山东省济南市第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题

山东省济南市第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
一、选择题
1.已知集合{}1,0,1,2,3M
=-，{}|13N x x =-≤<，则M
N =（ ）
A ．{0,1,2}
B ．{1,0,1}-
C ．M
D ．{1,0,1,2}-
2.已知R a ∈，则“1a >”是“
1
1a
<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
3.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A ．()1f x =，0
()g x x = B ．()
1f x x ，21
()1
x g x x -=+
C ．()f x x =，33()g x x =
D ．()||f x x =，2()()g x x =
4.设05
3a =．，30.5b =，3log 0.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．a c b >>
5.已知函数
()()
22
3
1m m f x m m x
+-=-- 是幂函数，且 ()0x ∈+∞，
时，()f x 单调递减，则 m 的值为（ ） A ．1
B ．-1
C ．2或-1
D ．2
6.已知1a >，函数1x y a -=与log ()a y x =-的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7.已知函数22,(1)()(21)36,(1)
x ax x f x a x a x ⎧-+≤=⎨--+>⎩，若()f x 在(),-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是
（ ） A ．1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
C ．[1,)+∞
D ．[]1,2
8.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()1212,[0,),x x x x ∈+∞≠，有
()()2121
0f x f x x x -<-，且(2)0f =，
则不等式 ()0x f x <的解集是（ ）
A ．(2,2)-
B ．(2,0)(2,)-+∞
C ．(,2)(0,2)-∞-⋃
D ．(,2)(2,)-∞-+∞
9.下列不等式成立的是（ ）
A ．若a ＜b ＜0，则a 2＞b 2
B ．若ab ＝4，则a ＋b ≥4
C ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2
D ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则
b b m a a m
+<+ 10.下列叙述正确的是（ ）
A ．已知函数22,[4,0]()2(4),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-=⎨
-∈+∞⎩
，则f (6)=8 B ．命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x ≤，有21x ≤” C ．已知正实数a ，b 满足4a b +=，则
1113
a b +++的最小值为1
2
D ．已知250x ax b -+>的解集为{}
|41x x x ><或，则a+b=5
11.关于函数
()
1x f x x
，下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 的图象过原点
B ．()f x 是奇函数
C ．()f x 在区间(1，＋∞)上单调递增
D ．()f x 是定义域上的增函数
12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为
1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩是有理数
是无理数
，关于函数D()x 有以下四个命题，其中真命题是（ ）
A ．,D(D())1x R x ∀∈=
B ．,,D()D()D()x y R x y x y ∃∈+=+
C ．函数D()x 是偶函数
D ．函数D()x 是奇函数
二、填空题
13.若
)
1f
x =-，则()f x 的解析式为________.
14.已知函数22x y a -=+（0a >且1a ≠）恒过定点
(),m n ，则m n +=________________.
15.若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 成立，则a 的取值范围是 _ _ .
16.定义区间[1x ，2x ]的长度为2x -1x ，若函数y =|log 2x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0，3]到，则区间[a ，b ]
的长度最大值为______ 三、解答题
17.计算：（
1
1
421()0.252-+⨯；
（2
）7log 2
334log lg25lg47
log 8log +-+⋅
18.已知集合{
}{
}
2
2
|560|60A x x x B x x ax =-+==++=，. 若B A ⊆，求实数a 的取值范围．
19.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，
（1）求()f x 的解析式； （2）求不等式()f x x >的解集.
20.已知lg(3x)＋lgy ＝lg(x ＋y ＋1)．
(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．
21.已知二次函数
()225f x x ax =-+，其中1a >．
（Ⅰ）若函数()f x 的定义域和值域均为[]
1,a ，求实数a 的值；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间(],2-∞上单调递减，且对任意的1x ，[]21,1x a ∈+，总有()()123f x f x -≤成立，求实数a 的取值范围．
22.已知()f x 是定义在区间[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1]a b ∈-，0a b +≠时，有
()()
0f a f b a b
+>+.
（1）判断函数()f x 在[1,1]-上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
（2）若2
()55f x m mt ≤--对所有[1,1]x ∈-，[1,1]t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.
