命题逻辑的推理理论
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推理: 从前提出发推出结论的思维过程 上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理. 证明: 描述推理正确或错误的过程.
推理的形式结构
定义 设A1，A2 ，…，Ak，B都是命题公式, 若对于A1，A2 ，…，Ak，B中出现的命题变 项的任意一组赋值，A1A2… Ak 均为假， 或当A1A2…Ak为真时, B也为真, 则称由 A1,A2,…, Ak推B的推理正确 ,并称B是有效的 结论； 否则推理不正确（错误）.
实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号. 解 设 p：今天是1号，q：明天是5号.
证明的形式结构为: (pq)pq 证明（用等值演算法）
说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方 便, 此时采用形式结构“ A1A2…AkB” . 而在 构造证明时，采用“前提: A1, A2, … , Ak, 结论: B”.
例3.2 判断下面推理是否正确
解上述类型的推理问题，首先应将简 单命题符号化。然后分别写出前提、结论、 推理的形式结构，接着进行判断。
说明（1）：
由前提A1，A2 ，…，Ak推结论B的推理是否正确 与诸前提的排列次序无关。
因而前提中的公式不一定是序列，而是一个有限
公式集合，记为 Г。 可将由Г推B的推理记为Г┞B，若推理是正确
的，则记为Г|=B，否则记为 Г| B。 这里可以称Г┞B 和{A1，A2 ，…，Ak} ┞B 为
前提： p q， q r 结论： r p 推理的形式结构： （（ p q ） （q r）） （r p） 用主析取范式法可知上式不是重言式，所以 推理不正确。
重要的推理定律（重言蕴涵式 ） A (AB) (AB) A (AB)A B (AB)B A (AB)B A (AB)(BC) (AC) (AB)(BC) (AC) (AB)(CD)(AC) (BD)
推理的形式结构。
说明（2）
设一提A组和1，赋结A值 论2的，a1取a…2…值，a情Ank（况，a有Bi＝中以0共下或出四1，现种n：i个＝命1，题2变，项…，n）对，于前任
（1） A1A2…Ak 为0，B为0； （2） A1A2…Ak 为0，B为1； （3） A1A2…Ak 为1，B为0； （4） A1A2…Ak 为1，B为1。
蕴涵式（A1A2…Ak ） 均为真，故
为重言式。
证明：充分性
若蕴涵式（A1A2…Ak ） 为
重言式，则对于任何赋值此重言式均为真，
因而不会出现前件为真后件为假的情况。即
在任何赋值下，或者A1A2…Ak为假， 或者A1A2…Ak和同时为真，这正符合
定义3.1中推理正确的定义。
分析：
由定理3.1可知，可以将由前提A1, A2, …, Ak 推B的推理的形式结构
{A1A2…Ak } ┞ B
转换成蕴涵式
（A1A2…Ak ）
推理前提的合取式成了蕴涵式的前件，结论成了蕴 涵式的后件，并将推理正确
{A1A2…Ak } |＝ B 转换成 A1A2…Ak B
其中是一种元语言符号，表示蕴涵式为重言式。
判断推理是否正确的方法
• 真值表法 • 等值演算法 • 主析取范式法 • 构造证明法
pq 00 01 Leabharlann Baidu0 11
pq 00 01 10 11
p （ p q ） q
0
0
0
1
0
0
1
1
p （ q p ） q
0
0
0
1
1
0
1
1
定理3.1 命题公式A1，A2 ，…，Ak推B的推 理正确当且仅当：
（A1A2…Ak ） 为重言式。
证明：必要性
若命题公式A1，A2 ，…，Ak推B的推
理正确，则不会出现A1A2…Ak为真， 而B为假的情况，因而在任何赋值下，
附加律 化简律 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论 等价三段论 构造性二难
推理定律 (续)
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难（特殊形式）
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
说明： (1)A, B, C为元语言符号，代表任意的命题公式。 (2)若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的. (3)AB产生两条推理定律: A B, B A.
