解题思路点滴归纳与递推

解题思路点滴－－－归纳与递推
归纳与递推是数学竞赛中考查的重要方法。

其中归纳有完全归纳法（如枚举法）和不完全归纳法；递推法有正向递推法，也有逆向递推法。

例1 在下面各列数中的横线上填上适当的数。

（1）21，32，43，54， ，76；（2）32，1，65，43， ，2
3； （3）1，2，4，8， ，32；（4）1，10，19，28， ，46；
（5）1，3，7，13， ，31；（6）1，3，8，15， ，35；
（7）1，3，4，7， ，18。

【分析与解】给数列填数问题的基本解法是按数据特点归纳出数据关系形成数列通项，或发现前后之间的递推关系，进一步按通项或由递推式填出横线上的数。

（1）该数列的第n 项形如1-n n ，而横线上的是第5项，故应填6
5； （2）按分母特点把各项还原成分数
32，44，56，68， ，812故第n 项形如22+n n ，横线上应填7
10； （3）把各项分解质因数得1，2，22，23， ，25；故第n 项形如2n －1，横线上的数＝24＝16。

（4）易观察得：每项加上9便得后面一项，故横线上的数是29＋9＝37。

（5）设横线上的数是x ，则将数列中各项与前项相减组成新数列得
2，4，6，x －13，31－x 。

∴x －13＝8，且31－x ＝10；故x ＝21。

∴横线上应填21。

（6）容易看出数列的第n 项形如n 2－1，横线上是第5项，故应填24。

（7）容易看出，每两项相加便得后面一项，故横线上的数是11。

【评注】分析数据之间的关系，归纳出数列通项，或相邻项之间的递推关系，是解填数问题的常用方法。

其中常用的技巧有：差分法、 分数化法、分解质因数法、设未知数法等。

例2 数列1，3，2，－1，－2，1，…，的第n 项a n 及其后面两项a n ＋1，a n ＋2之间满足关系式a n ＋2＝a n ＋1－a n 。

求这个数列的前2000项之和。

（前2000项的和＝333×（1＋3＋2－1－3－2）＋1＋3＝4） 例3 求的个位数字。

（9）
例4 现有100个数按递推排列，其中第一个数是0，第二个数是2，并且从第二个数起每个数的三倍都等于其前后两个数之和，问第100个数被6除所得余数是几（2）
例5 （1）平面上5条直线最多能把一个圆的内部分成几部分（16）
（2）平面上100条直线最多能把一个圆分成多少部分（5051）
例6 平面上100个不同的圆最多把平面分成多少部分。

（99092）
例7 王大爷卖西瓜，第一次卖了全部的一半又半个；第二次卖了余下的一半又半个；第三次卖了第二次余下的一半又半个；第四次卖了第三次余下的一半又半个。

最后还剩下一个西瓜，问王大爷原来一共有多少个西瓜（31）
例8 如果xyz ＝x 3＋y 3＋z 3，则称三位数xyz 为芙蓉花数，试求出大于400而小于500的所有芙蓉花数。

练习
1．请你根据下列各个数之间的关系，在括号里填上恰当的数
（1）1，5，9，13，17，（ ）
（2）0．625，1．25，2．5，5，（ ）
（3）102，163，224，285，…，58
) ( （4）198，297，396，495，（ ），（ ）。

2．从1到1001的所有自然数按图排列，用一个正方形框子框出九个数，要使这九个数的和等于
（1）1994，（2）2529，（3）1998。

问能否办到若能办到，请你写出正方形框里的最大数和最小数。

1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 32 33 34 35
36 37 38 39 40 41 42
…… ……
995 996 997 998 999 1000 1001
3．假设刚出生的雌雄一对小兔过两个月就能生下雌雄一对小兔子，此后每月生下一对小兔。

如果养了初生的一对小兔，问满一年共可得多少对兔子
4．（抢30）两人按自然数顺序轮流报数，每人每次只能报1个或2个数。

比如第1个人可以报1，第2个人可以报2或2，3；第1个人也可以报1、2，第2个人可以报3，或3、
4。

这样继续下去，谁报到30，谁就胜。

请问，谁有必胜的策略
5．54张扑克牌，两个人轮流拿牌，每人每次只能拿1张到4张，谁取最后一张谁输，问先拿牌的人怎样才能保证获胜
6．有三堆火柴，其根数分别为17，15，3。

现有甲、乙两个轮流从其中的任意一堆取走火柴，每次至少取1根，也可以全堆取完但不允许跨堆取。

判定取到最后火柴者为胜。

问
甲先取时是否有必胜的策略
7．有10个村庄，分别用A 1，A 2，…A 10表示，某人
从A 1出发按箭头方向绕一圈最后经由A 10到A 1，有多少
种不同走法注：每点（村）至多过一次，两村之间，可走直线，也可走圆周上弧线，但都必须按箭头方向走。

8．某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两队。

根据比赛规则，每两队之间至多赛一场，并且同城市的两个队之间不进行比赛。

比赛若干场以后进行统
计，发现除A 市甲队外，其他各队比赛过的场数各不相同，问A 市乙队赛过多少场
7 9 1 A
题7。