一阶系统时域分析
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第四章 控制系统的时域分析
第4小节 一阶系统的时域分析
一、引言
时域响应：系统受外加作用而引起的随时间
变化的输出信号。
h(t ) h (tp)
1
误差带
0 tp
ts
t
时域响应 = 瞬态响应(动态响应) +稳态响应
控制系统瞬态性能要求：
稳：(基本要求) 系统受脉冲扰动后能回到 原来的平衡位置
准: (稳态要求）稳态输出与理想输出间的 误差(稳态误差)要小
R(s) Ts1
特征根为：s 1 T 单位反馈结构图：
R(s)
1
Y (s)
R(s)
1
Y (s)
Ts
Ts 1
(a) 单位反馈结构图
(b) 闭环系统输入输出关系
一阶系统的单位阶跃响应：
Y(s) 1 R(s) 1 1=1- 1
Ts1
Ts1s
1t
s s1 T
y(t)1eT , t0
单位阶跃响 应曲线：
t
r (t )
1
单位斜坡信号
00
1
t
单位抛物 线信号
r (t ) 1
00 1
t
r (t )
[ t 0 时，r(t) 0 ]
R(s)
r(t) 1
R(s) 1 s
r(t) t
R(s)
1 s2
r(t) t 2 2
1 R(s) s3
二、一阶系统的典型结构
一阶闭环系统的微分方程：Ty(t)y(t)r(t) 闭环传递函数为：G(s) Y(s) 1
转换成时间常数形式： 求解参数值：
10K o (s) 1 10K H
0.2 s 1 1 10K H
0.2
1 1 0 K H
10K o
1 1 0 K H
Baidu Nhomakorabea * 0.02
K * 10
K K
H o
0.9 10
一阶系统的时间响应与动态性能 已知单位反馈系统的单位阶跃响应 y(t)1eat 试求闭环传递函数G(s), 开环传递函数G0(s) 解： 响应I/的O传拉递氏关变系换：：YY((ss))G1s(s)sR1(sa)Gs((ssa)1sa)闭环G(s传)递sa函a数：
1 10
y(t)
0.6
1 p1 5
0
0.4
0.2
T1=5 T2=10
(a) 不同的极点位置
0
0
10
20
30
40
50
t(sec)
(b) 不同的单位阶跃响应
结论：时间常数越大，系统响应越慢。
一阶系统的典型响应
r(t) 一阶系统 典型响应
R(s)
Y(s)=G(s) R(s)
y(t)
d(t) 1
1(t)
ts
eT 10.950.05
ts Tln0.053 T
允许误差为2%的调节时间：
ts Tln0.024 T
y(t)
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
一阶系统单位阶跃响应
ts 4T
2
4
6
8
10
12
t (sec)
时间常数对动态性能的影响：
1
0.8
j
p2
超调量δ％ — 峰值超出终值的百分比 %=h(tp)h()100%
h()
时域分析方法特点： (1)直接在时间域中对系统进行分析校正， 直观，准确； (2)可以提供系统时间响应的全部信息； (3)基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。
二、典型的测试输入信号
测试信号
信号波形
r (t )
1
单位阶跃信号
00
快: (动态要求) 过渡过程要平稳，迅速
延迟时间td — 阶跃响应第一次达到终值的 50％所需的时间
上升时间tr — 阶跃响应从终值的10％上升 到终值的90％所需的时间有振荡时，可定 义为从 0 到第一次达到终值所需的时间
峰值时间tp— 阶跃响应越过终值达到第一个 峰值所需的时间
调节时间ts — 阶跃响应到达并保持在终值 5％误差带内所需的最短时间
闭环与开环的关系：
G (s)G 0(s) 1G 0(s)
G 0(s)1 G G (s()s)
开环传递函数：
a
G0 (s)
1
s
a a
a s
sa
四、一阶系统的设计
一个很有趣的例子 ，说明一阶系统只需
设计一个时间常数
1
例：假设电子温度计可以用一阶惯性 T s 1
环节来描述，要求用温度计测量盛在容器内
t
例：一阶系统动态性能考察 已知系统开环对象，设计负反馈控制如图， 将系统时间常数减小到原来的0.1倍，且保 证原放大倍数不变，试确定参数Ko和KH的取 值。
时间常数 放大倍数
10Ko
闭环传递函数：(s) KoG(S) 0.2s1 10Ko
1KHG(s) 110KH 0.2s110KH 0.2s1
y(t)
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
一阶系统单位阶跃响应
ts 4T
2
4
6
8
10
12
t (sec)
三、一阶系统动态性能指标计算
1t
y(t) 1 e T
初始时刻： y'(0) 1T 定义时间常数：T 允许误差为5%的调节时间：
ts
y(ts)1e T 0.95
的水温时，只花费1分钟时间就可以测出实
际水温的98%。
解：根据一阶惯性系统时间常数的特性：
t 4T 时， y(t)A98% （A表示输入信号的幅值）
