数e 来龙去脉

数e 来龙去脉

李 忠

(北京大学数学科学学院 100871)

在中学里如何给学生讲述自然对数的底e ,是一大难题. 我国中学教材处理这个问题的办法历来是,不讲它的意义和定义,只告诉学生数e 是一个无理数, e = 2.71828 ⋯⋯. 这使得数e 变得很神秘. 至于数e 和自然对数有何用处,学生们则更是茫然.

当然,讲清常数e 的意义,要比讲清圆周率π的意义困难得多. 圆周率π有明显易懂的几何意义:圆的周长与其直径之比;而数e 就似乎缺乏这样简单明了的解释与模型.

从历史上来看,数e 的出现要比π晚得很多。人们知道圆周率至少是在公元前200 多年前的事,而数e 的出现则在17 世纪.

本文将简要介绍发现数e 的历史, 除了讲述Euler 的贡献之外,还要重点解释Bernoulli 关于数e 模型以及Huygens 关于自然对数的几何模型. 最后讲讲数e 在分析学中的意义.

1 数e 的由来

历史上数e 的出现与关于对数的研究紧密相关.

17 世纪初,苏格兰数学家John Napier 等人发明了对数. 基于对数的理论,人们编制了对数表,制成了计算尺,使之成为数值计算的有效工具. 当时除了Napier 对数之外,还有一种自然对数. 在1618 年出版的Napier 的著作中, 就附录了一个自然对数的对数表. 尽管没有标明注明这张表的编制者,但后来人们几乎完全可以肯定它的编制者是William Ought red.

自然对数的出现是历史上第一件与数e 有关的事. 但是,当时人们并不知道自然对数的底———常数e. 这似乎让人感到有点奇怪:为什么当时有了自然对数的表, 却不知道它的底呢? 我们需要作一点必要的解释.

利用对数表或计算尺来计算大数的乘积和商,其基本原理是通过对数函数把两个数乘除运算化成了加减运算. 当时人们关于对数的思考,与现代的想法不同. 现代的做法是, 先给定某个数a ,把它作为底,然后根据方程y x a =,将x 的对数定义为y . 但那时人们考虑对数的办法并不是这样,而是直接从一个对数函数出发. 若一个函数f(x)在(0 , + ∞)上连续并严格单调, 且对于任意两个正数x 与y 都有:()()()f xy f x f y =+,则称之为对数函数. 对数函数不只一个, 人们可以用不同的方式构造这种函数. 一旦有了这样的函数(或相应的算法) 就可以利用它编制对数表.

1661 年, Huygens 作了一个重要观察:他考察了双曲线y = 1/ x 的下方的某种曲边梯形的面积,并发现这种面积与对数函数有关. 他的发现实际上给出了自然对数的一个几何模型. 后面我们还要详细介绍他的结论.

令人意外的是,不曾研究对数的数学家J acobBernoulli (雅可布·贝努力) , 却首次给出了数e 的定义. 他在1683 年研究复利时, 证明了当n 趋于无穷时,数列{(11/)}n n +有极限, 并且证明了这个极限介于2 与3 之间. 这个极限值就是后来人们称之为e 的数. 当然,Jacob Bernoulli 当时并没有认识到这个极限与

对数的关系,也没有把两者联系在一起.

数e 作为一个数学常数第一次被正式提出,是在1690 年. 那年,著名数学家Leibniz (莱布尼斯) 在写给Huygens 的信中,提出了这个常数. 但他把它记为b, 而不是e.

把这个常数记作e 、并对它作了全面深入研究的数学家是Euler (欧拉) . 他从1727 年就开始研究它, 并记之为e. 他得到了众多的发现. 在1748 年出版的书《无穷小分析引论》中,他把自己的发现作了完整的叙述与总结.

他同样把数e 定义为极限lim(11)n n n →∞

+, 并证明了 11/1!1/2!1/3!e =++++

他取了上述公式的20 项进行计算,给出了数e 的前18 位:

e ≈2.718281828459045235

他定义了以e 为底的指数函数与对数函数(即自然对数) . 此外他还给出了数e 和以e 为底的指数函数的幂级数展开式,以及它们的连分数展开式.最难能可贵的是借助于e ,他证明了著名公式:

cos sin ix e x i x =+,

被称作Euler (欧拉) 公式. 自Euler 之后, 以e 为底的指数函数与以e 为底的对数函数, 开始进入了数学的各个领域,成为分析学不可缺少的工具.

附带指出, 有一些人误以为这里的字母e 是人们为了纪念Euler ,才使用了他的名字的第一个字母. 其实不然,是Euler 自己首先使用这个记号,而后来的人只是跟随了他而已. 人们猜测Euler 使用e 的原因,可能是由于字母e 是

“exponential ”(指数) 的第一个字母的缘故. 当然,也可能是其他原因. 但有一点可以肯定,他使用e 与自己的名字无关, 因为人们知道Euler 是个十分谦逊的人.

2 数e 的贝努力模型

为了增进对数e 的具体了解, 现在我们回到前面提到的Jacob Bernoulli 的结果. 它实际上给我们提供了一个关于数e 的具体模型.

现在让我们虚构一个有关复利计算的故事.

某处有一家银行, 它对客户储蓄的年利率是1 =100 %. 某客户甲在年初存入1 元,年终取出,其本利和为1 + 1 = 2 元. 某客户乙在年初存入1 元,而在年中时(假定恰好是1 年之半时) 取出,然后再将当时的本利和一并存入该行,则他在年终取出时本利和应为

(1 + 1/ 2) (1 + 1/ 2) = (1 + 1/ 2) 2 = 2.25 ,

多于客户甲之所获. 某客户丙在年初存入1 元,然后以一季(一年的1/ 4) 为周期, 每一季办理一次存取手续,以获得复利. 这样,客户丙在年终时,本利和应为

(1 + 1/ 4)4 ≈2.4414063 ,

更多于某甲之所获. 某客户丁在年初存入1 元,然后要求银行, 以天为单位作复利计算, 那么年终时,他所得本利和应为

(1 + 1/ 365) 365≈2.7145675.

从理论上探讨,如果计算复利的周期无限缩短,或者说如果银行允许对客户时时刻刻均以复利计息,依旧假定年利率为100 % ,那么年初1 元的本金到了年终时其本利和应为

lim(11/)( 2.718281828)n n n e →∞

+==