三角函数、平面向量综合题六类型

三角函数与平面向量综合题的六种类型

【例1】（2007年高考安徽卷）已知04

πα<<

，β为()cos(2)8

f x x π

=+

的最小正

周期，(tan(),1),(cos ,2),4

a b a b m β

αα=+-=⋅=，求22cos sin 2()

cos sin ααβαα++-的值．

【解答】因为β为()cos(2)8

f x x π

=+的最小正周期，故βπ=．因为a b m ⋅=，

又cos tan()24

a b β

αα⋅=⋅+

-，故cos tan()24

m β

αα⋅+

=+．

因为04

π

α<<，所以22cos sin 2()cos sin ααβαα++=-22cos sin(22)

cos sin ααπαα++-

22cos sin 2cos sin αααα+=-2cos (cos sin )cos sin ααααα+=-1tan 2cos 1tan α

αα

+=⋅

- cos tan()24

m β

αα=⋅+

=+．

【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后使用三角函数中的和、

差、半、倍角公式实行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。

【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02

π

ϕ≤≤）

的图像与y 轴交于点（0，1）。 （Ⅰ）求ϕ的值；

（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角。 【解答】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,ϕ=即1

sin .2

ϕ= 因为02

π

ϕ≤≤

，所以6

π

ϕ=

.

（II ）由函数2sin()6y x π

π=+

及其图像，得115

(,0),(,2),(,0),636

M P N -- 所以11

(,2),(,2),22

PM PN =-=-从而

cos ,||||PM PN

PM PN PM PN ⋅<>=

⋅1517

=，故,PM PN <>=15arccos 17.

【评析】 此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：cos ,a b a b a b

⋅=

⋅求出被

求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程实行求解。

题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算

【例3】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =． （1）求cos C ；

（2）若5

2

CB CA ⋅=，且9a b +=，求c ． 【解答】（1）tan 37C =，∴sin 37cos C

C

=,

又22

sin cos 1C C +=，解得：1cos 8C =±，

tan 0C >，∴C 是锐角，∴1

cos 8

C =．

（2）52CB CA ⋅=，∴5

cos 2

ab C =，∴20ab =，

又

9a b +=，22281a ab b ∴++=，2241a b ∴+=，

2222cos 36c a b ab C ∴=+-=，6c ∴=．

【评析】 根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余

弦定理实现边角转化，列出等式求解。

题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算 【例4】（2007年高考陕西卷）()f x a b =⋅，其中向量(,cos 2)a m x =，

(1sin 2,1)b x =+，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4

π

．

（Ⅰ）求实数m 的值；

（Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。 【解答】（Ⅰ）()f x a b =⋅(1sin 2)cos 2m x x =++ 由已知()4

f π=(1sin

)cos

22

2

m π

π

++=，得1m =．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得()1sin 2cos 212)4

f x x x x π

=++=++

∴当sin(2)14

x π

+=-时，()y f x =的最小值为12

由sin(2)14x π

+

=-，得x 值的集合为3|,8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭

．

【评析】 涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则求出相对应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如

sin()y A x k ωϕ=++，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。

题型五：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法

【例5】（2007年高考湖北卷）将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量,24π⎛⎫

=-- ⎪⎝⎭a 平移，则平移

后所得图象的解析式为（ ）

Ａ．2cos 234x y π⎛⎫

=+- ⎪⎝⎭

Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫

=-+ ⎪⎝⎭

Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫

=-- ⎪⎝⎭

Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫

=++ ⎪⎝⎭

【解答】∵,24π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭a ，∴平移后的解析式为π2cos 23612x y π⎛⎫

=++- ⎪⎝⎭

2cos 234x π⎛⎫

=+- ⎪⎝⎭

，选A ．

【评析】理清函数()y f x ω=按向量(,)h k =a 平移的一般方法是解决此类问题之关键，平移后的函数解析式为[()]y f x h k ω=--．

题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题

【例6】（2006年高考湖北卷）设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+.

（Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；

（Ⅱ）求使不等式3

()2

f x ≥

成立的x 的取值集. 【解答】（Ⅰ）∵()()f x a a b =⋅+222

sin cos sin cos cos a a a b x x x x x =⋅+⋅=+++

11321sin 2(cos 21))2224

x x x π=+++=+

∴()f x 的最大值为32

22+，最小正周期是22

ππ=

（Ⅱ）要使3

()2

f x ≥成立，当且仅当323)2242x π+

+≥， 即sin(2)04

x π

+

≥⇔2224k x k π

πππ≤+

≤+⇔3,88

k x k k Z π

π

ππ-

≤≤+

∈, 即3()2f x ≥成立的x 的取值集合是3|,88x k x k k Z ππππ⎧⎫

-≤≤+

∈⎨⎬⎩⎭

． 【评析】 结合向量的坐标运算法则，求出函数()f x 的三角函数关系式，再根据三角公式对函数()f x 的三角恒等关系，然后借助基本三角函数的单调性，求简单三角不等式的解集。

【跟踪训练】