浙江省宁波市镇海中学2014届高三下学期期初考试数学(理)试题 Word版含答案

镇海中学2013学年第二学期期初考试
高三年级数学（理）试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的，答案请填在答题卷的表格中．．．．．．．．．．．．. 1.设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是 ( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．1或－1
2.已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，且满足z (1＋i )＝2i ，则z ＝ ( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－2＋2i D ．－2－2i
3. 下列命题正确的是（ ）
A ．若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面α
B ．若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α
C ．若直线l 不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线l
D ．若直线l 不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l
4．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8310-=S S ，则11S 的值为（ ） A.12 B.18 C.22 D.44
5.已知展开式232321201212(6)(6)=x x x x a a x a x a x --+-++++,则159a a a ++的
值为( )
A.6
6 B.6
6- C.1 D.0
6．过双曲线122
22=-b
y a x （)00>>b a ，的左焦点F )0(，c -作圆222)(c y c x =+-的
切线，切点为E ，且该切线与双曲线的右支交于点A ．若)(2
1
+=，则该双
曲线的离心率为（ ）
A.
2
1
3+ B.3 C.13+ D.2 7.如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为2，点C 在平面α内，B 是直线l 上的动点，则当O 到
AD 的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为 ( ）
A
．22+ B
．12 C ．1 D
α
l
O
D
C
B
A
8. 已知函数)(,1sin 2
1
sin 2R x x x y ∈+-
=，
若当x α=时，y 取最大值；当x β=时，y 取最小值，且,,22ππαβ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，则sin()αβ-=（ ）
A ．14-
B ．14 C
．4- D
4
9. 某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S 等于（ ） A.24 B.26 C.30 D.32
10.设抛物线2=4x y 的焦点为F ，M 是抛物线上异于顶点的一点，且点M 在准线上的射影为N ，则在MNF 的重心、外心和垂心中，有可能仍在此抛物线上的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。

将正确答案填在答题卷．．．横线上 11.已知3sin 4cos 5αα+=，则tan =α____________.
12．如图，正方形OABC 的边长为1cm 的直观图，则原图形的周长是_______cm.
13.函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8π
的等差数列，
127()()()7f a f a f a π++
+=，则[]2
417()=
f a a a -__________ .
14. 某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）.设某学生对每道题答对的概率都为2
3
，则该学生在面试时得分的期望值为 ___ 分.
15.设A,B,C 是圆22=1x y +上相异三点，O 为坐标原点，若存在正实数λ， μ，使得
OC=OA+OB λμ，22+λμ则的取值范围是_____.
16.已知函数()f x 满足(0)2f =，且对任意实数
x ，()'()1f x f x ->恒成立，则
()1x f x e >+的解集为__________.
17. 方程22ay b x c =+中的{},,3,2,1,0,1,2,3a b c ∈---，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有________条.
三、解答题:本大题共5小题,共72分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
18．已知三角形ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，22
6cos +=a b ab C ，且
2sin 2sin sin =C A B 。

（Ⅰ）求角C 的值；
（Ⅱ）设函数()sin()cos (0)6
=-->f x x x π
ωωω，且()f x 图象上相邻两最高点间
的距离为π，求()f A 的值。

19.在等差数列}{n a 和等比数列}{n b 中，11=a ，21=b ，0>n b (∈n *N )，且221,,b a b 成等差数列，2,,322+a b a 成等比数列． （Ⅰ）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n b n a c =，数列}{n c 的前n 和为n S ，若t a n
S n
S n n n +>++242恒成立，求常数t 的
取值范围．
20.如图，PAB ∆是边长为2的正三角形，平面PAB 外一动点C 满足下面条件： PA PC =，AB AC ⊥.
（Ⅰ）若M 为BC 的中点，求证：PM ⊥平面ABC ； （Ⅱ）若二面角B PC A --与二面角
C AB P --互余，求三棱锥ABC P -的体积.
21.已知斜率为(0)k k ¹的直线l 交椭圆
2
2:14
x C y +=于1122(,),(,)M x y N x y 两点。

（I ）记直线,OM ON 的斜率分别为12,k k ，当123()8k k k +=时，证明：直线l 过定点；
（II ）若直线l 过点(1,0)D ，设OMD ∆与OND ∆的面积比为t ，当2
5
12
k <时，求t 的取值范围。

22．已知函数x a x a x x f ln )12()22(2
1)(2
+++-=
(I)求f(x)的单调区间；
(II)对任意的
2,1[,],25
,23[2
1∈∈x x a 121
211()()||f x f x x x λ-≤-
，求正实数λ的取值范围.
A
B
镇海中学2013学年第二学期期初考试
高三年级数学试卷（理）答题卷
11．12．
13．14．
15．16．
17．
三．解答题 (本大题共5小题,共72分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18．
19.
20.
A B
21. 22．
镇海中学2013学年第二学期期初考试
高三年级数学（理）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C
B
B
C
D
A
A
C
D
B
二、填空题（共7个小题。

请将答案直接填入横线中） 11._
3
4
; 12. 8 ; 13. 2
5764π ； 14. 15 ;
15. 1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
； 16. (),0-∞ ;
17. 102 .
三.解答题:本大题共5小题,共49分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
18．（Ⅰ）3
C π
=
（Ⅱ）
19．解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ，等比数列}{n b 的公比为)0(>q q ． 由题意，得⎩
⎨⎧++=+=+)23)(1()2(22)1(22
d d q q d ，解得3==q d ． …3分
∴23-=n a n ，132-⋅=n n b ．
…7分
（Ⅱ）23223-⋅=-⋅=n n n b c ．
…9分 ∴n n c c c S +++= 21n n 2)333(221-+++= 3231--=+n n ．
…11分
∴
133
33
3241122+=--=++++n n n n n n S n S ． …12分
∴t n n +->+2313恒成立，即min )333(+-<n t n ．
令333)(+-=n n f n ，则0332)()1(>-⋅=-+n n f n f ，所以)(n f 单调递增． 故3)1(=<f t ，即常数t 的取值范围是)3,(-∞． …14分
20.（Ⅰ）证明一：取AB 的中点N ，连接PM 、MN 。

