整体思想应用举例

整体思想应用举例

在我们初一学习的《二元一次方程组》这一章中，整体思想有广泛的的应用.

一、用于解方程组

例1 解方程组⎩

⎪⎨⎪⎧2002x+2003y=2001①2003x+2002y=2004② 分析：如果选用代入法解答，比如由①得，x= 2001- 2003y 2002

,再代入②，得 2003×（2001- 2003y 2002

）+2002y=2004 解答起来十分麻烦.

如果选用加减法，比如，①×2003- ②×2002，可以消去x ，得

2003×2003y-2002×2002y=2001×2003- 2004×2002

形式也很复杂，不易求解.

注意到两个方程的系数正好对调这一特征，先将两方程相加，①+②，得

4005x + 4005y = 4005

化简，得 x+y=1 ③

再将两方程相减，① - ②，得

-x + y = - 3

化简，得 x-y=3 ④

由③、④组成方程组，得

⎩

⎪⎨⎪⎧x + y =1 ③x - y =3 ④ 对于这个方程组，不难解得

⎩⎨⎧x = 2y = -1

例2 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x+y-z=11①

y+z-x=5 ②z+x-y=1 ③

分析：注意到此方程组中的数据具有轮换特征，可将三个方程相加，①+②+③，得 x+y+z=17 ④

④-①,得 z = 3;

④-②,得 x = 6;

④-③,得 y = 8.

所以，原方程组的解为 ⎩⎪⎨⎪⎧x = 6

y = 8z = 3

例3（1998年广东省中考题）如果关于x 、y 的二元一次方程组⎩

⎨⎧3x-ay = 162x+by = 15 的解是⎩⎨⎧x=7y=1 ，那么关于x 、y 的二元一次方程组⎩

⎨⎧3(x+y)-a(x-y)=162(x+y)+b(x-y)=15 的解是_____. 分析：如果把⎩⎨⎧x=7y=1 代入⎩

⎨⎧3x-ay = 162x+by = 15 ，解出a 、b 的值，再代入⎩

⎨⎧3(x+y)-a(x-y)=162(x+y)+b(x-y)=15 ，进而求解，虽然可行，但很繁琐。如果采用整体思想，视⎩

⎨⎧3(x+y)-a(x-y)=162(x+y)+b(x-y)=15 中的x+y=m ，x-y=n ，则此方程变形为⎩

⎨⎧3m-an=162m+bn=15 .则对照第一个方程，把m 看作第一个方程中的x ，把n 看作第一个方程中的y ，可知⎩⎨⎧m=7n=1 ，即⎩

⎨⎧x+y=7x-y=1 ，容易解得第二个方程的解为⎩⎨⎧x=4y=3 . 既避免了求a 、b 的值，又简化了方程组，直接简便。 二、用于求代数式的值

例4（2002年江苏省镇江市中考题）已知二元一次方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x + y = 7①x + 2y = 8② ，则

x-y=_________, x+y=_________.

分析：若直接解出x 与y 的值，再代入所求代数式，虽然能求得结果，但很费力. 仔细观察两个方程，会发现具有例1所讲特征. 于是，仿照例1，有 ①-②，得 x - y = - 1

①+②，得 3x + 3y = 15

化简，得 x+y=5

例5（2001年湖南省邵阳市中考题）方程组⎩⎨⎧ax+by=4bx+ay=5 的解是⎩

⎨⎧x=2y=1,则a+b=____. 分析：把解代入原方程组，得⎩

⎨⎧2a+b=42b+a=5 , 两方程相加，得3a+3b=9,所以a +b=3. 三、用于列方程组解应用题

例6 有文具盒、钢笔和书包三种商品，若购买文具盒3个、钢笔2支、书包2个共需302元；若购买文具盒5个、钢笔3支、书包3个共需508元，则购买文具盒、钢笔、书包各一件需多少元？

分析：设购买收音机、钢笔、书包各一件分别需要x,y,z 元，则

⎩

⎪⎨⎪⎧3x+2y+2z=302 ①5x+3y+3z=508 ② 分别求出x,y,z 条件不足，为此可以将x+y+z 视为一个整体求解.

①×3-②，得 x + y + z = 96

所以，购买文具盒、钢笔、书包各一件需96元.