数学建模作业

第1次作业

1.什么是数学建模？

当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模

2.数学建模的基本步骤有哪些？

数学建模关键是提炼数学模型，所谓提炼数学模型，就是运用科学抽象法，把复杂的研究对象转化为数学问题，经合理简化后，建立起揭示研究对象定量的规律性的数学关系式(或方程式)。这既是数学方法中最关键的一步，也是最困难的一步。提炼数学模型，一般采用以下六个步骤完成:

第一步:根据研究对象的特点，确定研究对象属哪类自然事物或自然现象，从而确定使用何种数学方法与建立何种数学模型。即首先确定对象与应该使用的数学模型的类别归属问题，是属于“必然”类，还是“随机”类;是“突变”类，还是“模糊”类。

第二步:确定几个基本量和基本的科学概念，用以反映研究对象的状态。这需要根据已有的科学理论或假说及实验信息资料的分析确定。例如在力学系统的研究中，首先确定的摹本物理量是质主(m)、速度(v)、加速度(α)、时间(t)、位矢(r)等。必须注意确定的基本量不能过多，否则未知数过多，难以简化成可能数学模型，因此必须诜择出实质性、关键性物理量才行。

第三步:抓住主要矛盾进行科学抽象。现实研究对象是复杂的，多种因素混在一起，因此，必须变复杂的研究对象为简单和理想化的研究对象，做到这一点相当困难，关键是分清主次。如何分清主次只能具体问题具体分析，但也有两条基本原则:一是所建数学模型一定是可能的，至少可给出近似解;二是近似解的误差不能超过实际问题所允许的误差范围。

第四步:对简化后的基本量进行标定，给出它们的科学内涵。即标明哪些是常量，哪些是已知量，哪些是待求量，哪些是矢量，哪些是标量，这些量的物理含义是什么?

第五步:按数学模型求出结果。

第六步:验证数学模型。验证时可根据情况对模型进行修正，使其符合程度更高，当然这以求原模型与实际情况基本相符为原则。

第2次作业

1.数学建模的分类有哪些？

数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种．

1.按照模型的应用领域(或所属学科)分：如人口模型、交通模型、环境

模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等．范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等．

2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分：如初等数学模型、几

何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等。按第一种

方法分类的数学模型教科书中，着重于某一专门领域中用不同方法建立模型，而按第二种方法分类的书里，是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用．在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模。

3.按照模型的表现特性又有几种分法；

确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响．近年来随着数学的发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型。静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化。线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的。离散模型和连续模型指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的。

虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定性、静态、线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、静态、线性模型．连续模型便于利用微积分方法求解，作理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而定．在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离散变量视作连续，也是常采用的方法．

4.按照建模目的分：有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决

策模型、控制模型等．

5.按照对模型结构的了解程度分：有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模

型．这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来揭示它的奥妙．白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了．灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做．至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象．有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理，但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理．当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展，箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的．

2.数学建模的作用并举例说明

作用：通过对数学建模过程进行分析，应用数学求解实际问题。

举例说明：例 1 （洗衣机节水的优化模型）由于淡水资源的短缺及洗衣机的普及，节约洗衣机用水十分重要，假设在放人衣物和洗涤剂后洗衣机的运行程序为：加水——漂洗——脱水（称这个过程为一轮）……，为洗衣机设计一个程序，使得在总用水量一定的条件下，洗涤效果最好。解：假设初始的污物质量为ｍ。克，洗ｎ轮后衣服上残留的污物质量为ｍ。克，每轮脱水后，衣服上仍留下的水的质量为ｔｔ，，第ｎ轮的用水量为ｑ。千克（乃＝１，２，…）由假设知，第一次放水后，ｍ。克污物均匀分布在（ｔｏ＋ｑ。）千克水中，所以，衣服上残留的污物量ｍ，．与残留的水量ｔｏ成正比。

第3次作业

1.某工厂有两条生产线，分别用来生产M和P两种型号的产品，利润分别为200元/个和300元/个，生产线的最大生产能力分别为每日100和120，生产线每生产一个M产品需要1个劳动日进行调试、检测等工作，而每个P产品需要2个劳动日，该厂每天只有160个劳动日可用，假如原材料等其它条件不受限制，问应如何安排生产计划，使获得的利润最大？

2. 如果你参加全国大学生数学建模竞赛，3天的竞赛时间你打算怎么合理安排？