由已知PB PA PC ==,AB PN BC PM ⊥⊥∴、， 又MN 为ABC ∆的中位线，且
∠BAC AB MN ⊥∴,
PMN AB 平面⊥∴，
PM AB ⊥∴
ABC PM 平面⊥∴
（Ⅱ）解：如图，以AB 所在的直线为x 轴、AC 所在的直线为y 轴建立空间
直角坐标系，则)0,0,0(A 、)0,0,2(B ，设)0,2,0(t C ()0>t ， 则t MN PN ==，3 ，23t PM -=∴)3,,1(2t t P -∴ 由（1）可知二面角C AB P --的平面角为PNM ∠，3
3sin 2t PNM -=∠，
设平面PAC 的法向量为),,(1111z y x n =，则
⎪⎩⎪⎨
⎧==⋅=-++=⋅0
20
31112111ty n z t ty x n 令11-=z 得)1,0,3(21--=t n ，
设平面PBC 的法向量为),,(2222z y x n =，则
⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=⋅=+-=⋅030
2222
222222z t ty x BP n ty x n ， 令12=y 得)0,1,(2t n =，
由已知得21,cos n n >=
<3
31
432
2
2
2t t t t t -=
+⋅--=
，
解得2=t ，此时，3
2231=⋅=∆-PM S V ABC ABC P 。

21.解： （1）解法1：依题意可设直线l 的方程为y kx n =+，其中0k ¹。

代入椭圆方程得：222(14)8440k x knx n +++-=，
则有1222
1228144414kn x x k n x x k ìïï+=-ïï+ïíï-ï=ïï+ïî。

……………2分 则121221************
()()
y y y x y x x kx n x kx n k k x x x x x x +++++=
+==
12122
122()844
kx x n x x k
x x n ++=
=--。

……………5分 由条件有224844k k n -=-，而0k ¹，则有1
2
n = ，
从而直线l 过定点1(0,)2或1
(0,)2
-。

……………8分
解法2：依题意可设直线l 的方程为x my n =+， 代入椭圆方程得：2
2
2
(4)240m y mny n +++-=，
则有12221222444mn y y m n y y m ìïï+=-ïï+ïíï-ï=ïï+ïî。

……………2分 则121221122112121212()()
()()
y y y x y x y my n y my n k k x x x x my n my n +++++=
+==
++ 12122222
12122()2()my y n y y m
m y y mn y y n m n
++=
=+++-。

……………5分 由条件有22
68m m n m =-，得1
2
n m = 。

……………7分 则直线l 的方程为12x my m = ，从而直线l 过定点1(0,)2或1
(0,)2
-。

……………8分
（Ⅱ）依题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，其中0k ¹。

代入椭圆方程得：2222(14)8440k x k x k +-+-=，
则有2
12221228144414k x x k k x x k ìïï+=ïï+ïíï-ï=ïï+ïî。

……………9分
从而有121222(2)14k
y y k x x k
+=+-=-
+…………① []2
2
2
121212122
3(1)(1)()114k y y k x x k x x x x k
=--=-++=-+…………② 由①②得2122
12()4
3(14)
y y y y k +=-+，……………11分 由2
5012k <<
，得2441
33(14)2
k -<-<-+。

……………13分
又
1
2
OMD
OND y S t S y ∆∆=
=，
因
120
y y <，故
1
2
y t y =-
，又
212121221()1
22y y y y t y y y y t
+=++=--+，
从而有411232t t -<--+<-，得22
310302520
t t t t ⎧-+<⎨-+>⎩， 解得23t <<或
11
32
t <<。

……………15分 22．解：（Ⅰ）
x a a x x f 12)22()(++
+-='=x x a x )
1)(12(--- （0>x ）
令0)(='
x f ，1,1221=+=x a x …1分
① 0=a 时，0
)1()(2
≥-='x x x f ，所以)(x f 增区间是()+∞,0；
② 0>a 时，112>+a ，所以)(x f 增区间是)1,0(与),12(+∞+a ，减区间是)12,1(+a
③
021
<<-
a 时，1120<+<a ，所以)(x f 增区间是)12,0(+a 与),1(+∞，减区间是
)1,12(+a
④ 21
-
≤a 时，012≤+a ，所以)(x f 增区间是),1(+∞，减区间是)1,0(
…5分
（Ⅱ ） 因为]
25,23[∈a ，所以]6,4[)12(∈+a ，由（1）知)(x f 在]2,1[上为减函数.
…6分
若21x x =，则原不等式恒成立，∴),0(∞+∈λ
…7分
若21x x ≠，不妨设2121≤<≤x x ，则)()(21x f x f >，
2
11
1x x >，
所以原不等式即为：)11(
)()(2
121x x x f x f -≤-λ，即
2
2111
)(1)(x x f x x f λλ
-≤-对任
意的
]
25
,23[∈a ，]2,1[,21∈x x 恒成立
令
x x f x g λ
-
=)()(，所以对任意的]
25,23[∈a ，]2,1[,21∈x x 有)()(21x g x g <恒成立，
所以
x x f x g λ
-
=)()(在闭区间]2,1[上为增函数
…9分
所以0)(≥'x g 对任意的]25
,23[∈a ，]2,1[∈x 恒成立 所以8λ≥。