鲁棒控制理论第二章

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鲁棒控制与故障诊断 第二章

鲁棒控制与故障诊断 第二章

A∈ Rn×n with distinct eigenvalues can be diagonalized:
A[x1 x2 ⋯ xn ] = [x1 x2
⎡λ1 ⎤ ⎢ ⎥ λ 2 ⎥. ⋯ xn ]⎢ ⎢ ⎥ ⋱ ⎢ ⎥ λn ⎦ ⎣
and has the following spectral decomposition:

Sylvester equation
AX+XB = C
with A∈ Fn×n, B∈ Fm×m , and C∈ Fn×m has a unique solution X∈ Fn×m, if and only if λi(A)+λj(B)≠0, ∀i=1,2,…,n and j=1,2,…,m.

Example: Let A be such that
A [x1 x2 x3 x 4 ] = [x1 x2 x3
⎡ λ1 ⎢ x 4 ]⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 λ1 ⎤ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ λ4 ⎦
λ3
with Re λ1<0, λ3<0, and λ4>0. Then it is easy to verify that
⎡ A11 ⎢A ⎣ 21 ⎡ A11 ⎢0 ⎣
−1 0 ⎤ ⎡ A11 = ⎢ −1 −1 A22 ⎥ − A A A ⎦ ⎣ 22 21 11 −1
−1
0 ⎤ −1 ⎥ A22 ⎦
−1 −1 −1 A12 ⎤ ⎡ A11 ⎤ − A11 A12 A22 =⎢ ⎥. ⎥ −1 A22 ⎦ A22 ⎣ 0 ⎦
S1=span{x1}, S12=span{x1 , x2}, S123=span{x1 , x2 , x3}, S3=span{x3}, S13=span{x1 , x3}, S124=span{x1 , x2 , x4}, S4=span{x4}, S14=span{x1 , x4}, S34=span{x3 , x4}

第二部分:随机控制与鲁棒控制资料

第二部分:随机控制与鲁棒控制资料

随机系统的数学模型
•I/O模型
•广义回归模型
系统差分方程
yk a1' yk 1 am' yk m b0'uk b1'uk 1 bm'uk m
引入时域后移算子q1 ,有
A1 q1 1 a1' q1 am ' qm B1 q1 b0 'b1' q1 bm ' qm

y k
则互谱密度为
xy
lim
T
1
2
E
FxT FyT
随机过程的互谱密度
互相关函数的时间均值与互谱密度是一对傅立叶变换对
A Cxyt,t xy
如果 xt1和yt2 是联合平稳的,则有
Cxy t1,t2 Cxy
Cxy xy
白噪声
•一般定义:
如果随机过程 vt 的谱密度等于常数,即 C
v k
C1 A2
q 1 q 1
wk
正态白噪声序列

zk
B1 A1
q1 q1
uk C1
A2
q1 q1
wk
wk
C1 q1 A2 q1
uk
B1 q1 yk vk A1 q1
zk
广义回归模型
进一步
z k
B1 A1
q 1 q 1
A2 A2
最小二乘估计
进一步观察矩阵 T 与向量T z, 有
2n*2n维矩阵 2n*1维向量
N
T kkT k 1
N
T z k zk k 1
(n+m)*(n+m)维 (n+m)*1维
当A(q-1)和 B(q-1)的阶 次分别为n 和m时

鲁棒控制理论及应用课程吴敏

鲁棒控制理论及应用课程吴敏

∂xT
4γ 2 ∂xT
∂x

x
=
f
(x) +
1 2γ 2
gg T
∂φ ∂x
(x)
d)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x)和正常数ε,使哈密顿-
9
雅可比不等式
∂φ ∂xT
f
成立 + 1 ∂φ gg T ∂φ + hTh + ε xT x ≤ 0
4γ 2 ∂xT
∂x
2015年10月25日
鲁棒控制理论及应用课程

x=
f
(x) +
1 2γ 2
g1 g1T
∂φ ∂x

1 2
g2
g2T
∂ϕ ∂x
+
g1
γ 2
g1T
∂φ ∂x
+
~
z
是渐进稳定的,而且是局部L2稳定的
b)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x)和正常数ε,使哈密顿-
雅可比不等式 成立,而且 ∂φ ∂xT
f
+
1 4
∂φ ∂xT
⎛ ⎜ ⎝
给定一个常数γ>0,下述条件是等价的。
a)非线性系统Szw是指数稳定的,而且 γ S < zw Lc2 b)近似线性系统 S%zw 是稳定的,而且 S%zw ∞ < γ
c)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x),使哈密顿-雅可比方程
成立,而且 是指数稳定的 ∂φ f + 1 ∂φ ggT ∂φ + hTh = 0
∂xT
4γ 2 ∂xT
∂x
7
成立,而且
1 gT ∂φ 2
lim 2 ∂x < ∞

