3阻尼谐振子…………………………………………………………………………3
1.4受驱阻尼谐振子……………………………………………………………………3
1.5数学描述……………………………………………………………………………3
2.1.1哈密顿算符与能量本征态
和经典力学中的一样，一维谐振子的总能量也为：
(2.1)
二一维谐振子的哈密顿量为：
(2.2)
其中x为位置算符，动量算符 。(2.2)式中第一项代表粒子动能，而第二项代表粒子处在其中的位能。
为了要找到能阶以相对应的能量本征态，我们必须了解所谓的“定态薛定谔方程”：
.(2.3)
3.2波函数………………………………………………………………………………11
参考文献……………………………………………………………………………………13
致谢…………………………………………………………………………………………13
经典力学和量子力学中的谐振子
摘要：谐振子在经典力学和量子力学中都是比较重要的问题，原因在于简谐振动广泛存在于自然界中，而许多体系都可以看成谐振子。本文着重介绍了经典力学中谐振子的的几种类别及其相关物理量的求解和量子力学中一维谐振子、三维谐振子以及相干态的相关知识，最后对经典和量子两个范畴内的谐振子进行了比较。
，(1.3.1)
其中 是阻尼常数，满足关系式 。满足此方程的一个例子为置于水中的加权弹簧，假设水所施的阻尼力与速度v呈线性比例关系。
阻尼谐振子的频率为： (1.3.2)
其中 （1.3.3）
1.4受驱阻尼振子
受驱阻尼振子满足方程
。（1.4.1）
其一般解为两个解的和，一个为暂态解（无驱动阻尼谐振子的齐次常微分方程的解），与初始条件相关；另一个为稳态解（非齐次常微分方程的特殊解），与初始条件无关，只与驱动频率、驱动力、阻尼力有关。
这是粒子波动性的必然结果，这一结果表明静止的波是不存在的。在基态中，根据量子力学，我们知道一振子执行所谓的“零振动”且其平均动能为正值。最后，谐振子的能阶值是等距的，与波尔模型和盒中粒子问题不同。
引入厄米多项式，我们最后得到谐振子对应于能量本征值 的能量本征函数为：
(2.6)
我们会注意到基态的概率密度集中在原点。这表示粒子多数时间处在势阱的底部，合乎对于一几乎不带能量状态的预期。当能量增加时，概率密度变成集中在“经典转向点”，其中状态能量等同于势能。这样的结果与经典谐振子相一致；经典的描述下，粒子多数时间处在（或更有机会被发现在）转向点，因为在此处粒子速度最慢。因此满足对应原理。
(2.8)
x与p算符遵守下面的等式，称之为正则对易关系：
.(2.9)
利用上面关系，我们可以证明如下等式：
(2.10)
于是引入一个厄米算符
(2.11)
即：
(2.12)
既然与 有简单的线性关系，它们必可同时对角化。记 的一个本征值为n的本征态为 ：
(2.13)
则
，(2.14)
表示 态的能量本征值为：
(2.15)
稳态解为： （1.4.2）
其中 （1.4.3）
为阻抗或线性响应函数的绝对值
（1.4.4）
而 （1.4.5）
为相对于驱动力（相位定为0）的振动相位。
由上述关系式可以看出，当在某特定驱动频率ω时，振子振动的振幅达到最大。这个特定的驱动频率为：
（1.4.6）
此时，产生的现象称之为（位移上的）共振。
总结来说，在稳态时，振动频率等同于驱动力的频率，但振动与驱动力在相位上有偏移，且振幅大小与驱动频率相关；当驱动频率与振动系统偏好（共振）频率相同时，振幅达到最大。
它表示一个正弦运动，其振幅为 ，相位为 ，角频率为 ，相应的频率是：
（1.6.7）
只与质点的质量 和恢复力常数 有关，而振幅 和相位 都与运动初始条件有关。
振子的总能量E是： （1.6.8）
动能 和势能 的表达式为：
（1.6.9）
（1.6.10）
显然总能量在运动中是不变的，即
（1.6.11）
且由（1.6.9）（1.6.10）式知：当 时，势能有最小值0，而此时动能具有最大值 ；而当 时，势能具有最大值 ，而此时动能值最小为0。
2.1.2阶梯算符方法
上述的幂级数解法虽然直观，但是却显得相当复杂。阶梯算符方法允许我们不用解微分方程，就能直接求得能量本征值。首先，我们定义算符 与其伴随算符 ：