参考答案
1.【解析】集合{}1,0,1,2,3M
=-，{}|13N x x =-≤<，
则{}1,0,1,2M N ⋂=-． 故选：D . 【答案】D
2.【解析】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“
1
1a
＜”， “11a
＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，
∴“a ＞1”是“11a
＜
”的充分非必要条件． 故选A ． 【答案】A
3.【解析】选项A 中，0()1()g x x f x ===，但()g x 的定义域是{}
0x x ≠，()f x 定义域是R ，不是同一函
数；
选项B 中，21
()()1
1x g x x x f x -=+=-=，但()g x 的定义域是{}1x x ≠-，()f x 定义域是R ，对应关系相
同，定义域不同，不是同一函数；
选项C 中，()f x x =，定义域R ，()g x x ==，定义域为R ，对应关系相同，定义域相同，是同一函
数；
选项D 中，()||f x x =，定义域R ，与2()g x =，定义域[0,)+∞，对应关系不相同，定义域不相同，不是同一函数. 故选：C. 【答案】C
4.【解析】解：∵00.51333<<，∴0.5131<<，即13a <<，
∵3000.80.8<<，∴300.81<<，即01b <<， ∵3log y x =在(0,)+∞上为增函数，且0.51<， ∴33log 0.5log 10<=，即0c < ∴a b c >>， 故选：A ． 【答案】A
5.【解析】解：∵
()()2
23
1m
m f x m m x +-=-- 是幂函数，
∴211m m --=，即()()210m m -+=， ∴2m =，或1m =-，
又当()0x ∈+∞，
时，()f x 单调递减， ∴230m m +-<，
当2m =时，2330m m +-=>，不合题意，舍去； 当1m =-，2330m m +-=-<，符合题意， ∴1m =-， 故选：B ． 【答案】B
6.【解析】1a >，函数1x y a -=在R 上是增函数，
而函数log ()a y x =-定义域为(,0)-∞， 且在定义域内是减函数，选项B 正确》 故选:B. 【答案】B
7.【解析】因为函数22,(1)
()(21)36,(1)x ax x f x a x a x ⎧-+≤=⎨--+>⎩，在(),-∞+∞上是增函数，
所以1210122136a a a a a ≥⎧⎪
->⎨⎪-+≤--+⎩
，
解得12a ≤≤， 故选：D 【答案】D
8.【解析】解：∵
()()
2121
0f x f x x x -<-对任意的()1212,[0,),x x x x ∈+∞≠恒成立， ∴()f x 在[0,)+∞上是减函数， 又(2)0f =，
∴当2x >时，()0f x <，当02x ≤<时，()0f x >， 又()f x 是偶函数，
∴当2x <-时，()0f x <，当20x -<<时，()0f x >， ∴()0xf x <的解为(2,0)
(2,)-+∞．
故选B ． 【答案】B 多选题
9.【解析】解：对于A ，若0a b <<，根据不等式的性质则22a b >，故A 正确；
对于B ，当2a =-，2b =-时，44a b +=-<，显然B 错误； 对于C ，当0c 时，22ac bc =，故C 错误；
对于D ，
()()()()()
b a m a b m b a m b b m a a m a a m a a m +-+-+-==+++， 因为0a b >>，0m >，所以0b a -<，0a m +>，所以
()()
-<+b a m a a m 所以
0+-<+b b m a a m ，即b b m a a m
+<+成立，故D 正确． 故选AD ． 【答案】AD
10.【解析】对于A ，
22,[4,0]
()2(4),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-=⎨-∈+∞⎩
，所以(6)2(2)4(2)4(20)8f f f ==-=-=，正确；
对于B ，命题“对任意的1x >，有21x >”为全称命题，否定为特称命题，即“存在1x >，有21x ≤”，不正确；
对于C ，由4a b +=，可得138a b +++=， 所以
11111
()(13)13813
a b a b a b +=++++++++
13111(11)(281382
b a a b ++=+++≥+=++， 当且仅当
3113b a a b ++=++，即3,1a b ==时，1113
a b +++取得最小值1
2，正确.
对于D ，250x ax b -+>的解集为{}
|41x x x ><或，所以250x ax b -+=的两个根式1和4，所以
1451
144
a a
b b +==⎧⎧⇒⎨
⎨⨯==⎩⎩，所以5a b +=，正确. 故选：ACD. 【答案】ACD
11.【解析】
()
(0)01x f x f x
，所以A 正确，
101x
x
，因此()
1x f x x
不是奇函数，B 错误，
1()
1
11
x f x x
x ()f x 在区间(1，＋∞)和(,1)-∞上单调递增，所以C 正确，D 错误，
故选：AC 【答案】AC
12.【解析】对于A 中，若自变量x 是有理数，则[]()(1)1D
D x D ==，
若自变量x 是无理数，则[]()(0)1D D x D ==，所以A 是真命题；
当x 是无理数，y =
x y +=是无理数，
则D()0,D()D()000x y x y +=+=+=，满足D()D()D()x y x y +=+，所以B 正确； 对于C ，当x 为有理数时，则x -为有理数， 则()()1D x D x -==．
当x 为无理数时，则x -为无理数， 则()()0D x D x -==．
故当x ∈R 时，()()D x D x -=， ∴函数为偶函数，所以C 是真命题；
对于D 中，若自变量x 是有理数，则x -也是有理数，可得()()112D x D x +-=+=， 所以D()x 不是奇函数，D 不正确. 所以D 是假命题； 故选：ABC. 【答案】ABC
13.【解析】解：（换元法）令1t =
，则1t ≥，
1t =-，()2
1x t =-，
∵)
1f
x =-
∴()()()2
212143f t t t t t =---=-+，
（配凑法）∵)
1f x =-)
2
11=
-)
)
2
14
13=
-+，
11≥，
∴()()2
431f x x x x =-+≥， 故答案为：()()2
431f x x x x =-+≥．
【答案】()()2
431f x x x x =-+≥
14.【解析】当20x -=，即2x =时，函数值域与a 没有关系，此时3y =，故函数过定点
()2,3，即2m =，
3n =，所以235m n +=+=.