现代控制理论鲁棒控制资料课件

现代控制理论鲁棒控制资料课件

鲁棒优化算法的应用
01
02
03
鲁棒优化算法是一种在不确定环 境下优化系统性能的方法。
鲁棒优化算法的主要思想是在不 确定环境下寻找最优解,使得系 统的性能达到最优,同时保证系 统在不确定因素影响下仍能保持 稳定。
鲁棒优化算法的主要应用领域包 括航空航天、机器人、能源系统 、化工过程等。
05
现代控制理论鲁棒控制实 验及案例分析
现代控制理论鲁棒控制的成就与不足
• 广泛应用在工业、航空航天、医疗等领域
现代控制理论鲁棒控制的成就与不足
01
02
不足
控制系统的复杂度较高,难以设 计和优化
对某些不确定性和干扰的鲁棒性 仍需改进
03
实际应用中可能存在实现难度和 成本问题
04
未来研究方向与挑战
研究方向
深化理论研究,提高鲁棒控制器 的设计和优化能力
线性鲁棒控制实验
线性鲁棒控制的基本原理
01
介绍线性鲁棒控制的概念、模型和控制问题。
线性鲁棒控制实验设计
02 说明如何设计线性鲁棒控制实验,包括系统模型的建
立、鲁棒控制器的设计和实验步骤。
线性鲁棒控制实验结果分析
03
对实验结果进行分析,包括稳定性、性能和鲁棒性能
等。
非线性鲁棒控制实验
非线性鲁棒控制的基本原理
03
线性系统的分析与设计:极点配置、最优控制和最优
估计等。
非线性控制系统
1
非线性系统的基本性质:非线性、不稳定性和复 杂性。
2
非线性系统的状态空间表示:非线性状态方程和 输出方程。
3
非线性系统的分析与设计:反馈线性化、滑模控 制和自适应控制等。
离散控制系统

生了现代鲁棒控制。鲁棒控制理论发...

生了现代鲁棒控制。鲁棒控制理论发...

Classified Index: TP273U.D.C: 681.513.3Thesis for the Master Degree in EngineeringRESEARCHES ON ROBUST CONTROL AND APPLICATION OF NON-MINIMUM PHASESYSTEMSWenjun Candidate: Fan Supervisor: Associate Prof. Ma JieAcademic Degree Applied for: Master of EngineeringSpeciality: Control Science and Engineering Affiliation: Control and Simulation CenterDate of Defence: June, 2009Degree Conferring Institution: Harbin Institute of Technology摘 要本文以磁悬浮球和一级倒立摆两个典型的非最小相位系统为研究对象,对只有一个不稳定极点的非最小相位系统采用混合灵敏度设计,对同时具有不稳定零、极点的非最小相位系统采用复合控制,并分别在磁悬浮球系统和一级倒立摆系统中实现。

首先,分别建立磁悬浮球系统和一级倒立摆系统的数学模型,并将非线性模型线性化,分别分析系统的能控性以及系统中包含的不确定性因素。

其次,研究了灵敏度设计中的鲁棒性、加权函数选择原则、优化指标等问题,针对只有不稳定极点的磁悬浮球系统,先运用PV控制将其稳定,测试系统对象特性,得到名义对象和不确定性界后再运用混合灵敏度设计,通过转化成H∞标准问题求解控制器。

然后,针对同时具有不稳定零、极点的非最小相位系统,研究输出反馈鲁棒性设计的极限,并采用复合控制方案,以倒立摆系统为例,先用经典控制稳定摆角回路,再对位置回路进行H∞输出反馈控制设计。

鲁棒控制理论

鲁棒控制理论


1
这种形式的摄动可用下图表示
q
H
L
W
p
v z
L
-
上图可以简化为
L
p q
H
根据小增益定理,闭环系统稳定的充分条
件是 H 1 L
H L H L ,且 L 摄动系统稳定的充分条 H

1
件是
1
实际上上式是一个充要条件
从方框图可得 稳定条件为
假设相对摄动满足下面不等式
L ' ( j ) L ( j ) L ( j ) W ( j ) , R
则稳定条件变为
L ' ( j ) L ( j ) L ( j ) T 0 ( j ) W ( j )T 0 ( j ) 1, R
W 2 ( j ) L ( j ) 1 L ( j ) ,
上式表明在每一频率下,临界点-1都位于 以 L ( j ) 为圆心,以 W 2 ( j ) L ( j ) 为半径的圆外。
摄动系统框图,设 || || 1
W 2T
W2

K
P
W 2T
即峰值 S
R
大,在高频衰减下来。
考虑SISO反馈系统的回路增益L=PC的Nyquist图,L是 标称值,L’是实际值
-1 L’ L
0
实际闭环系统稳定的充分条件是L’的
Nyquist图不包围-1点。由图可以看出,也 就是对于所有频率有:
L ' ( j ) L ( j ) L ( j ) ( 1) L ( j ) 1 , R

