鲁棒控制理论第二章

最后的积分是沿虚轴向上，然后沿包围左半平面的无穷大半 ˆ 圆的回路积分。因为 G 是严格正则的，故沿无穷大半圆的积 2 ˆ ˆ 等于 G (− s ) G ( s ) 在它的左半 分等于0。根据留数定理， G 2 平面极点上的留数的和。
2008-9-5
例4
ˆ 已知 G ( s ) = 1 (τ s +1) , τ > 0
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1 4 dt = 4 3 t
2
∞
1
例3
⎧0 t ≤ 0 u3 ( t ) = ⎨ ⎩1 t > 0
它的1-范数不存在
u3
u3
1
1
0 t
∞ 0
=
=
∫
1d t = ∞
1d t = ∞
它的2-范数不存在
2 2
它的∞-范数存在
∫
∞ 0
2
∞
u3
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∞
=1
1
2.2 系统的范数
考察线性时不变的、因果的、有限维系统，其输入输出模 型 ∞ u y ( t ) = G * u = ∫ G ( t − τ ) u (τ ) dτ G
ˆ ˆ 如果 G 和 G −1 两个都是正则的（分母阶次等于分子阶次）
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ˆ 传递函数 G 的范数
Parseval定理 ∞ ˆ 设 f (t ) ∈ L2，记 f ( jω ) = ∫ f (t ) e− jωt dt = F ( f ) −∞ 则 ˆ f = f
2 2
传递函数的范数 1-范数
{
2
}
2 2
{
}
= G
2 ∞
ˆ ˆ u2= G
2 ∞
u
即
ˆ y 2≤ G
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y
∞
u
2 2
2
u
ˆ ≤ G
∞
ˆ 是最小上界 下面证明 G ∞
u*
π 2ε
选择 ω0 ，使
ˆ G ( jω0 ) = G ( jω )
⎞ u ( t ) dt ⎟ ∫−T ⎠
其平方是信号所携的总能量
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非零信号的平均功率可以是零， 故pow(u)不是范数
范数之间的关系
问题：一种范数有限是否意味着其他范数也有限？
*如果 u 2 < ∞ ，那么 u是一功率信号，且
pow ( u ) = 0
证明：假定u的2-范数有限，则
1 2T
ˆ ⇒ H
2
ˆ ≥ G
2
⎛ 1 ∞ K2 ⎞ ˆ =⎜ ⎟ H dω ⎟ ⎜ ∫ ⎟ ⎜ 2π −∞ 1 + T 2 ω 2 ⎠ 2 ⎟ ⎝
1/ 2
⎛ 1 K 2 −1 ∞ ⎞ ⎜ ⎟ tg (T ω ) ⎟ =⎜ −∞ ⎟ ⎜ 2π T ⎟ ⎝ ⎠
1/ 2
=
K <∞ 2T
ˆ ∴ G <∞
2
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1-范数
定义
信号的最大幅值
定义
u
∞
∞
:= sup u ( t )
t
功率信号*
u的平均功率
−∞
u 1 := ∫ u ( t ) dt
信号的时间累积量
2-范数
定义
pow(u)
1 lim T →∞ 2T
∫ u (t )
T −T
T
2
dt
1/ 2 2
u 2 :=
(∫
∞
−∞
u ( t ) dt
2
)
1/ 2
1 ⎛ pow ( u ) := ⎜ lim ⎝ T →∞ 2T
则的，且无极点在虚轴上； ˆ ˆ G 的∞-范数是有限的，当且仅当 G 的，且无极点在虚轴上。
是正则
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证明：
ˆ 假定 G 是严格正则的，无极点在虚轴上，那么其Bode幅频 特性图在高频下降。不难看出，对于充分大的正数K和充分 ˆ 小的正数T， (Ts +1) 的Bode图必定高于 G 的Bode图，即 K
{ω1 , , ω N }
ˆ G
∞
的估计值为
1≤k ≤N
ˆ max G ( jωk )
另一方法是通过解方程 2 ˆ dG
dω
( jω ) = 0
ˆ ˆ 找到 G ( jω ) 的最大值的位置。因为 G 是有理的，这个导数 可以用公式算出，然后就只需计算导出的多项式的根。
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例5 考察
ˆ ( s ) = as + 1 G bs + 1 a, b > 0
下它也是严格正则的（或至少是正则的）。这两个表告诉我 们在各种意义下u对y的影响有多大。例如，如果u是一个固 定频率的正弦信号（可能来自于60Hz的功率源），那么表 2.1的第二列给出了三种意义下y的相对大小。更一般的情况 是干扰信号预先未知，因此表2.2更有意义。
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定理：设 u，有 (1) y 2 ≤
