第二章 2.5 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用【教师版】

第2课时等比数列前n项和的性质及应用

学习目标

1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.

2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．

知识点一 等比数列前n 项和公式的函数特征 当公比q ≠1时，设A ＝a 1

q －1

，等比数列的前n 项和公式是S n ＝A (q n －1)．即S n 是n 的指数型函数．

当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，S n 是n 的正比例函数． 知识点二 等比数列前n 项和的性质

1．数列{a n }为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n 不是偶数)，S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍构成等比数列．

2．若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ＋m ＝S n ＋q n S m (n ，m ∈N *)．

3．若{a n }是公比为q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n 项中，S 偶

S 奇

＝q ；

②在其前2n ＋1项中，S 奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…－a 2n ＋a 2n ＋1 ＝

a 1＋a 2n ＋1q 1－(－q )＝a 1＋a 2n ＋2

1＋q

(q ≠－1)．

1．等比数列{a n }的前n 项和S n 不可能等于2n .( √ ) 2．若{a n }的公比为q ，则{a 2n }的公比为q 2.( √ )

3．若{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5的公比也为q .( √ ) 4．等比数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n .则{S n }也是递增数列．( × )

5．对于公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和公式，其q n 的系数与常数项互为相反数．( √ )

题型一 等比数列前n 项和公式的函数特征应用 例1 数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2.求{a n }的通项公式． 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －

1－2)＝2·3n －

1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1不适合上式．

∴a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

1，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.

反思感悟 已知S n ，通过a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

S 1，n ＝1，

S n －S n －1，n ≥2求通项a n ,应特别注意n ≥2时,a n ＝S n －S n －1.

(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列． 跟踪训练1 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －

1＋t ，则t ＝ . 答案 －1

3

解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)， 又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－1

3.

题型二 等比数列前n 项和的性质

命题角度1 连续n 项之和问题

例2 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n ＋S 2

2n ＝S n (S 2n

＋S 3n )．

证明 方法一 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1， 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，

∴S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，

S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，

∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．

当q ≠1时，S n ＝a 11－q (1－q n )，

S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 1

1－q (1－q 3n )，

∴S 2n ＋S 22n

＝⎝⎛⎭

⎫a 11－q 2

·

[(1－q n )2＋(1－q 2n )2] ＝⎝⎛⎭

⎫a 1

1－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )．

又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2(1－q n )(2－q 2n －q 3n )＝⎝⎛⎭

⎫a 1

1－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )，

∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．

方法二 根据等比数列的性质有

S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n S n ，

∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋[S n (1＋q n )]2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )， S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )． ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．

反思感悟 处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法

(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质．

跟踪训练2 在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . 解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，

由已知得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1(1－q n )

1－q

＝48，a 1

(1－q

2n )

1－q

＝60，

①②

②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝1

4.③

将③代入①得a 1

1－q

＝64，

所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝64×⎝⎛⎭⎫1－1

43＝63.

命题角度2 不连续n 项之和问题

例3 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．

解 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇，S 偶，由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶， ∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝1

3.

又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，得a 1＝12. 故所求通项公式为a n ＝12×⎝⎛⎭

⎫13n －1

，n ∈N *. 反思感悟 注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快．

跟踪训练3 设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则1236a a a a b b b b ⋯＋＋＋＋＝ . 答案 126

解析 设数列{b n }的公比为q ，则q ＝2， ∵

1111

11

12,n n n n n n

a a a a a a

b b q q b b q

+++---⋅===⋅ ∴{}

n a b 是首项为b 2，公比为2的等比数列．