1
1.3.2 控制系统的摄动形式

鲁棒控制2

鲁棒控制2

4.程序及说明应用MATLAB的Robust Control Toolbox可编写设计程序(文件名sushinf.m),以下是程序中主要内容的说明:(1)构成系统的名义模型,并计算和绘制系统的频率特性曲线(图12.6 ),图中的两条曲线分别为车体速度响应和加速度响应。

由图可见,系统的加速度响应曲线正好在5hz处出现峰值。

Ac=susmoda;Bc=susmodb;Bwc=susmodbw;C=susmodc;C1=[0 Ac(2,2) Ac(2,3) Ac(2,4) 0];C2=C;Ag=Ac;Bg=[ Bwc Bc ];Cg=[ C1; C2 ];Dg=zeros(2,2);% Frequency Characteristicsw=logspace(-3,1,200);% No Control[magn,phasen]=bode(Ag,Bg,Cg,Dg,1,w);sysgb=20*log10(magn);figuresemilogx(w,sysgb)title(' SYSTEM FREQ. CHARACTERISTICS ')xlabel('Frequency --*100Hz')ylabel('Gain -- db')gridpause图12.6 无控制时系统的频率响应特性(2)计算频率加权函数并绘制频率特性图。

% Design specification3 --W1 & W3% Sensitivity Spec. -- 1/W1(s)dnw1i = [0 0.059 0.0036]; nuw1i = [1 0.006 0.0036]; svw1i = bode(nuw1i,dnw1i,w); svw1i = 20*log10(svw1i);% Robustness Spec. -- 1/W3(s)dnw3i = 0.1*[0.124 0.013 0.001]; nuw3i = [0.0025 0.5 1]; svw3i = bode(nuw3i,dnw3i,w); svw3i = 20*log10(svw3i);figuresemilogx(w,svw1i,'r',w,svw3i,'g')gridtitle('Design Specifications')xlabel('Frequency -- *100Hz'),ylabel('1/W1 & 1/W3 -- db') pause图12.7 频率加权函数1/W和1/3W1(3)利用Robust control toolbox提供的augtf()命令建立具有混合灵敏度加权矩阵函数的扩展系统模型(见式(12.3-13)-(12.3-16)).% Form an augmented plant P(s) with W1 and W3Gam = input('Input cost coefficient "Gam" =');% Gam=0.07 is avilablew1 = [Gam*dnw1i; nuw1i; Gam*dnw1i; nuw1i];w2 = [0 1; 0 1e4; 0 1; 0 1e4];w3 = [dnw3i; nuw3i; dnw3i; nuw3i];svw1i = bode(nuw1i,Gam*dnw1i,w); svw1i = 20*log10(svw1i); [A,B1,B2,C1,C2,D11,D12,D21,D22]=augtf(ag,bg,cg,dg,w1,w2,w3);(4)利用hinf ( )命令,以“2-Riccati 方程”求解系统的∞H 控制问题,得到一个∞H 控制器⎥⎦⎤⎢⎣⎡=cp cpcp cp D C B A s K )( % H_inf Optimization (the Small_Gain problem )[acp,bcp,ccp,dcp,acl,bcl,ccl,dcl,ak,bk1,bk2,ck1,ck2,dk 11,dk12,dk21,dk22]=hinf(A,B1,B2,C1,C2,D11,D12,D21,D22) pause(5) 检查是否满足设计要求(12.3-17)% Plots for evaluationing H_inf design performance% Computing L(s)=G(s)*F(s)[ al,bl,cl,dl ] = series(acp,bcp,ccp,dcp,ag,bg,cg,dg);% Computing Bode plot of the cost functionsvtt = sigma(acl,bcl,ccl,dcl,1,w); svtt = 20*log10(svtt);figuresemilogx(w,svtt) gridtitle([' COST FUNCTION Ty1u1 (Gam=',num2str(Gam),')']) xlabel('Frequency -- *100Hz') ylabel('SV -- db') pause程序运行结果表明已满足了1≤∞zw T 的条件,见图12.8图12.8 成本函数T zw 的特征值(6)比较灵敏度函数S(s)与1/W 1的奇异值、补灵敏度函数T (s )与1/W 3的奇异值(注意:设计过程中,为了满足1≤∞zwT 的条件,W 1已被调整),程序运行结果表示在图12.9和12.10, 从这些图中可看到, |)(|))((11ωωσj W j s --≤和 |)(|))((13ωωσj W j T --≤的要求已达到。