(2.7)
算符 并非厄米算符，它与伴随算符 并不相同。
算符 与 有如下性质：
在推导 形式的过程中，我们已用到算符x与p（代表可观测量）为厄米算符这样的事实。这些可观测量算符可以被表示为阶梯算符的线性组合：
其中振幅以及相位可过初始条件来决定。
另外也可以将一般解写成：
(1.1.10)
其中 的值与（1.1.9）式相比，偏移了 ；
一般解又可以写作为：
(1.1.11)
其中 与 为透过初始条件决定的常数，以替代前面形式的 与 。
其振动频率则为： (1.1.12)
动能为： .(1.1.13)
以及势能为： (1.1.14)
若同时存在一个正比于速度的摩擦力，则会存在阻尼现象，那么这种谐振子称为阻尼振子。在这种情况下，其振动频率小于无阻尼情况的振子，且振幅随着时间减小。
或者，若同时存在一个与时间相依的外力，该谐振子称为受驱振子。
1.1简谐振子
简谐振子没有驱动力，也没有摩擦，所以合力单纯为：
(1.1.1)
利用牛顿第二定律，有： (1.1.2)
进一步，对于经典振子： （1.6.12）
经典振子的速度v为; （1.6.13）
利用 ，且已知： （1.6.14）
（1.6.15）
其中 为振幅，平衡点为原点。当 时，由（1.6.15）式知此时经典振子的速度v有最大值 ，即经典振子在 处逗留时间最短，出现的几率最小。
2.量子力学中的谐振子
2.1一维谐振子
这与前段所给的能谱相符合。
这方法也能够用来很快地找到量子谐振子的基态波函数。只要将消灭算符作用于基态， 变为：
所以系统总能为定值： (1.1.15)
1.2受驱谐振子
一受驱谐振子满足如下非齐次二阶线性微分方程
，(1.2.1)
其中A0是驱动振幅，ω是驱动频率，针对的是一弦波式的驱动机制。这样的系统出现在交流LC（电感L-电容C）电路以及理想化的弹簧系统（没有内部力学阻力或外部的空气阻力）。
1.3阻尼谐振子
阻尼谐振子满足如下二阶微分方程
我们可以用幂级数方法在座标基底下解这个微分方程。可以得到有一族的解：
(2.4)
其中 。
函数 为厄米多项式：
所以，我们得到的谐振子的能级为：
， (2.5)
由(2.5)式。我们可以得知以下几点：
首先，能量是量子化的，只有离散的值——即 乘以1/2,3/2,5/2……。这是许多量子力学系统的特征。
再者，其基态能量（当n= 0时的能量）不为零，即
1.6经典谐振子的计算…………………………………………………………………4
2.量子力学中的谐振子……………………………………………………………………5
2.1一维谐振子…………………………………………………………………………5
2.1.1哈密顿算符和能量本征态…………………………………………………5
2.1.2阶梯算符方法………………………………………………………………6
Key words：Harmonic oscillator；Classical mechanics；Quantum mechanics；Coherent states
前言
何为谐振？在运动学就是简谐振动，该振动是物体在一个位置附近往复偏离该振动中心位置（即平衡位置）进行运动，在这个振动形式下，物体受力的大小总是和他偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。何为谐振子？把振动物体看作不考虑体积的微粒或者质点的时候，这个振动物体就叫谐振子。
1.5完整数学描述
多数谐振子，基本上满足以下的微分方程：
（1.5.1）
其中t是时间，b是阻尼常数， 是本征角频率，而 代表驱动系统的某种事物，其振幅为 ，角频率为ω，x是进行振荡的被测量量，可以是位置、电流或其他任何可能的物理量。角频率与频率f有关，关系式为
（1.5.2）
经典振子描述中的重要术语有：
1.经典力学中的谐振子
经典力学中，一个谐振子就是一个系统，当其从平衡位置发生位移，就会受到一个正比于位移x的恢复力F，并遵守胡克定律：
其中k是一个大于零的常数，由系统决定。