t 1分钟60秒4T
T15秒 温度计的数学模型为： 1
15s 1
第4小节 一阶系统的时域分析
一、引言
时域响应：系统受外加作用而引起的随时间
变化的输出信号。
h(t ) h (tp)
1
误差带
0 tp
ts
t
时域响应 = 瞬态响应(动态响应) +稳态响应
控制系统瞬态性能要求：
稳：(基本要求) 系统受脉冲扰动后能回到 原来的平衡位置
准: (稳态要求）稳态输出与理想输出间的 误差(稳态误差)要小
R(s) Ts1
特征根为：s 1 T 单位反馈结构图：
R(s)
1
Y (s)
R(s)
1
Y (s)
Ts
Ts 1
(a) 单位反馈结构图
(b) 闭环系统输入输出关系
一阶系统的单位阶跃响应：
Y(s) 1 R(s) 1 1=1- 1
Ts1
Ts1s
1t
s s1 T
y(t)1eT , t0
单位阶跃响 应曲线：
t
r (t )
1
单位斜坡信号
00
1
t
单位抛物 线信号
r (t ) 1
00 1
t
r (t )
[ t 0 时，r(t) 0 ]
R(s)
r(t) 1
R(s) 1 s
r(t) t
R(s)
1 s2
r(t) t 2 2
1 R(s) s3
二、一阶系统的典型结构
一阶闭环系统的微分方程：Ty(t)y(t)r(t) 闭环传递函数为：G(s) Y(s) 1
转换成时间常数形式： 求解参数值：
10K o (s) 1 10K H
0.2 s 1 1 10K H
0.2
1 1 0 K H
10K o
1 1 0 K H
Baidu Nhomakorabea * 0.02
K * 10
K K
H o
0.9 10
一阶系统的时间响应与动态性能 已知单位反馈系统的单位阶跃响应 y(t)1eat 试求闭环传递函数G(s), 开环传递函数G0(s) 解： 响应I/的O传拉递氏关变系换：：YY((ss))G1s(s)sR1(sa)Gs((ssa)1sa)闭环G(s传)递sa函a数：
1 10
y(t)
0.6
1 p1 5
0
0.4
0.2
T1=5 T2=10
(a) 不同的极点位置
0
0
10
20
30
40
50
t(sec)
(b) 不同的单位阶跃响应
结论：时间常数越大，系统响应越慢。
一阶系统的典型响应
r(t) 一阶系统 典型响应
R(s)
Y(s)=G(s) R(s)
y(t)
d(t) 1
1(t)
ts
eT 10.950.05
ts Tln0.053 T
允许误差为2%的调节时间：
ts Tln0.024 T
y(t)
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
一阶系统单位阶跃响应
ts 4T
2
4
6
8
10
12
t (sec)
时间常数对动态性能的影响：
1
0.8
j
p2
超调量δ％ — 峰值超出终值的百分比 %=h(tp)h()100%
h()
时域分析方法特点： (1)直接在时间域中对系统进行分析校正， 直观，准确； (2)可以提供系统时间响应的全部信息； (3)基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。
二、典型的测试输入信号
测试信号
信号波形
r (t )
1
单位阶跃信号
00
快: (动态要求) 过渡过程要平稳，迅速
延迟时间td — 阶跃响应第一次达到终值的 50％所需的时间
上升时间tr — 阶跃响应从终值的10％上升 到终值的90％所需的时间有振荡时，可定 义为从 0 到第一次达到终值所需的时间
峰值时间tp— 阶跃响应越过终值达到第一个 峰值所需的时间
调节时间ts — 阶跃响应到达并保持在终值 5％误差带内所需的最短时间
闭环与开环的关系：
G (s)G 0(s) 1G 0(s)
G 0(s)1 G G (s()s)
开环传递函数：
a
G0 (s)
1
s
a a
a s
sa
四、一阶系统的设计
一个很有趣的例子 ，说明一阶系统只需
设计一个时间常数
1
例：假设电子温度计可以用一阶惯性 T s 1
环节来描述，要求用温度计测量盛在容器内
t
例：一阶系统动态性能考察 已知系统开环对象，设计负反馈控制如图， 将系统时间常数减小到原来的0.1倍，且保 证原放大倍数不变，试确定参数Ko和KH的取 值。
时间常数 放大倍数
10Ko
闭环传递函数：(s) KoG(S) 0.2s1 10Ko
1KHG(s) 110KH 0.2s110KH 0.2s1
y(t)
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
一阶系统单位阶跃响应
ts 4T
2
4
6
8
10
12
t (sec)
三、一阶系统动态性能指标计算
1t
y(t) 1 e T
初始时刻： y'(0) 1T 定义时间常数：T 允许误差为5%的调节时间：
ts
y(ts)1e T 0.95
的水温时，只花费1分钟时间就可以测出实
际水温的98%。
解：根据一阶惯性系统时间常数的特性：
t 4T 时， y(t)A98% （A表示输入信号的幅值）
t 1分钟60秒4T
T15秒 温度计的数学模型为： 1
15s 1