鲁棒控制理论基础1-2章

鲁棒控制理论基础1-2章

28
Fang Hua-Jing , HUST 2008
29
等价定义
于是,等价的有
Fang Hua-Jing , HUST 2008
30
Fang Hua-Jing , HUST 2008
31
系统的范数
Fang Hua-Jing , Hing , HUST 2008
鲁棒控制理论基础
方华京
华中科技大学 控制科学与工程系 控制理论研究所
第一章、绪论
设计控制系统的典型基本步骤 1.建立被控系统的模型并进行简化; 2.分析得到的系统模型,确定其性质; 3.根据对系统性能的要求,确定性能指标的形 式和控制器的类型; 4.选用某一控制理论进行控制器设计; 5.在计算机进行数值仿真或在实验模型上进行 物理仿真; 6.仿真结果不满足要求时重复上述步骤; 7.选择硬件和编制软件实现控制器.
13
2.2 系统增益与系统范数
Fang Hua-Jing , HUST 2008
14
Fang Hua-Jing , HUST 2008
15
奇异值分解定理:
Fang Hua-Jing , HUST 2008
16
Fang Hua-Jing , HUST 2008
17
Fang Hua-Jing , HUST 2008
Fang Hua-Jing , HUST 2008
36
2.3 系统范数的计算
Fang Hua-Jing , HUST 2008
37
Fang Hua-Jing , HUST 2008
38
Fang Hua-Jing , HUST 2008
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Fang Hua-Jing , HUST 2008

《鲁棒控制系统》课件

《鲁棒控制系统》课件
详细描述
在工业自动化生产线上,各种设备、传感器和执行器需要精 确控制和协调工作。鲁棒控制系统能够有效地处理各种不确 定性,如设备故障、传感器漂移等,保证整个生产过程的稳 定性和效率。
航空航天
总结词
在航空航天领域,鲁棒控制系统用于 确保飞行器的安全和稳定运行。
详细描述
航空航天领域的飞行器面临着复杂的 环境和严苛的飞行条件,鲁棒控制系 统能够有效地处理各种不确定性和干 扰,保证飞行器的安全和稳定运行。
05
鲁棒控制系统的发展趋势 与展望
人工智能与鲁棒控制
人工智能在鲁棒控制中的应用
利用人工智能算法优化控制策略,提高系统的鲁棒性和 自适应性。
深度学习在鲁棒控制中的潜力
通过训练深度神经网络,实现对不确定性和干扰的高效 处理,提升系统的鲁棒性能。
网络化与鲁棒控制
网络控制系统的发展
随着网络技术的进步,网络化控制系统成为研究的热点,对鲁棒控制提出了新的挑战和 机遇。
鲁棒优化控制
总结词
通过优化方法来设计鲁棒控制律,以实现系统在不确定性和干扰下的最优性能 。
详细描述
鲁棒优化控制是一种基于优化方法的控制策略,通过考虑系统的不确定性和干 扰,来设计最优的控制律。这种方法能够保证系统在各种工况下的最优性能, 提高系统的鲁棒性和适应性。
自适应控制
总结词
通过在线调整控制律参数来适应系统参数的 变化和外部干扰。
要点二
详细描述
电力系统的稳定运行对于整个社会的正常运转至关重要。 鲁棒控制系统能够有效地处理电力系统中的各种不确定性 和干扰,保证电力供应的稳定和可靠。
04
鲁棒控制系统的挑战与解 决方案
系统不确定性
系统不确定性描述
01

鲁棒控制讲义-第1-2章

鲁棒控制讲义-第1-2章

第一章概述§1.1 不确定系统和鲁棒控制(Uncertain System and Robust Control)1.1.1 名义系统和实际系统(nominal system)控制系统设计过程中,常常要先获得被控制对象的数学模型。

在建立数学模型的过程中,往往要忽略许多因素:比如对同步轨道卫星的姿态进行控制时不考虑轨道运动的影响,对一个振动系统的控制过程中,不考虑高阶模态的影响,等等。

这样处理后得到的数学模型仍嫌太复杂,于是要经过降阶处理,有时还要把非线性环节进行线性化处理,时变参数进行定常化处理,最后得到一个适合控制系统设计使用的数学模型。

经过以上处理后得到的数学模型已经不能完全描述原来的物理系统,而仅仅是原系统的一种近似,因此称这样的数学模型为“名义系统”,而称真实的物理系统为“实际系统”,而名义系统与实际系统的差别称为模型误差。

1.1.2不确定性和摄动(Uncertainty and Perturbation)如立足于名义系统,可认为名义系统经摄动后,变成实际系统,这时模型误差可视为对名义系统的摄动。

如果立足于实际系统,那么可视实际系统由两部分组成:即已知的模型和未知的模型(模型误差),如果模型的未知部分并非完全不知道,而是不确切地知道,比如只知道某种形式的界限(如:范数或模界限等),则称这部分模型为实际模型的不确定部分,也说实际系统中存在着不确定性,称含有不确定部分的系统为不确定系统。