由定义可知，只要不出现（3）中的情况，推理就 是正确的，因而判断推理正确与否，就是判断是否会 出现（3）中的情况。
例3.1 判断下列推理是否正确
（1） {p， p q } ┞ q （2） {p， q p } ┞ q
解：只要写出前提的合取式与结论的真值表，看是 否出现前提为真，而结论为假的情况即可。 由下面真值表可看出，（1）推理正确，（2） 推理不正确。
（1）若a能被4整除，则a能被2整除。a能被4整除， 所以a能被2整除。
（1）设 p：a能被4整除 q：a能被2整除
前提：p q，p 结论：q 推理的形式结构：（p q）p q 可知此推理正确，即 （p q）p q 。
（2）若a能被4整除，则a能被2整除。a能被2整除， 所以a能被4整除。
第三章 命题逻辑的推理理论
▪ 推理的形式结构 ▪ 自然推理系统P
关于“推理”
推理：指从前提出发推出结论的思维过程，
前提是已知命题公式集合， 结论是从前提出发应用推理规则推出的命题 公式。
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数 学中的推理。
推理的形式结构—问题的引入
推理举例: (1) 正项级数收敛当且仅当部分和上有界. (2) 若ACBD，则AB且CD.
（2）设 p：a能被4整除 q：a能被2整除
前提：p q，q 结论：p 推理的形式结构：（p q）q p 可知上式不为重言式，所以此推理不正确， 即 （p q）p >q 。
（3）下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电 影。所以，她去游泳了。
（3）设 p：马芳下午去看电影 q：马芳下午去游泳
前提：p q，p 结论： q 推理的形式结构：（（p q） p ） q 用等值演算法可知上市为重言式，所以，推理正 确。
（4）若下午气温超过30度，则王小燕必去游泳。 若她去游泳，她就不去看电影。所以，若王小燕没 去看电影，下午气温必超过了30度。
（4）设 p：下午气温超过30度 q： 王小燕去游泳 r： 王小燕去看电影
推理的形式结构
定义 设A1，A2 ，…，Ak，B都是命题公式, 若对于A1，A2 ，…，Ak，B中出现的命题变 项的任意一组赋值，A1A2… Ak 均为假， 或当A1A2…Ak为真时, B也为真, 则称由 A1,A2,…, Ak推B的推理正确 ,并称B是有效的 结论； 否则推理不正确（错误）.
实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号. 解 设 p：今天是1号，q：明天是5号.
证明的形式结构为: (pq)pq 证明（用等值演算法）
说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方 便, 此时采用形式结构“ A1A2…AkB” . 而在 构造证明时，采用“前提: A1, A2, … , Ak, 结论: B”.
例3.2 判断下面推理是否正确
解上述类型的推理问题，首先应将简 单命题符号化。然后分别写出前提、结论、 推理的形式结构，接着进行判断。
说明（1）：
由前提A1，A2 ，…，Ak推结论B的推理是否正确 与诸前提的排列次序无关。
因而前提中的公式不一定是序列，而是一个有限
公式集合，记为 Г。 可将由Г推B的推理记为Г┞B，若推理是正确
的，则记为Г|=B，否则记为 Г| B。 这里可以称Г┞B 和{A1，A2 ，…，Ak} ┞B 为
前提： p q， q r 结论： r p 推理的形式结构： （（ p q ） （q r）） （r p） 用主析取范式法可知上式不是重言式，所以 推理不正确。
重要的推理定律（重言蕴涵式 ） A (AB) (AB) A (AB)A B (AB)B A (AB)B A (AB)(BC) (AC) (AB)(BC) (AC) (AB)(CD)(AC) (BD)
推理的形式结构。
说明（2）
设一提A组和1，赋结A值 论2的，a1取a…2…值，a情Ank（况，a有Bi＝中以0共下或出四1，现种n：i个＝命1，题2变，项…，n）对，于前任
（1） A1A2…Ak 为0，B为0； （2） A1A2…Ak 为0，B为1； （3） A1A2…Ak 为1，B为0； （4） A1A2…Ak 为1，B为1。
