结构力学 结构的位移计算

A1
ds
M N Q
此为局部变 形位移公式
d ds
§8-2 结构位移计算的一般公式
二.结构位移计算的一般公式
整个杆件的变形
可根据叠加原理，得：
d M N Q 0 ds
如果结构中有多个杆件，则
d M N Q 0 ds
1 c
1 cA 0 3
c
1 cA 3
1
1 1 cA 0 cA 2l 2l
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
当支座有给定位移 cK 时，静定结构的位移可用虚功原理求出，其 计算步骤如下： (1)沿拟求位移 方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用 下的支座反力 RK 。 (2)令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚功方程：
求未知力
虚功原理之 虚位移原理 虚功原理之 虚力原理
单位位移法
求未知位移
单位荷载法
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
三.支座移动时静定结构的位移计算
下面应用单位荷载法求支座移动时静定结构的位移
如图 ⑴求C点的竖向位移 C ；
所示：⑵杆CD的角位移 ： ⑴求C点的竖向位移 C，应在C 加—个单位竖向荷载。而求杆 CD的角位移 ，应在杆CD上加 一个单位力偶荷载，利用虚力 原理得虚功方程：
●变形类型：它既可以考虑弯曲变形，也可以考虑拉伸或剪切变形。 ●变形因素：它既可以考虑荷载引起的位移，也可以考虑温度或支
座移动引起的位移。
●结构类型：它可用于梁、刚架、桁架、拱等各类型式的结构，也 可用于静定或起静定结构。
§8-2 结构位移计算的一般公式
◆ 此式不仅是变形体体系位移计算的一般公式，也是变形体虚功原理 的一种表示形式。因为：
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
§8-2 结构位移计算的一般公式
—般情况下，结构发生位移在结构内部产生应变，因此，结构的位移计算 属于变形体体系的位移计算问题。计算变形体体系的位移采用的方法以虚 功原理最为普通。推导结构位移（变形体）计算的一般公式有两种途径：
一是根据变形体体系的虚功原理，然后由此导出变形体体系的位移公式， 另一种是先应用刚体体系的虚功原理导出局部变形时的位移公式，然后应 用叠加原理，导出整体变形时的位移公式。
1 d 2w M 在第二种情况下，曲率 ： 2 R dx EI 根据曲率 可求出挠度
l
l c C点的线位移： C A 3 3
位移计算可以利用几何法，但最好的 解法还是虚功法。本章主要应用刚体虚 功原理计算刚体体系的位移，再利用叠 加原理计算变形体体系的位移
2l c 杆CD的角位移： C / A 3 2l
一．局部变形时的位移公式
B
d
C
C1

d
A
如图所示，为一悬臂梁在B点附近有微段ds 有局部变形，结构其他部分没有变形，微 段 ds 局部变形包括三部分：
s
ds
d
d
1
A
A1
⑴ 轴向应变 ；⑵ 平均剪切应变 0 ；
⑶ 轴线曲率 （ 1 R ， 为轴线变形后 R 的曲率半径）
B
1 RK cK 0
其中 RK cK 是支座反力 RK 在相应位移 cK 上作的虚功，当两者的 方向一致时，乘积为正。 (3)由虚功方程，解出拟求位移：
如果求得的位移 为正，表明位移的实际方向与所设单位荷载方向 一致。
RK cK
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
绝对位移
截面A角位移
A
相对位移
，
A点线位移 A 包含：
水平线位移 AH
竖向线位移 AV
CD两点的水平相对线位移： ( CD ) H C D AB两截面的相对转角： AB A B
以上线位移、角位移及相对位移统称为广义位移
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
位移的正负号：假设所求的位移与虚拟状态下的单位力方向一致为正， 否则，为负
单位荷载的施加方法主要有：
求图示结构上A点的竖向
P 1
P 1
A
线位移 AV ，可在该点沿
所求位移方向加一单位力。
A
§8-2 结构位移计算的一般公式
求图中结构上截面A的角位移 A ，可在该处加一单位力偶。
M 1
在材料力学中，曾学过求梁的位移计算方法(如直接积分法等)。但这 些方法对于结构力学的研究对象，如多跨静定梁、桁架、刚架等结构，是 不适合的。
第 6 章 结构位移计算
在结构力学分析中，通常采用由虚功原理提供的结构位移计算公式来 讨论静定结构在荷载和温度等因素作用下的位移计算。这种方法尤其是用 来计算结构任意点处的位移更具有简便的优点。
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
二.虚功原理的另一种应用形式：虚设力系，求位移
虚功原理中，位移与力系是独立无关的，由于位移与力系无关，因 此，不仅可以把位移看作虚设的（虚位移原理），而且也可以把力 系看作虚设的（虚力原理），利用虚功原理的这一表现形式，可以 求刚体体系的位移。 如右图的静定梁，支座A向上移动已知 距离 c1，求B点的竖向位移 。 ⑴虚设力系： 在拟求位移 的 方向设置单位荷载（P=1）。 ⑵求出P=1作用下的相应的支座 反力 R1 b ，它们构成一个 a 虚设的平衡力系： ⑶列出虚功方程，求 ： 1 c1 R1 0
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
⑵ 变形体的变形，产生内部应变（有位移，也有应变）。 如下图，简支梁在荷载 q 作用下， 各点产生线位移(挠度 )；同时， 梁内由于承受弯矩 M 而产生曲 率 和应变 。