模型不确定性包括:参数、结构及干扰不确定性等。

1.1.3 不确定系统的控制经典的控制系统设计方法要求有一个确定的数学模型(可能是常规的,也可能是统计的)。

以往,由于对一般的控制系统要求不太高,所以系统中普遍存在的不确定性问题往往被忽略。

事实上,对许多要求不高的系统,在名义系统的基础上进行分析与设计已经能够满足工程要求,而对一些精度和可靠性要求较高的系统,也只是在名义系统基础上进行分析和设计,然后考虑模型的误差,用仿真的方法来检验实际系统的性能(如稳定性、暂态性能等)。

西工大最优控制课程 专题2 鲁棒控制

西工大最优控制课程  专题2  鲁棒控制

背景:LQG可实现多变量的动态补偿器设计,但由于 模型存在偏差,鲁棒性有时很差,可进行H∞最优控 制。
H∞优化问题的状态空间描述:
1、矩阵的范数
传递函数矩阵G(s),假设其各项在s右半开平面
是复变量s的解析函数,且是s的有理实函数,常用
的 G(s)范数
1
G(s) [ trG H ( j)G( j)d]2
w
G
u
K
标准 H 框架
Z y
2、三个问题 (1)跟踪问题
r
W
C1
w
u
v
P
r
u C1r C2 [C1
C
2
]
C2
{r : r Ww, w H 2 , w 1} 2
跟踪问题中,P和W已知,C1和C2有待设计
目标函数
r 2 u 2
2
2
追踪误差最小
控制信号幅度足够小
该目标函数等于 r
引言
控制系统的摄动 -----实际系统与所建立的模型之间存在差异
来源1:建模中简化引起的误差; 来源2:被控对象本身具有不确定性。
研究的最普遍的两种非结构模型摄动
附加摄动 相乘摄动
Gr' (s) G(s) G(s) Gr' (s) [I G(s)]G(s)
引言
鲁棒度 系统在维持某些特性的条件下,所允许的某类参 数摄动的最大度量,亦称鲁棒测度.
2
G(s) sup [G( j)]
矩阵的奇异值
设 i ( A) 是n阶方阵A的第i个特征值,
阶方阵A的第i个奇异值
1
i
( A)
为n
i ( A) {i ( AH A)}2
式中AH为矩阵A的共轭转置矩阵 任一矩阵A均可进行奇异值分解,即

鲁棒控制理论及应用--

鲁棒控制理论及应用--

维纳滤波器方法的基本思想
r

e
C
u
d
P
y
d: 可以用某种随机过程来表示的外界扰动
把反馈控制问题变成数学上的某些优化问题 卡尔曼-布西滤波器 (Kalman-Bucy Filter)理论
现代控制理论
LQG控制器


e
C
u
d
P
y
Байду номын сангаас
卡尔曼-布西滤 波器
控制问题的解 (分离原理): ·设计卡尔曼-布西滤波器,获得x的估计值; ·设计基于x的估计值的状态反馈增益矩阵K。
涉及课程及其参考书
涉及课程: • 线性系统理论(Linear System Theory) • 最优控制(Optimal Control) 参考书: • 吴敏,桂卫华,何勇:《现代鲁棒控制》(第2版) • 中南大学出版社,2006 • Zhou K, Doyle J C and Glover K.Robust and Optimal Control.Prentice Hall,1996
第一讲:
鲁棒控制研究的基本问题
基本的反馈控制系统
d
r
u
控制器 控制对象
y
v
传感器
n
r-目标输入,y-控制对象输出,u-控制输入
v-传感器输出,n-传感器噪声,d-外部扰动
控制系统设计与不确定性
控 制 理 论 模 设计方法 型 实际 控制 对象
扰来 动自 信控 号制 。系 统 本 身 外 部 的
系统不确定性
非结构不确定性 (Unstructured Uncertainty)
P0
P0 P
结构不确定性 (Structured Uncertainty)

鲁棒控制理论及应用课程吴敏

鲁棒控制理论及应用课程吴敏

∂xT
4γ 2 ∂xT
∂x

x
=
f
(x) +
1 2γ 2
gg T
∂φ ∂x
(x)
d)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x)和正常数ε,使哈密顿-
9
雅可比不等式
∂φ ∂xT
f
成立 + 1 ∂φ gg T ∂φ + hTh + ε xT x ≤ 0
4γ 2 ∂xT
∂x
2015年10月25日
鲁棒控制理论及应用课程
γ s ≤ zw Lc2
z
2
S = Sup w zw Lc2
w∈L2 {0}ILc∞
2
4
2015年10月25日
鲁棒控制理论及应用课程
吴敏
耗散性与局部L2稳定性
对于系统Szw,当 x0 = x(0),x(t) = x 时,如果存在满足
V
( x0
)
+
∫t 0
⎡⎣γ
2 wT