如果F是系统所受到的唯一的力，则系统被称作简谐振子。而其进行的往复运动称作简谐运动——正中央为平衡点的正弦或余弦的振动，且振幅与频率都是常数。
2.2三维谐振子…………………………………………………………………………8
2.3谐振子的相干态……………………………………………………………………9
2.3.1降算符的本征态………………………………………………………………9
2.3.2相干态的性质……wenku.baidu.com………………………………………………………10
关键字：谐振子；经典力学；量子力学；相干态
Abstract：Harmonic oscillator is importantin bothclassical and quantum mechanics. The reason is that simple harmonic oscillationwidely existsin nature, and many systems can be viewed as harmonic oscillatorsystem.In this paper, wemainly introduce the solution of the several categories and their relating physics terms of oscillator in classical mechanics and the relevantpropertyof one-dimensional harmonic oscillator, the three dimensional harmonic oscillator,anditscoherent state in quantum mechanics,finally compareharmonic oscillator in classical mechanics with that in quantum mechanics.
而且加速度a等于x的二次微分导数，得： (1.1.3)
若定义 ，则方程可以写为： (1.1.4)
又因为： (1.1.5)
然后代回（1.1.4）式，得到：
对方程积分，得： (1.1.6)
其中K是积分常数，设 ，得到：
(1.1.7)
再对方程积分，结果（包括积分常数 ）为：
(1.1.8)
并有一般解为：
(1.1.9)
1.6经典谐振子的计算
一质量为m的质点沿ox轴运动，它所受到的回复力 可从势函数的微商得到。势函数为：
（1.6.1）
力 的表达式为：
（1.6.2）
i是沿ox轴的单位矢量。运动方程可以写成：
（1.6.3）
令 （1.6.4）
（1.6.3）式可变为： （1.6.5）
方程（1.6.5）的解具有下列形式： （1.6.6）
3.经典谐振子和量子谐振子的比较………………………………………………………10
3.1能级…………………………………………………………………………………10
3.1.1能级取值点…………………………………………………………………10
3.1.2零点能………………………………………………………………………10
摘要（关键词）………………………………………………………………………………1
Abstract（Key words）…………………………………………………………………… 1
前言……………………………………………………………………………………………1
1.经典力学中的谐振子………………………………………………………………………1
振幅：偏离平衡点的最大的位移量。
周期：系统完成一个振荡循环所需的时间，为频率的倒数。
频率：单位时间内系统执行的循环总数量（通常以1赫兹 = 1/秒为量度）。
角频率：ω = 2πf
相位：系统完成了循环的多少（开始时，系统的相位为零；完成了循环的一半时，系统的相位为π）。
初始条件：t= 0时系统的状态。
1.1简谐振子……………………………………………………………………………1
1.2受驱谐振子…………………………………………………………………………2
1.3阻尼谐振子…………………………………………………………………………3