◆计算结构的位可以用几何方法：
例如：在第一种情况下，
杆AC的角位移： c A
§8-3 荷载作用下的移计算
一．计算步骤
本节利用 M N Q 0 ds RK cK 计算荷载引起的位移， 是假设结构为静定的，材料是弹性的，且无支座移动；其计算步骤可可 按归纳的一般步骤进行。但其公式中的： 、 、 应根据荷载的大小来确 定； 荷载 内力 应力 应变
剪切变形 0
支座移动 cK
对位移 的影响
§8-2 结构位移计算的一般公式
关于位移计算一般公式 M N Q 0 ds RK cK 几点说明： ◆此式是根据刚体体系虚功原理和叠加原理得出的，它适用于微小变形 的情况。
◆此式是一个普遍性公式，它的普遍性表现在：
ds
d ds

A
s
ds
d
ds
既 ds 趋于零，但微段的三
种相对位移仍存在，而其它 部分为刚体。此为刚体体系 的位移问题。 ⑶ 根据刚体体系的虚功原 理，由上图可得：d Md Nd Q d
M N Q 0 ds
B
C1
d
d 0 ds
1
A
b c1 R c1 a
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
在虚力原理中，求位移的关键步骤是在所求位移 方向虚设单位 荷载，并利用平衡条件求出与 c1 相应的支座反力 R 。因此这个解 1 法称为单位荷载法，其特点是采用静力平衡方程来解几何问题。 虚功原理的两种应用形式相应的两类问题——求未知力和求未 知位移，相应的两种解法——单位支座位移法和单位荷载法。即：
第 六 章 结构的位移计算
本章处在静定结构分析与超静定结构分析的交界处，起着承上启下的 作用,其中，主要讨论两个问题：
第一，讨论刚体体系虚功原理的另一种应用形式：虚设力系，求刚体体系 的位移（虚力原理），前面所讨论的是虚设位移求结构的位移称为虚位移 原理。 第二，利用刚体体系有局部变形时的位移，根据叠加原理，求变形体体系 整体变形时的位移，得出结构在荷载、温度等因素作用下的位移计算公式。
由 M N Q 0 ds RK cK 1 RK cK M N Q 0 ds
上面第二式左边是结构的虚设外力在结定位移上所作虚功的总和， 简称为外虚功 We 。右边是各个微段两侧截面上的应力合力在给定变 形上所作虚功的总和，简称为内虚功 Wi 。
We 1 RK cK Wi M N Q 0 ds
此式即为变形 可见 外虚功 We =内虚功 Wi 体的虚功方程
§8-2 结构位移计算的一般公式
三.单位荷载的施加方法

单位荷载法： 根据虚功原理沿所求位移 方向虚设单位荷载建立起来 的求结构位移的方法。
一.结构位移计算概述
◆计算结构的位移的目的：验算结构的刚度，即验算结构的位移是否超 过允许的位移限值；在结构制作、安装过程中，预先知道结构的变形情 况，可以采取适当的施工措施；为超静定结构的内力分析打下基础。 ◆产生位移的原因：(1)荷载作用；(2)温度变化和材料胀缩；(3)支座 沉降； (3)制造误差；等等。 ◆结构各点产生位移时，结构内部是否产生应变，有两种情况： ⑴ 刚体运动不产生内部应变（有位移，但无应变）。 如下图，静定多跨梁的支座A有位移 c ，这时，各杆只发生刚体运 A 动，而应变却等于零。
A
M 1
A
求如图所示桁架中AB杆的角位 移 AB ，则应加一单位力偶，构成这
一力偶的两个集中力，各作用于该杆 的两端并与杆轴垂直，其值为 1l ，l 为该杆长度。
1
A
l
l
1
B
l
§8-2 结构位移计算的一般公式
求图中结构上A、B两点沿其连线方向的相对线位移 AB，可在该两点沿 其连线加上两个方向相反的单位力。
M
Q
N
§8-2 结构位移计算的一般公式
下面求A点沿
方向的位移分量 d 。
⑴ 根据微段 ds 的轴向应变 、剪切应变 0 、曲率 等变形，确定微段两端截面的相对位移； 相对轴向位移，d ds d 相对剪切位移，d 0 ds 相对转角， ds R ds d B C d ⑵ 将微段变形加以集中化，
根据材料力学的知识：
d
ds

d ds N p ds EA ds
d
ds

d ds Q p ds GA ds
ds
d
k d ds M p ds EI ds Mp EI
此式为结构 位移计算的 一般公式
如果结构除变形外，在支座处还有给定位移
M N Q 0 ds RK cK
Mds
cK
，则：
N ds
Q 0 ds
0
c RK cK
上式分 别为
弯曲变形
轴向变形
第 六 章 结构位移计算 本章主要内容
应用虚功原理求刚体体系的位移
结构位移计算的一般公式 荷载作用下的位移计算 图乘法 温度作用及支座移动时的位移计算
广义位移的计算
互等定理
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
一.结构位移计算概述
◆结构位移的种类：结构在外界因素作用下发生变形。因此而使结构各点的 位置发生相应的改变，这种改变称为结构的位移。 线位移 — 结构上某点沿直线方向移动的距离。 角位移 — 结构上某截面旋转的角度。
P 1 P 1
A
P 1
A
B B
M 1
求梁或刚架上两个截面的相对角位 移，可在这两个截面上加两个方向 相反的单位力偶。如图所示为求铰A 处左、右两侧截面的相对角位移。
P 1
A
§8-2 结构位移计算的一般公式
四.结构位移计算的一般步骤
已知结构各微段的应变 、 、 0 和支座的位移 cK ，求结构其点 沿某方向的位移 ，其计算步骤如下：
(1)在某点沿拟求位移 的方向虚设相应的单位荷载。 (2)在单位荷载作用下，根据平衡条件求出结构内力 M 、N 、 和支 Q (3)最后根据公式 M N Q 0 ds RK cK 求出位移 。 注意： 在结构位移计算公式里，乘积 M、 、 0、 K cK 是力 N Q R 与变形之间的乘积。当力与变形的方向一致时，则乘积为正。 座反力 cK 。