) w(τ
)

zT

)
z (τ
现代的方法:微分几何方法、逆系统方法、变结构控制、 基于Volterra级数的方法、非线性H∞控制
2
2015年10月25日
鲁棒控制理论及应用课程
吴敏
L2增益的概念
线性系统H∞控制
非线性系统H∞控制
在时域: H∞范数由零初始条件下从输入到输出的L2诱导范数来代替
L2增益: 非线性系统H∞控制的实质
1
10
2015年10月25日
鲁棒控制理论及应用课程
吴敏
状态反馈非线性H∞控制的可解性条件

鲁棒控制理论与方法

鲁棒控制理论与方法

鲁棒控制理论与方法鲁棒控制是现代控制理论中的一个重要分支,它致力于设计出对系统参数变化、外部扰动和建模误差具有鲁棒性的控制器,以保证系统在不确定性环境下的稳定性和性能。

本文将介绍鲁棒控制的基本理论和常用方法,以及其在工业控制、机器人控制等领域中的应用。

一、鲁棒控制基础理论鲁棒性是指控制系统对不确定性的一种抵抗能力,它可以通过针对系统模型的不确定性建立数学模型,以保证系统稳定性和性能。

鲁棒控制的基础理论包括:1. H∞ 控制理论:H∞ 控制是一种用于处理线性时不变系统鲁棒控制问题的数学工具。

该方法通过定义一个性能指标,以最小化系统输出的最坏情况下的波动来设计控制器。

2. μ合成控制理论:μ合成是一种基于描述函数的鲁棒控制方法,它将系统不确定性建模为复杂函数,并通过求解非线性最优化问题来设计控制器。

3. 鲁棒控制的小参数理论:该理论主要研究在参数扰动很小时,系统性能的鲁棒稳定性和鲁棒性问题。

二、常用的鲁棒控制方法鲁棒控制方法多种多样,下面列举几种常用的方法:1. H∞ 控制方法:H∞ 控制方法通过在系统输出和控制器输入之间引入鲁棒性加权函数来设计鲁棒控制器。

该方法适用于线性时不变系统和线性时变系统。

2. μ合成控制方法:μ合成控制方法通过优化复杂描述函数来设计鲁棒控制器。

该方法适用于线性和非线性系统,并且具有较强的泛化能力。

3. 自适应控制方法:自适应控制方法将未知参数作为反馈调整的对象,通过在线估计参数的方式设计鲁棒控制器。

该方法适用于需要适应不确定性参数的系统。

4. 鲁棒滑模控制方法:鲁棒滑模控制方法通过引入滑模面的概念,以实现对系统模型误差和扰动的高度鲁棒性。

该方法适用于非线性和时变系统。

三、鲁棒控制在工业与机器人控制中的应用鲁棒控制在工业控制和机器人控制领域具有广泛的应用,以下列举几个实际应用案例:1. 工业过程控制:鲁棒控制可以用于工业过程中对温度、压力、流量等参数的控制。

通过对系统模型的不确定性建模和鲁棒控制器的设计,可以保证工业过程的稳定性和性能。

第二章 鲁棒控制理论概述

第二章 鲁棒控制理论概述

第二章鲁棒控制理论概述2.1鲁棒控制理论概述2.1.1 系统不确定性和鲁棒性控制科学所要解决的主要问题之一是针对被控对象,设计合适的控制器,使闭环系统稳定或达到一定的性能指标要求。

它经历了经典控制理论和现代控制理论两个发展阶段。

无论是经典控制理论还是现代控制理论,它们的一个明显的特点是建立在精确的数学模型基础之上。

但是,在实际应用中存在着许多不确定性,具体体现在:(1)参数的测量误差。

由于测量技术的限制,许多参数的测量值可能有相当大的误差。

尤其是某些涉及热力学、流体力学和空气动力学,以及化学反应过程的参数,往往很不容易测准,或者需要付出昂贵的代价才能测准;(2)环境和运行条件的变化。

这往往是不确定性产生的最重要的原因。

例如,内部元器件的老化;电气设备的电阻因温升而改变;炼钢炉因炉壁渐渐被钢水腐蚀变薄而导致导热系统的变化;飞机和导弹在高空或低空以高速或低速飞行时其空气动力学参数的变化非常剧烈,甚至由于燃料消耗造成导弹质量的变化和质心的位移,这些都会造成其参数较大的变化;(3)人为的简化。

为了便于研究和设计,人们往往有意略去系统中一些次要因素,用低阶的线性定常集中参数模型来代替实际的高阶、非线性甚至是时变和分布参数的系统,这样势必要引入系统模型的不确定性。