1.4受驱阻尼谐振子……………………………………………………………………3
1.5数学描述……………………………………………………………………………3
2.1.1哈密顿算符与能量本征态
和经典力学中的一样，一维谐振子的总能量也为：
(2.1)
二一维谐振子的哈密顿量为：
(2.2)
其中x为位置算符，动量算符 。(2.2)式中第一项代表粒子动能，而第二项代表粒子处在其中的位能。
为了要找到能阶以相对应的能量本征态，我们必须了解所谓的“定态薛定谔方程”：
.(2.3)
3.2波函数………………………………………………………………………………11
参考文献……………………………………………………………………………………13
致谢…………………………………………………………………………………………13
经典力学和量子力学中的谐振子
摘要：谐振子在经典力学和量子力学中都是比较重要的问题，原因在于简谐振动广泛存在于自然界中，而许多体系都可以看成谐振子。本文着重介绍了经典力学中谐振子的的几种类别及其相关物理量的求解和量子力学中一维谐振子、三维谐振子以及相干态的相关知识，最后对经典和量子两个范畴内的谐振子进行了比较。
，(1.3.1)
其中 是阻尼常数，满足关系式 。满足此方程的一个例子为置于水中的加权弹簧，假设水所施的阻尼力与速度v呈线性比例关系。
阻尼谐振子的频率为： (1.3.2)
其中 （1.3.3）
1.4受驱阻尼振子
受驱阻尼振子满足方程
。（1.4.1）
其一般解为两个解的和，一个为暂态解（无驱动阻尼谐振子的齐次常微分方程的解），与初始条件相关；另一个为稳态解（非齐次常微分方程的特殊解），与初始条件无关，只与驱动频率、驱动力、阻尼力有关。
这是粒子波动性的必然结果，这一结果表明静止的波是不存在的。在基态中，根据量子力学，我们知道一振子执行所谓的“零振动”且其平均动能为正值。最后，谐振子的能阶值是等距的，与波尔模型和盒中粒子问题不同。
引入厄米多项式，我们最后得到谐振子对应于能量本征值 的能量本征函数为：
(2.6)
我们会注意到基态的概率密度集中在原点。这表示粒子多数时间处在势阱的底部，合乎对于一几乎不带能量状态的预期。当能量增加时，概率密度变成集中在“经典转向点”，其中状态能量等同于势能。这样的结果与经典谐振子相一致；经典的描述下，粒子多数时间处在（或更有机会被发现在）转向点，因为在此处粒子速度最慢。因此满足对应原理。
(2.8)
x与p算符遵守下面的等式，称之为正则对易关系：
.(2.9)
利用上面关系，我们可以证明如下等式：
(2.10)
于是引入一个厄米算符
(2.11)
即：
(2.12)
既然与 有简单的线性关系，它们必可同时对角化。记 的一个本征值为n的本征态为 ：
(2.13)
则
，(2.14)
表示 态的能量本征值为：
(2.15)
稳态解为： （1.4.2）
其中 （1.4.3）
为阻抗或线性响应函数的绝对值
（1.4.4）
而 （1.4.5）
为相对于驱动力（相位定为0）的振动相位。
由上述关系式可以看出，当在某特定驱动频率ω时，振子振动的振幅达到最大。这个特定的驱动频率为：
（1.4.6）
此时，产生的现象称之为（位移上的）共振。
总结来说，在稳态时，振动频率等同于驱动力的频率，但振动与驱动力在相位上有偏移，且振幅大小与驱动频率相关；当驱动频率与振动系统偏好（共振）频率相同时，振幅达到最大。
它表示一个正弦运动，其振幅为 ，相位为 ，角频率为 ，相应的频率是：
（1.6.7）
只与质点的质量 和恢复力常数 有关，而振幅 和相位 都与运动初始条件有关。
振子的总能量E是： （1.6.8）
动能 和势能 的表达式为：
（1.6.9）
（1.6.10）
显然总能量在运动中是不变的，即
（1.6.11）
且由（1.6.9）（1.6.10）式知：当 时，势能有最小值0，而此时动能具有最大值 ；而当 时，势能具有最大值 ，而此时动能值最小为0。
2.1.2阶梯算符方法
上述的幂级数解法虽然直观，但是却显得相当复杂。阶梯算符方法允许我们不用解微分方程，就能直接求得能量本征值。首先，我们定义算符 与其伴随算符 ：
(2.7)
