第六章弹性力学平面问题的直角坐标系解答

=zx=zy=0

z

由于薄板很薄，表面三个应力分量为零，则近似认为

=zx=zy=0。

z

平面应力问题：应力分量仅存三个

=x(x,y), y=y(x,y),xy=xy(x,y),

x

x,y的函数，待求。

将应力分量代入各向同性材料的本构关系

存在四个应变分量待求量)：x , y , γxy ,z（其中z不独

（考虑平面内位移）.

x2(y)

w=0(z=0),zx=zy=0

所以平面应变问题：应变分量仅有三个x,y,xy=yx，位移分量两个：u(x,y) , v(x,y)，

应力分量：x, y,xy,z（其中z 不独立）。

平面应变问题待求未知函数仍然八个：3应力＋3应变＋2位移。

节平面问题的基本方程和边界条件

两个平面问题一致：βα,

=，

：

x , y ,xy =yx ,

个平衡微分方程 βα ,β+f α个相容方程：平面应力问题时

))(1()y

f x f y

x y ∂∂+∂∂+-=+νσ )f y ∂+

2(

x +y )=0

(

x +y )为调合函数，与弹性系数无关，不管是平面应力（应

变）问题，也不管材料如何，只要方程一致，应力解一致，有利实验。应力函数解法

当体力为常量或为零时，按应力法解的基本方程（共三个）为βα , 2ββ=0应力法基本方程的前两个为非齐次方程，齐次微分方程的通解等于其特解加上齐次微分方程的通解。

x = y = ,

（特解还可以选其它形式）下面工作求齐次微分方程

βα ,β =0的通解，

0=yx

，同时通解还需要满足相容方程：

2(

x +y )=0

对于上面三个齐次微分方程要求出其通解，仍是一个较复杂、困难提出将满足三个齐次微分方程的3个应力分量的齐次解

由一个函数（应力函数）的二阶微分来表示，使之自然满足齐次平衡微

,

βα

这样应力法的齐次基本方程仅为用应力函数表示的相容方程，使未知函数和基本方程数均减为一个。

提出应力函数(x,y) 与齐次微分方程中待求应力分量之间满

σ

(x,y)

齐次平衡微分方程导出的：

τ∂

=

-

基本方程为由应力函数

满足的双调合方程。

最后应力分量解为其特解加通解：

x

∂Φ∂=2对于单连域，应力函数

(x,y)满足双调和方程

4

=0，且在满足用应力函数二阶偏微分表示的边界条件，则由(x,y)导出应力分量为

真解，对于复连域，还要考虑位移的单值条件。某问题的应力函数为

，则

1=

+a+bx+cy

力函数。应力函数可确定到只差一个线性函数。应力函数及其一阶偏导数的边界值可分别由边界的面力的主矩和主矢量来确定

n

F

-dS d ∂∂(

取为二次项： 代入 4

=0将

代入应力分量与应力函数的关系式，得 3c x =σ， y =σ

取为三次项：3

2

代入 4

=0

代入应力分量与应力函数的关系式，得y d x d x 43+=σ 仅取一项 x = d y =xy = 0在边界上面力分布与坐标系位置有关。坐标系如下图所示

分布为纯弯问题，在两端面的面力将产生一个M

h/2

仍取一项 x = d y =xy =

；但坐标位置变了边界上面力分布如下图。

例题2 无体力作用的悬臂梁，在端部受集中力P 作用。

函数的主要项。将所设 代入

4

=0

和力的边界条件进行检验，如果不满足则进行修

当增加项），再代入

4

=0至满足所有方程为止。

4

=0边界条件为混合边界条件：主要边界上， 在y= h y

x

d 4h/2 d h/2

y P

x包含

可设Φ

，代入4=0

代入应力分量与应力函数的关系式，得

h

将应力分量代入边界条件：

：y= h1

要进行修正，消去h

设Φ+b1xy4=0代入应力分量与应力函数的关系式，得

h

= 0

y

=

xy

代回应力分量表达式

a a h

h

⎰

-(2

1

a ， P

b 3

逆解法。

考虑应力特点：

y 与x 无关，

y 由q 处

y 为

)(y f =

xf x

=∂Φ

∂

)xf +Φ代入基本方程

4

=0

xf f 1(4)+微分方程对全梁满足。因此。要求

ql

ql

q

x = -

，xy =00=X 0=

从楔形体的受力情况分析,可以认为在楔形体y=c 应力分量

y ,

xy 为的线性项，

x 为

由应力分量与应力函数的关系式,可设应力函数为的纯三次式

=ax +bx 2

y+cxy 将 代入双调合方程

4

=0将

代入应力分量与应力函数的关系式，得⎪

⎪

⎪

⎨⎧=+ey 6σ