电磁场与电磁波基础(第8章)讲解

kr
/ 20 (2 2 1)

kl
上式变为 ni4 kr ni2 kl 2 0
可解得
ni



kr


kr2

4kl2
1/ 2
2

根据此式便可以定性地描 述金属介质在高频或低频 情况下的特性。
显然,当 ω→∞ 时，有 kl 0 和 kr 1 此时
ni 0 ,这意味在这种假设模型下高频电磁波能够穿过金
8.１ 导电介质的一般模型
思路 修改描述分子或原子中的电荷特性的一般模型， 使其能够适用于金属介质 。
原子中移动电荷的受力方程为 低密度介质的折射率关系式为
qEx

2x m( t 2

x t
02 x)
n2
1
Nq2 / m0 (02 2 ) i
上式仅仅适用于气体，而对于密度较高的物质,如液体 或固体，由于其中分子极化形成偶极子从而产生局部场的 原因，上式需要修改。

因为电磁波能量与其幅值的平方成正比，所以在经过了这
个传播距离之后，辐射功率就衰减到 1/ e2 .
若将复折射率表示为 n nr ini
那么,平面极化波中场强表示式
可变为
E exEx exE0 exp[i(t nz / c)]
E exE0 exp(niz / c)exp[i(t nr z / c)]
效果
趋肤效应使得导体在传输高频（微波）信号时效率很 低，因为信号沿它传送时衰减很大。
验证 趋肤效应可由导电媒质的麦克斯韦方程所验证。首先推
导出在导电区域的电流密度方程，然后获得载流导体的表面 阻抗，证明它正比于频率的平方根。
在良导体中，位移电流远远小于传导电流，于是麦克 斯韦第四方程为
H Jc
1 2
内阻抗包括一个内电阻和一个内电感，即
Zi

1
l
i
1
l
Ri

1
l
Li

1
l
8.3 导电介质中的电磁波
1、导电介质中波的传播特性
根据第7章中的内容，且假定电磁波仍然沿着z轴传播
则 Ex E0e z cos(t z)
Hy

E0

e z
但是金属分子或原子中的自由电荷不可能发生极化， 因而对于高密度的金属媒质,上式无需修改。
另一方面，由于自由电荷没有被束缚在原子周围，所 以不存在着正比于位移的恢复力，同时这些电荷在原子内 部也没有自然频率或谐振频率。为了利用上述一般模型来 描述金属,在上面式中令
0＝0
于是上面的两个式子变为
qEx
1 ( 1 )2 Q
1




v 1
/ k 1i 1
Q
1 arctan 1 arctan 1 0
2
2
Q
根据以上参数，可以更进一步得知低损耗媒质中的平面波 具有如下性质 ：
（1）电导率 对相位常数的影响可以忽略， 的表达
l
l
定义 在z方向每单位长度的内阻抗为 y 0 处的电场与电
流之比。 从这个定义看，内阻抗其实又可称为表面阻抗。
即
Zi

Ez (0) I

1
l
(
i )
或
Zi

1Fra Baidu bibliotek
l
i 1
l
1 2
Zi

1
l
i 1
l
式中的 定义过的趋肤深度。这里，再一次验证了
始明显衰减之前的传播距离。
3、导电介质的趋肤效应
定义 导电介质通常是作为导体来使用的，但是，当交 变电流通过导体时，电流密度在导体横截面上的 分布将是不均匀的，并且随着电流变化频率的升 高，导体上所流过的电流将越来越集中于导体的 表面附近，导体内部的电流却越来越小，这种现 象称为趋肤效应。
原因 引起趋肤效应的原因就是涡流，当交变电流通过导体时， 在它的内部和周围空间就产生环状的交变磁场，而在导体内 部的交变磁场激发了涡流。根据楞次定律，感应电流的效果 总是反抗引起感应电流的原因的，所以涡流的方向在导体内 部总与电流的变化趋势相反，即阻碍电流的变化。而在导体 表面附近，涡流的方向却与电流的变化趋势相同。于是，交 变电流不易在导体内部流动，而易于在导体表面附近流动， 这就形成了趋肤效应。
J
第8章 导电介质中的电磁波
重点：
1. 导电介质的一般模型 2. 导电介质在高频与低频时的特性 3. 导电介质中的电磁波 4. 等离子体对波的反射
以导电媒质作为模型来讨论电磁波在其中的传 播情况,模型建立在萨姆菲尔德（Sommerfeld）、 德鲁德（Drude）和洛伦兹（Lorentz）等人的理论 研究基础之上的，

