计算机考博试题计算理论及答案

计算理论

字母表：一个有穷的符号集合。

字母表上的字符串是该字母表中的符号的有穷序列。

一个字符串的长度是它作为序列的长度。

连接反转Kleene星号L* ，连接L中0个或多个字符串得到的所有字符串的集合。

有穷自动机：描述能力和资源极其有限的计算机模型。

有穷自动机是一个5元组M=(K,∑,δ,s,F),其中

1）K是一个有穷的集合，称为状态集

2）∑是一个有穷的集合，称为字母表

3）δ是从KX∑→K的函数，称为转移函数

4）s∈K是初始状态

5）F⊆K是接收状态集

M接收的语言是M接收的所有字符串的集合，记作L(M).

对于每一台非确定型有穷自动机，有一台等价的确定型有穷自动机有穷自动机接受的语言在并、连接、Kleene星号、补、交运算下是封闭的。

每一台非确定型有穷自动机都等价于某一台确定型有穷自动机。一个语言是正则的当且仅当它被有穷自动机接受。

正则表达式：称R是一个正则表达式，如果R是

1）a，这里a是字母表∑中的一个元素。

2）ε，只包含一个字符串空串的语言

3） ，不包含任何字符串的语言

4)(R1∪R2),这里R1和R2是正则表达式

5）(R10R2),这里R1和R2是正则表达式

6）(R1*),这里R1*是正则表达式

一个语言是正则的当且仅当可以用正则表达式描述。

2000年4月

1、根据图灵机理论,说明现代计算机系统的理论基础。

1936年，图灵向伦敦权威的数学杂志投了一篇论文，题为《论数字计算在决断难题中的应用》。在这篇开创性的论文中，图灵给“可计算性”下了一个严格的数学定义，并提出著名的“图灵机”(Turing Machine)的设想。“图灵机”不是一种具体的机器，而是一种思想模型，可制造一种十分简单但运算能力极强的计算机装置，用来计算所有能想像得到的可计算函数。这个装置由下面几个部分组成：一个无限长的纸带，一个读写头。（中间那个大盒子），内部状态（盒子上的方块，比如A,B,E,H），另外，还有一个程序对这个盒子进行控制。这个装置就是根据程序的命令以及它的内部状态进行磁带的读写、移动。工作带被划分为大小相同的方格，每一格上可书写一个给定字母表上的符号。控制器可以在带上左右移动，它带有一个读写出一个你期待的结果。这一理论奠定了整个现

代计算机的理论基础。“图灵机”更在电脑史上与“冯·诺依曼机”齐名，被永远载入计算

机的发展史中。

图灵机在理论上能模拟现代数字计算机的一切运算,可视为现代数字计算机的数学模型。实际上,

一切"可计算"函数都等价于图灵机可计算函数,而图灵机可计算函数类又等价于一般递归函数类。

2、说明按乔姆斯基分类，语言、文法、自动机的关系

乔姆斯基将语言定义为，按一定规律构成的句子或符号串string 的有限的或无限的集

合，记为L 。数目有限的规则叫文法，记为G 。刻画某类语言的有效手段是文法和自动机。

文法与自动机的关系:形式文法是从生成的角度来描述语言的,而自动机是从识别的角度来描

述语言的.文法和自动机是形式语言理论的基本内容。对某种语言来说,如果存在一个该语言

的生成过程,就一定存在一个对于它的识别过程.就描述语言来讲,形式语言和自动机是统一

的.文法在形式上定义为四元组：G ＝（VN,VT,S,P ）,VN 是非终极符号，VT 是终极符号，S

是VN 中的初始符号，P 是重写规则。

⏹ 文法是定义语言的一个数学模型，而自动机可看作是语言的识别系统。

⏹ 对于一个文法产生的语言，可以构造相应自动机接受该语言：一个自动机接受的语

言，可以构造对应的文法产生该语言。一定类型的自动机和某种类型的文法具有等

价性。

2、乔姆斯基根据转换规则将文法分作4类。每类文法的生成能力与相应的语言自动机

最常见文法的分类系统是 诺姆·乔姆斯基 于 1956年 发展的 乔姆斯基谱系 ，这个分

类谱系把所有的文法分成四类型： 无限制文法 、 上下文相关文法 、 上下文无关文法 和

正规文法 。四类文法对应的语言类分别是 递归可枚举语言 、 上下文相关语言 、 上下文

无关语言 和 正规语言 。这四种文法类型依次拥有越来越严的产生式规则，同时文法所能

表达的言也越来越少。尽管表达能力比无限文法和上下文相关文法要弱，但由于高效率的实

现，四类文法中最重要的上下文无关文法和正规文法。例如对下文无关语言存在算法可以生

成高效的LL 分析器和LR 分析器。

3、证明HALT(X R,X)不是可计算的。

4、（1）、证明递归集都是递归可枚举集。

（2）、举例属于递归可枚举集但不是递归集的集合，并证明之。

5、（1）、证明L＝{(a,b)*|a,b的个数相同}为上下文无关语言。（2）、并证明其不是正则的。P56

假设L是正则的，则根据在交下的封闭性，L∩a*b*也是封闭的，而后者正好是L1={ a i b i:i ≧0},假设L1是正则的，则存在满足泵引理的整数n。考虑字符串w= a n b n∈L。根据定理可以写成w=xyz使得|xy|≦n，且y≠e，即y=a i，其中i＞0.但是xz= a n-i b n L，与定理矛盾。2000年10月

1、

（1）给出图灵机的格局、计算及图灵机μ计算函数f的精确定义。

(2 ) 对图灵机模型而言，church论题是什么？

（3）当x是完全平方时值为3x，否则为3x+1证明其是原始递归函数。

2、证明φ（X，X）是不可计算的。

3、证明L={ambn|m,n>0,m≠n}是上下文无关的，但不是正则的。

利用上下文无关语言在并、连接、Kleene星号下是封闭的。

正则语言在交运算下封闭。

4、A为有穷字母表，L是A*的无穷子集，

（1）证明存在无穷序列ω0,ω1,ω2…，它由L的所有字组成，每个字恰好在其中只出现一次。

（2）是否存在从L构造序列ω0,ω1,ω2…,的算法（即i由计算ωi），为什么？

2001年4月

1、（1）当x是完全平方时值为2x，否则为2x+1证明其是原始递归函数。

（2）对图灵机模型而言，church论题是什么？

（3）通用图灵机的描述。

2、（1）用有穷自动机构造正则语言，以a2b结尾的字符串组成的正则语言L

（2）L={a3n bn |n>0}为上下文无关,但不是正则。

3、A为字母表，L为A*上任意的语言。阐述其乔姆斯基层次及用可计算性表述它们的关系。

4、证明不存在可计算函数h(x)，使φ(x,x)↓时h(x,x)= φ(x,x)+a,a∈N,φ(x,y)是编号为y输入为x时的程序。

2001年10月

1、{a，b}上递归枚举语言是否可数？证明

2、L={a，b，c数目相同的语言}是否CFL（上下文无关）？证明p95

证：不是上下文无关的。假设L是上下文无关的，则它与正则语言a* b*c*的交也是上下文无关的。令L1={a n b n c n:n≧0}假设L1是上下文无关语言。

取常数p，ω＝a p b p c p ,∣ω∣＝3p≥p