因此,在控制系统的设计过程中不可避免的问题是:如何设计控制器,使得当一定范围的参数不确定性及一定限度的未建模动态存在时,闭环系统仍能保持稳定并保证一定的动态性能,这样的系统被称为具有鲁棒性。

2.1.2鲁棒控制理论的发展概况鲁棒控制理论正是研究系统存在不确定性时如何设计控制器使闭环系统稳定且满足一定的动态性能。

自从1972年鲁棒控制(Robust Contr01)这一术语首次在期刊论文中出现以来,已有大量的书籍详细的阐述了鲁棒控制理论的产生、发展及研究现状。

鲁棒控制的早期研究常只限于微摄动的不确定性,都是一种无穷小分析的思想。

1972年鲁棒控制(Robust Control)这一术语首次在期刊论文中出现。

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最后的积分是沿虚轴向上,然后沿包围左半平面的无穷大半 ˆ 圆的回路积分。因为 G 是严格正则的,故沿无穷大半圆的积 2 ˆ ˆ 等于 G (− s ) G ( s ) 在它的左半 分等于0。根据留数定理, G 2 平面极点上的留数的和。
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例4
ˆ 已知 G ( s ) = 1 (τ s +1) , τ > 0
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1 4 dt = 4 3 t
2

1
例3
⎧0 t ≤ 0 u3 ( t ) = ⎨ ⎩1 t > 0
它的1-范数不存在
u3
u3
1
1
0 t
∞ 0
=
=

1d t = ∞
1d t = ∞
它的2-范数不存在
2 2
它的∞-范数存在

∞ 0
2

u3
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=1
1
2.2 系统的范数
考察线性时不变的、因果的、有限维系统,其输入输出模 型 ∞ u y ( t ) = G * u = ∫ G ( t − τ ) u (τ ) dτ G
ˆ ˆ 如果 G 和 G −1 两个都是正则的(分母阶次等于分子阶次)
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ˆ 传递函数 G 的范数
Parseval定理 ∞ ˆ 设 f (t ) ∈ L2,记 f ( jω ) = ∫ f (t ) e− jωt dt = F ( f ) −∞ 则 ˆ f = f
2 2
传递函数的范数 1-范数
{
2
}
2 2
{
}
= G
2 ∞
ˆ ˆ u2= G
2 ∞
u

ˆ y 2≤ G
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y

u
2 2
2
u
ˆ ≤ G

ˆ 是最小上界 下面证明 G ∞
u*
π 2ε
选择 ω0 ,使
ˆ G ( jω0 ) = G ( jω )
⎞ u ( t ) dt ⎟ ∫−T ⎠
其平方是信号所携的总能量
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非零信号的平均功率可以是零, 故pow(u)不是范数
范数之间的关系
问题:一种范数有限是否意味着其他范数也有限?
*如果 u 2 < ∞ ,那么 u是一功率信号,且
pow ( u ) = 0
证明:假定u的2-范数有限,则
1 2T
ˆ ⇒ H
2
ˆ ≥ G
2
⎛ 1 ∞ K2 ⎞ ˆ =⎜ ⎟ H dω ⎟ ⎜ ∫ ⎟ ⎜ 2π −∞ 1 + T 2 ω 2 ⎠ 2 ⎟ ⎝
1/ 2
⎛ 1 K 2 −1 ∞ ⎞ ⎜ ⎟ tg (T ω ) ⎟ =⎜ −∞ ⎟ ⎜ 2π T ⎟ ⎝ ⎠
1/ 2
=
K <∞ 2T
ˆ ∴ G <∞
2
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1-范数
定义
信号的最大幅值
定义
u


:= sup u ( t )
t
功率信号*
u的平均功率
−∞
u 1 := ∫ u ( t ) dt
信号的时间累积量
2-范数
定义
pow(u)
1 lim T →∞ 2T
∫ u (t )
T −T
T
2
dt
1/ 2 2
u 2 :=
(∫

−∞
u ( t ) dt
2
)
1/ 2
1 ⎛ pow ( u ) := ⎜ lim ⎝ T →∞ 2T
则的,且无极点在虚轴上; ˆ ˆ G 的∞-范数是有限的,当且仅当 G 的,且无极点在虚轴上。
是正则
2008-9-5
证明:
ˆ 假定 G 是严格正则的,无极点在虚轴上,那么其Bode幅频 特性图在高频下降。不难看出,对于充分大的正数K和充分 ˆ 小的正数T, (Ts +1) 的Bode图必定高于 G 的Bode图,即 K
{ω1 , , ω N }
ˆ G