2x m( t2

x ) t
n2

1
Nq2
2
/ m0 i
接下来，我们来建立这些微观模型参数与金属的电导率
对于各向同性的导体,电流与场成正比，所以有
J E
在一维坐标中，则有 J x Ex
v 如果电荷在x方向的平均运动速度为 x ，那么电流则为
J x Nqvx
对麦克斯韦第二方程的时谐形式两端取旋度：
即 E i H
E i H
( E) 2E i H
可得 在导电媒质中
2E i J J E
代入上式得
2 J i J
就是导电媒质中电流密度 J 的一般波动方程。实际上，
1



1 2Q
1 1
2


2

1
( 1 )2 Q
1




1 1
2Q
v 1/
2 / Q (1 i) ei /4

k 1i 1 i
Q
2
在频率较高的频段内，电磁波具有如下特点:
v 1
2

1(
)2
1

表明：电磁波传播的相速与频率有关，故导电媒质是色散媒质。
（6）从上面式子可知，导电媒质中电场能量密度和 磁场能量密度是不等的。
[we ]av [wm ]av
2、良导体中的均匀平面电磁波
导电媒质中平面电磁波的性质主要由参数 、 、 和 决定
（2）沿着电磁波的传播方向，例如z方向，电场和磁场的 幅值随z的增加按指数 ez 衰减。
（3） 的物理意义为平均能流密度对距离的相对减少率
的1/2。
1 dSav / dz
2 Sav
（4）磁场在相位上比对应的电场有一个滞后角
随着媒质电导率的增大而增大，最大可达 / 4
（5）由第7章的分析可知，导电媒质中电磁波的相速由 相位系数和角频率共同决定，如
它就是决定导体内涡流的方程。
接下来讨论导电介质中 J 的分布情况
假设导体在x方向的长度为 l z
总电流 I 在 z 方向以电流
J0
密度 J 的形式分布。
l
y
Jz (y)
x
在 y 0 处， J J0 ；在 y 0 处， J 0 （介质区）。
为了维持导体内的有限电流 I ，y 时， J 0 。电流
式与理想电介质的相同。
（2）衰减常数 比较小，因为电磁波幅度的衰减缓
慢。 （3）电场与磁场几乎同相位，与理想介质中的情况近似。
当 Q 0.1 时，媒质中的传导电流密度远大于位移电流密 度。由于焦耳损耗很大，电磁波的幅度衰减非常快。
此时的各项参数为：


2

1 ( 1 )2 Q
式中

2
表明衰减系数 与频率 的平方根成正比，这样它
将随着频率的增加而增加。
导体内的总电流为
l
I 0
0
J0e i ydydx
lJ0 lJ0
i i
导体内的电场强度为
I Ez ( y)
i e i y I ( i )e yei y
Ex
Ex m
或
Nq2
m
其中 1
8.2 导电介质在高频或低频时的特性
1、介质的折射率与导电介质的频率特性
如果 n nr ini
n2 nr2 ni2 2inr ni
由
n2
1
Nq2 / m0 2 i
1
/0 2 i
n2 1 / 0 i / 0
n 属。在低频情况下 为有限值，电磁波将会有着明显 i
的衰减。

