高中数学——空间向量与立体几何练习题(附答案)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间向量练习题
1. 如图所示，四棱锥
P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE
⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE
所成二面角（锐角）的大小.
如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的
坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），
3
(
2
C
1
(
2
D P（0，0，2）,E
（Ⅰ）证明因为BE=，
平面PAB的一个法向量是
(0,1,0)
n=，
所以
BE n
和共线.从而BE⊥平面PAB.
又因为BE⊂平面PBE，
故平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)解易知(1,0,2),0
PB BE
=-=
1
(0,0,2),(
2
PA AD
=-=
设
1111
(,,)
n x y z
=
是平面PBE的一个法向量，则由1
1
0,
n PB
n BE
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
A
A
得
111
122
020,
000.
x y z
x y z
+⨯-=
⎧
⎪
⎨
⨯++⨯=
⎪
⎩
所以
1111
0,2.(2,0,1).
y x z n
===
故可取
设
2222
(,,)
n x y z
=
是平面PAD的一个法向量，则由2
2
0,
n PA
n AD
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
A
A
得
222
222
0020,
1
00.
2
x y z
x y z
⨯+⨯-=
⎧
⎪
⎨
+⨯=
⎪
⎩
所以
222
0,.
z x
==故可取
2
1,0).
n=-
于是，12
12
12
cos,
n n
n n
n n
<>===
A
A
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
2. 如图，正三棱柱ABC －
A 1
B 1
C 1
的所有
棱长都为2，D 为CC 1中点。（Ⅰ）求证：AB 1⊥面A 1BD ；
（Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的大小；（Ⅲ）求点C 到平面A 1BD 的距离；
（Ⅰ）证明 取BC 中点O ，连结AO ．ABC
△为正三角形，AO BC ∴
⊥．
在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，
AD ∴⊥平面11BCC B ．
取
11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA
的方向为x y z ，，
轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(02A ，(00A ，1(120)B ，，
，1(12AB ∴= ，(210)BD =- ，，，1(12BA =- ．12200AB BD =-++= A ，111430AB BA =-+-=
A ，
1AB BD ∴ ⊥，11AB BA ⊥．
1AB ∴⊥平面1A BD ．
（Ⅱ）解 设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．
(11AD =--
，1(020)AA = ，，
．AD ⊥n ，1AA ⊥n ，
100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ A
A ，，n n 020x y y ⎧
-+=⎪∴⎨=⎪
⎩，，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，．令1z =得(01)=n 为平面1A AD 的一个法向量．
由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，
1AB ∴
为平面1A BD 的法向量．
cos AB AB AB >== = A A n n ．∴二面角1A A D B --的大小为 （Ⅲ）解由（Ⅱ）， 1 AB 为平面 1 A BD法向量， 1 (200)(12 BC AB =-= ，，，，，． ∴点C到平面 1 A BD的距离d． 3.如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， 2, CA CB CD BD AB AD ====== （1）求证：AO⊥平面BCD； （2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值； （3）求点E到平面ACD的距离． ⑴证明连结OC ,,. BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ , BO DO BC CD == ，CO BD ⊥． 在AOC ∆中，由已知可得1, AO CO == 而2 AC=，222, AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即. AO OC ⊥ , BD OC O = ∴AO⊥平面BCD． (2)解以O为原点，如图建立空间直角坐标系， 则(1,0,0),(1,0,0), B D- 1 (0,0,1),((1,0,1),(1, 2 C A E BA CD =-=- cos, BA CD BA CD BA CD ⋅ ∴<>== ⋅ ∴异面直线AB与CD． ⑶解设平面ACD的法向量为(,,), n x y z = 则