的估计值为
1≤k ≤N
ˆ max G ( jωk )
另一方法是通过解方程 2 ˆ dG

( jω ) = 0
ˆ ˆ 找到 G ( jω ) 的最大值的位置。因为 G 是有理的,这个导数 可以用公式算出,然后就只需计算导出的多项式的根。
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例5 考察
ˆ ( s ) = as + 1 G bs + 1 a, b > 0
下它也是严格正则的(或至少是正则的)。这两个表告诉我 们在各种意义下u对y的影响有多大。例如,如果u是一个固 定频率的正弦信号(可能来自于60Hz的功率源),那么表 2.1的第二列给出了三种意义下y的相对大小。更一般的情况 是干扰信号预先未知,因此表2.2更有意义。
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定理:设 u,有 (1) y 2 ≤
鲁棒控制理论
第二章 信号和系统的范数
2008-9-5
描述一个控制系统性能的方法之一是用某些我 们感兴趣的信号的大小来表示。 本章
考察几种定义信号大小的方法(即信号的几种范数) 介绍系统传递函数的范数 给出两个非常有用的表,概括了输入-输出范数关系。
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2.1 信号的范数
范数的4条性质
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表2.1 对两种输入的输出范数和pow
u (t ) = δ (t ) u (t ) = sin (ωt )
y y
2
ˆ G G

2


ˆ G ( jω )
pow( y )
0
1 ˆ G ( jω ) 2
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表2.2 系统增益
u

u

pow(u )
y y
2
ˆ G ˆ G


1、 u ≥ 0
考察从(-∞,∞)映射到R 的信号。 假定它们是分段连续的,当 然在t<0可以是0(即该信号 从t=0时刻开始)。
2、 u = 0 ⇔ u ( t ) = 0,∀t 3、 au = a u , ∀a ∈ R 4、 u + v ≤ u + v
三角不等式
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∞-范数
几种范数的定义
ˆ G 稳定,且严格正则,则对于所有2-范数存在的
ˆ G

u
2
(2) y
ˆ ≤ G ∞
表2.2的(1,1)项
表2.2的(1,2)项
2
u
2
证明: ˆ ˆ (1) 由 y ( s ) = G ( s ) u ( s ) ,且 y 2 = y ˆ
2 2
2
(Parseval定理),有
2 2 2 1 ∞ 1 ∞ ˆ ˆ y2= y 2= y ( jω ) dω = G ( jω ) u ( jω ) dω 2π ∫−∞ 2π ∫−∞ 2 2 ∞ ⎧ ⎫ 2 2 1 ∞ ⎪ ⎪ ˆ ( jω ) ⎨ 1 ˆ ≤ sup G ( jω ) u ( jω ) dω = sup G u ( jω ) dω⎬ ⎪ 2π ∫−∞ ⎪ 2π ∫−∞ ω ω ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
∞-范数
G

ˆ := sup G ( jω )
ω
ˆ 等于复平面的原点到 G 的Nyquist图的最远点的距 ˆ 离,也是 G 的Bode幅频特性图的峰值。 是次可乘的 ˆ ˆ GH ≤ G H
∞ ∞ ∞
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传递函数范数的存在性 问题:什么时候这两个范数是有限的?
引理1:
ˆ ˆ G 的2-范数是有限的,当且仅当G 是严格正
G
∞ ∞
ˆ G

2
1
pow( y )
0
ˆ ≤ G


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两表的典型应用及意义
假定在控制系统的分析或设计中除了其他因素外,要求干扰 的影响减弱。设被控系统有一干扰输入u,它对对象输出y的 影响是相当小的。令G是从u到y的脉冲响应。我们总是要求
ˆ 被控系统是稳定的,因而传递函数 G 是稳定的。通常情况
ω →∞
ω
ˆ H
ˆ G
ω
ˆ 若取 H ( s ) =
ˆ H ( jω ) =
K , Ts + 1 K
T, K > 0
ω ω →∞ 1 + T 2ω 2 ˆ ˆ 令K充分大,T充分小(曲线充分平坦),则必有 H ( jω ) ≥ G ( jω ) , ∀ω
ˆ lim H ( jω ) = 0
ˆ sup H ( jω ) = K
−∞
y
ˆ 令 G ( s ) 表示传递函数,即G的Laplace变换。 系统的性质: 因果性(Causal):现在系统的输出y由过去的输入决定的
t<0,G(t)=0
G 有限维:ˆ是实有理函数 稳定性 正则性
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bm s m + bm−1s m−1 + + b1s + b0 ˆ G (s) = an s n + an−1s n−1 + + a1s + a0 ai , b j ∈ , i = 0,1, ,n j = 0,1, m
稳定的
ˆ 如果 G 在闭右半平面(Re s ≥ 0)解析,或在Re s ≥ 0无极 点
正则的 Proper
ˆ 如果G ( jω ) 是有限的(分母的阶次大于等于分子的阶次)
严格正则的 Strictly Proper
ˆ 如果 lim G ( jω ) = 0(分母的阶次大于分子的阶次)
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