由
1
( 2
/ 0
2 1)

kr
/ 20 (2 2 1)

kl
可知 频率越高， 越小（即衰减系数 越大）
因此， kl 和 kr 与频率 的关系应该是一种非线性关
系。这种非线性关系使得电磁波在导电介质中的穿透性呈 现两段不同的特征，如图所示。
稳恒电流受两个相反因素的影响：
（i） 场加速电荷的移动
（ii）与晶格的碰撞减缓电荷的移动。
电流得以稳恒是这两种影响平均后的结果，即其平均加
速度为零。 对于单个的电荷,有
qEx

2x m( t 2

x ) t
由于 2x / t2＝0
vx＝x / t
qEx m vx
J x Nq vx Nq2
（3）由于波阻抗 的相角 / 4 ，表明磁场比
对应电场的相位滞后约 / 4 。因此，在同一场点上，电
1
2
E0e2 z cos
电场能量密度为
we

1 2

E02e2 z
cos2 (t


z)
磁场能量密度为
wm

1 2

E02
2
e2 z
cos2 (t

z
)
由上述各式可知导电介质中的平面电磁波具有如下特点：
（1）导电媒质内的平面电磁波在电场方向、磁场方向与 传播方向上的对应关系与理想电介质中的电磁波相同，仍然 是平面电磁波。
密度 J 必须只是 y 的函数，因为它在 x 方向均匀分布。
上式可写成
2Jz ( y) i Jz ( y)
即
2Jz y 2
i J z
方程的通解为
Jz ( y) Ae i y Be i y
导体内的电流分布为
Jz ( y) J0e i y J0e yei yei
cos(t


z
)
电磁波的瞬时坡印廷矢量为
ei
其中
k 1i

S (ex Ex ) (ey H y )

ez
E02

e2 z
cos(t

z) cos(t
z
)
平均坡印廷矢量为
Sav

Re[
1 2
(ex
Ex
)

(ey
H
* y
)

ez
又从前面的平面极化波中场强表示式可知 ni / c 1
所 以
c / ni
折射率的虚部决定了波穿过介质时被衰减的程度，因此当
我们研究电磁波在金属中的传播问题时，需要求出该金属
的 ni
若将电磁波的振幅衰减到 e1 时它在介质中的趋肤深度或
穿透深度定义为 ，根据 就可以测量出电磁波在开
2 2 1 2 2 1
nr2
ni2
1
/ 0 ( 2 2 1)
nr

/ 20 (2 2 1)
1 () ni
ni4
[1
( 2
/ 0
2 1)
]ni2
[ / 20 ]2 (2 2 1)

0
令
1
/ 0 (2 2 1)
穿透性
0
由图可定性地看到：在低于某 个频率的范围内，随着频率的 增加，电磁波会呈现明显的衰 减，从而表现出穿透性变差的 情况，这时将出现所谓的趋肤 效应；当频率高于某个数值后，
电磁波会随着频率的增加呈现
极好的穿透性。
2、导电介质的趋肤深度
当电磁波的振幅衰减到 e1 时，有 1
即
1
令
Q Ex Jdx Ex Jcx
它表明了介质的导 电性与介质性的比
例关系
当 Q 100 时，媒质中的位移电流密度远大于传导电流 密度，媒质特性与理想电介质比较接近，电磁波的衰减 损耗较弱，这样的媒质称为低损耗媒质
有



2Q 2



2

v （1）很小的 值使良导体内电磁波的传播速度 远小于
真空中的电磁波速度 c ，并且速度与速率有关。
（2）很大的衰减常数 值使得电场和磁场的幅度衰减很
快。由幅度衰减因子e z 可知，电磁波每前进一个趋肤深
度的距离，场幅度就要减小63%左右；若前进 6 的距离，
场幅度大约下降到原来的1/500。由于良导体的趋肤深度 只有毫米甚至微米数量级，因此当电磁波进入良导体后， 将主要趋附于导体的表层上。