鲁棒控制理论
第二章 信号和系统的范数
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描述一个控制系统性能的方法之一是用某些我 们感兴趣的信号的大小来表示。 本章
考察几种定义信号大小的方法（即信号的几种范数） 介绍系统传递函数的范数 给出两个非常有用的表，概括了输入-输出范数关系。
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2.1 信号的范数
范数的4条性质
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表2.1 对两种输入的输出范数和pow
u (t ) = δ (t ) u (t ) = sin (ωt )
y y
2
ˆ G G
∞
2
∞
∞
ˆ G ( jω )
pow( y )
0
1 ˆ G ( jω ) 2
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表2.2 系统增益
u

u
∞
pow(u )
y y
2
ˆ G ˆ G
∞
∞
1、 u ≥ 0
考察从（-∞，∞）映射到R 的信号。 假定它们是分段连续的，当 然在t<0可以是0（即该信号 从t=0时刻开始）。
2、 u = 0 ⇔ u ( t ) = 0，∀t 3、 au = a u , ∀a ∈ R 4、 u + v ≤ u + v
三角不等式
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∞-范数
几种范数的定义
ˆ G 稳定，且严格正则，则对于所有2-范数存在的
ˆ G
∞
u
2
(2) y
ˆ ≤ G ∞
表2.2的（1，1）项
表2.2的（1，2）项
2
u
2
证明： ˆ ˆ (1) 由 y ( s ) = G ( s ) u ( s ) ，且 y 2 = y ˆ
2 2
2
(Parseval定理)，有
2 2 2 1 ∞ 1 ∞ ˆ ˆ y2= y 2= y ( jω ) dω = G ( jω ) u ( jω ) dω 2π ∫−∞ 2π ∫−∞ 2 2 ∞ ⎧ ⎫ 2 2 1 ∞ ⎪ ⎪ ˆ ( jω ) ⎨ 1 ˆ ≤ sup G ( jω ) u ( jω ) dω = sup G u ( jω ) dω⎬ ⎪ 2π ∫−∞ ⎪ 2π ∫−∞ ω ω ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
∞-范数
G
∞
ˆ := sup G ( jω )
ω
ˆ 等于复平面的原点到 G 的Nyquist图的最远点的距 ˆ 离，也是 G 的Bode幅频特性图的峰值。 是次可乘的 ˆ ˆ GH ≤ G H
∞ ∞ ∞
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传递函数范数的存在性 问题：什么时候这两个范数是有限的？
引理1：
ˆ ˆ G 的2-范数是有限的，当且仅当G 是严格正
G
∞ ∞
ˆ G
∞
2
1
pow( y )
0
ˆ ≤ G
∞
∞
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两表的典型应用及意义
假定在控制系统的分析或设计中除了其他因素外，要求干扰 的影响减弱。设被控系统有一干扰输入u，它对对象输出y的 影响是相当小的。令G是从u到y的脉冲响应。我们总是要求
ˆ 被控系统是稳定的，因而传递函数 G 是稳定的。通常情况
ω →∞
ω
ˆ H
ˆ G
ω
ˆ 若取 H ( s ) =
ˆ H ( jω ) =
K , Ts + 1 K
T, K > 0
ω ω →∞ 1 + T 2ω 2 ˆ ˆ 令K充分大，T充分小（曲线充分平坦），则必有 H ( jω ) ≥ G ( jω ) , ∀ω
ˆ lim H ( jω ) = 0
ˆ sup H ( jω ) = K
−∞
y
ˆ 令 G ( s ) 表示传递函数，即G的Laplace变换。 系统的性质： 因果性(Causal):现在系统的输出y由过去的输入决定的
t<0，G(t)=0
G 有限维：ˆ是实有理函数 稳定性 正则性
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bm s m + bm−1s m−1 + + b1s + b0 ˆ G (s) = an s n + an−1s n−1 + + a1s + a0 ai , b j ∈ , i = 0,1, ,n j = 0,1, m
稳定的
ˆ 如果 G 在闭右半平面（Re s ≥ 0）解析，或在Re s ≥ 0无极 点
正则的 Proper
ˆ 如果G ( jω ) 是有限的（分母的阶次大于等于分子的阶次）
严格正则的 Strictly Proper
ˆ 如果 lim G ( jω ) = 0（分母的阶次大于分子的阶次）