算符 并非厄米算符，它与伴随算符 并不相同。
算符 与 有如下性质：
在推导 形式的过程中，我们已用到算符x与p（代表可观测量）为厄米算符这样的事实。这些可观测量算符可以被表示为阶梯算符的线性组合：
其中振幅以及相位可过初始条件来决定。
另外也可以将一般解写成：
(1.1.10)
其中 的值与（1.1.9）式相比，偏移了 ；
一般解又可以写作为：
(1.1.11)
其中 与 为透过初始条件决定的常数，以替代前面形式的 与 。
其振动频率则为： (1.1.12)
动能为： .(1.1.13)
以及势能为： (1.1.14)
若同时存在一个正比于速度的摩擦力，则会存在阻尼现象，那么这种谐振子称为阻尼振子。在这种情况下，其振动频率小于无阻尼情况的振子，且振幅随着时间减小。
或者，若同时存在一个与时间相依的外力，该谐振子称为受驱振子。
1.1简谐振子
简谐振子没有驱动力，也没有摩擦，所以合力单纯为：
(1.1.1)
利用牛顿第二定律，有： (1.1.2)
进一步，对于经典振子： （1.6.12）
经典振子的速度v为; （1.6.13）
利用 ，且已知： （1.6.14）
（1.6.15）
其中 为振幅，平衡点为原点。当 时，由（1.6.15）式知此时经典振子的速度v有最大值 ，即经典振子在 处逗留时间最短，出现的几率最小。
2.量子力学中的谐振子
2.1一维谐振子
这与前段所给的能谱相符合。
这方法也能够用来很快地找到量子谐振子的基态波函数。只要将消灭算符作用于基态， 变为：
所以系统总能为定值： (1.1.15)
1.2受驱谐振子
一受驱谐振子满足如下非齐次二阶线性微分方程
，(1.2.1)
其中A0是驱动振幅，ω是驱动频率，针对的是一弦波式的驱动机制。这样的系统出现在交流LC（电感L-电容C）电路以及理想化的弹簧系统（没有内部力学阻力或外部的空气阻力）。
1.3阻尼谐振子
阻尼谐振子满足如下二阶微分方程
我们可以用幂级数方法在座标基底下解这个微分方程。可以得到有一族的解：
(2.4)
其中 。
函数 为厄米多项式：
所以，我们得到的谐振子的能级为：
， (2.5)
由(2.5)式。我们可以得知以下几点：
首先，能量是量子化的，只有离散的值——即 乘以1/2,3/2,5/2……。这是许多量子力学系统的特征。
再者，其基态能量（当n= 0时的能量）不为零，即
1.6经典谐振子的计算…………………………………………………………………4
2.量子力学中的谐振子……………………………………………………………………5
2.1一维谐振子…………………………………………………………………………5
2.1.1哈密顿算符和能量本征态…………………………………………………5
2.1.2阶梯算符方法………………………………………………………………6
Key words：Harmonic oscillator；Classical mechanics；Quantum mechanics；Coherent states
前言
何为谐振？在运动学就是简谐振动，该振动是物体在一个位置附近往复偏离该振动中心位置（即平衡位置）进行运动，在这个振动形式下，物体受力的大小总是和他偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。何为谐振子？把振动物体看作不考虑体积的微粒或者质点的时候，这个振动物体就叫谐振子。
1.5完整数学描述
多数谐振子，基本上满足以下的微分方程：
（1.5.1）
其中t是时间，b是阻尼常数， 是本征角频率，而 代表驱动系统的某种事物，其振幅为 ，角频率为ω，x是进行振荡的被测量量，可以是位置、电流或其他任何可能的物理量。角频率与频率f有关，关系式为
（1.5.2）
经典振子描述中的重要术语有：
1.经典力学中的谐振子
经典力学中，一个谐振子就是一个系统，当其从平衡位置发生位移，就会受到一个正比于位移x的恢复力F，并遵守胡克定律：
其中k是一个大于零的常数，由系统决定。
如果F是系统所受到的唯一的力，则系统被称作简谐振子。而其进行的往复运动称作简谐运动——正中央为平衡点的正弦或余弦的振动，且振幅与频率都是常数。