【答案】5
15.【解析】当20a -=，2a =时不等式即为40-< ，对一切x ∈R 恒成立 ①
当2a ≠时，则须()()2
20
{421620
a a a -<-+-<＝ ，∴22a -<<② 由①②得实数a 的取值范围是(]2,2-， 故答案为(]2,2-. 【答案】(]2,2-
16.【解析】因为函数2|log |y x =的定义域为[a ，]b ，值域为[0，3]，
23log 3x ∴-，
解得
188
x ，故函数的定义域为1
[8，8]，
此时，函数的定义域的区间长度为163
888
-=， 故答案为
638． 【答案】
638
17.【解析】（1
）原式41
81(72
=--+
⨯=-； （2）原式3
2
332131
log 3lg1002(3log 2)(log 3)2226
22
=+-+⋅=+-+=. 【答案】（1）7-；（2）2.
18.【解析】解：∵{}2
|560A x x x =
-+=，
∴{}23A =，
， ∵{
}
2
|60B x x ax =++=，B 为方程260x ax ++=的解集， ①若B ≠∅，由B A ⊆ ，
∴{}2B =，或{}3B =，或{}23B =，
， 当{}2B =时，方程260x ax ++=有两个相等实根，
即122x x ==，1246x x =≠， ∴ 不合题意， 同理{}3B ≠，
同理当{}23B =，
时， 5a =-，符合题意； ②若B =∅，则2460a ∆=-⨯<，
∴a -<<
综上所述，实数a 的取值范围为{|5a a =-
或a -<<． 【答案】{|5a a =-
或a -<<．
19.【解析】（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(0)0f =.
又当0x <时，0x ->，∴22()(4)4()f x x x x x ---=+-=.
又()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴2
()4(0)f x x x x =--<，
∴224,0()0,04,0x x x f x x x x x ⎧->⎪
==⎨
⎪--<⎩
. （2）当0x >时，由()f x x >得24x x x ->，解得5x >； 当0x =时，()f x x >无解；
当0x <时，由()f x x >得24x x x -->，解得5x 0-<<. 综上，不等式()f x x >的解集用区间表示为(5,0)(5,)-⋃+∞.
【答案】（1）224,0()0,04,0x x x f x x x x x ⎧->⎪
==⎨⎪--<⎩
；（2）(5,0)(5,)-⋃+∞. 20.【解析】解：由lg(3x)＋lgy ＝lg(x ＋y ＋1)得0
{031
x y xy x y >>=++
(1)∵x>0，y>0，
∴3xy ＝x ＋y ＋
1， ∴3xy －
1≥0， 即
2－
21≥0，
∴
1)≥0，
，∴xy≥1，
当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1. (2)∵x>0，y>0， ∴x ＋y ＋1＝3xy≤3·(
2
x y +)2
， ∴3(x ＋y)2－4(x ＋y)－4≥0， ∴[3(x ＋y)＋2][(x ＋y)－2]≥0， ∴x ＋y≥2，
当且仅当x ＝y ＝1时取等号， ∴x ＋y 的最小值为2. 【答案】（1）1 （2）2
21.【解析】（Ⅰ）
()225f x x ax =-+，开口向上，对称轴是1x a =>
∴()f x 在[]
1,a 递减，则()1f a =，即22251a a -+=，故2a =； （Ⅱ）因为()f x 在区间(],2-∞上是减函数，所以2a ≥．
因此任意的1x ，[]21,1x a ∈+，总有()()123f x f x -≤，只需()()13f a f -≤即可
解得：11a ≤≤2a ≥
因此2,1a ⎡∈⎣．
【答案】（Ⅰ）2；
（Ⅱ）2,1a ⎡∈⎣.
22.【解析】（1）函数()f x 在[－1，1]上是增函数.
设12
1
1x x
∵()f x 是定义在[－1，1]上的奇函数，∴2121()()()()f x f x f x f x -=+-. 又1211x x ，∴21()0x x +->，
由题设
2121()()
0()
f x f x x x +->+-有21()()0f x f x +->，即12()()f x f x <，
所以函数()f x 在[－1，1]上是增函数.
（2）由（1）知max ()(1)1f x f ==，∴2()55f x m mt ≤--对任意[1,1]x ∈-恒成立， 只需2155m mt ≤--对[1,1]t ∈-]恒成立，即2560m mt --≥对[1,1]t ∈-恒成立，
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()56g t m mt =--，则(1)0(1)0g g -≥⎧⎨≥⎩22560560m m m m ⎧+-≥⇔⎨--≥⎩6,11,6m m m m ≤-≥⎧⇔⎨≤-≥⎩， 解得6m ≤-或6m ≥，
∴m 的取值范围是(,6][6,)-∞-+∞．
【答案】（1）是增函数，证明见解析；（2）(,6][6,)-∞-+∞．。