蕴涵式（A1A2…Ak ） 均为真，故
为重言式。
证明：充分性
若蕴涵式（A1A2…Ak ） 为
重言式，则对于任何赋值此重言式均为真，
因而不会出现前件为真后件为假的情况。即
在任何赋值下，或者A1A2…Ak为假， 或者A1A2…Ak和同时为真，这正符合
定义3.1中推理正确的定义。
分析：
由定理3.1可知，可以将由前提A1, A2, …, Ak 推B的推理的形式结构
{A1A2…Ak } ┞ B
转换成蕴涵式
（A1A2…Ak ）
推理前提的合取式成了蕴涵式的前件，结论成了蕴 涵式的后件，并将推理正确
{A1A2…Ak } |＝ B 转换成 A1A2…Ak B
其中是一种元语言符号，表示蕴涵式为重言式。
判断推理是否正确的方法
• 真值表法 • 等值演算法 • 主析取范式法 • 构造证明法
pq 00 01 Leabharlann Baidu0 11
pq 00 01 10 11
p （ p q ） q
0
0
0
1
0
0
1
1
p （ q p ） q
0
0
0
1
1
0
1
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定理3.1 命题公式A1，A2 ，…，Ak推B的推 理正确当且仅当：
（A1A2…Ak ） 为重言式。
证明：必要性
若命题公式A1，A2 ，…，Ak推B的推
理正确，则不会出现A1A2…Ak为真， 而B为假的情况，因而在任何赋值下，
附加律 化简律 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论 等价三段论 构造性二难
推理定律 (续)
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难（特殊形式）
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
说明： (1)A, B, C为元语言符号，代表任意的命题公式。 (2)若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的. (3)AB产生两条推理定律: A B, B A.
由定义可知，只要不出现（3）中的情况，推理就 是正确的，因而判断推理正确与否，就是判断是否会 出现（3）中的情况。
例3.1 判断下列推理是否正确
（1） {p， p q } ┞ q （2） {p， q p } ┞ q
解：只要写出前提的合取式与结论的真值表，看是 否出现前提为真，而结论为假的情况即可。 由下面真值表可看出，（1）推理正确，（2） 推理不正确。
（1）若a能被4整除，则a能被2整除。a能被4整除， 所以a能被2整除。
（1）设 p：a能被4整除 q：a能被2整除
前提：p q，p 结论：q 推理的形式结构：（p q）p q 可知此推理正确，即 （p q）p q 。
（2）若a能被4整除，则a能被2整除。a能被2整除， 所以a能被4整除。
第三章 命题逻辑的推理理论
▪ 推理的形式结构 ▪ 自然推理系统P
关于“推理”
推理：指从前提出发推出结论的思维过程，
前提是已知命题公式集合， 结论是从前提出发应用推理规则推出的命题 公式。
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数 学中的推理。
推理的形式结构—问题的引入
推理举例: (1) 正项级数收敛当且仅当部分和上有界. (2) 若ACBD，则AB且CD.
（2）设 p：a能被4整除 q：a能被2整除
前提：p q，q 结论：p 推理的形式结构：（p q）q p 可知上式不为重言式，所以此推理不正确， 即 （p q）p >q 。
（3）下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电 影。所以，她去游泳了。
（3）设 p：马芳下午去看电影 q：马芳下午去游泳
前提：p q，p 结论： q 推理的形式结构：（（p q） p ） q 用等值演算法可知上市为重言式，所以，推理正 确。
（4）若下午气温超过30度，则王小燕必去游泳。 若她去游泳，她就不去看电影。所以，若王小燕没 去看电影，下午气温必超过了30度。
（4）设 p：下午气温超过30度 q： 王小燕去游泳 r： 王小燕去看电影