第14章静不定结构详解

用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结 构,统称为静不定结构或系统,也称为超静定结构或系统.
在静不定结构中,超过维持静力学平衡所必须的约束 称为多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反
力,多余约束的数目为结构的静不定次数。
(Statically Indeterminate Structure) 二、静不定问题分类
(Statically Indeterminate Structure)
第十四章 静不定问题分析
§14-1 静不定结构概述 §14-2 用力法解静不定结构 §14-3 对称及反对称性质的应用
(Statically Indeterminate Structure)
§14-1 静不定结构概述
一、静不定结构
1 EI
l 0
(FB
x
−
qx 2 2
)
⋅xdx
=
0
FB
=
3ql 8
A
思考：若求B截面的转角怎样求？
B x
1
1
B
(Statically Indeterminate Structure)
例题2 轴线为四分之一圆周的曲杆A端固定,B端铰支（图a）. 在F 作用下,求解此静不定结构。 设曲杆横截面尺寸远小于轴线半径, 可以借用计算直杆变形的公式.
B
F
π/4
A
π/4
a
B
F
FB
A
π/4
(a)
(b)
解:曲杆为一次超静定,解除多与支座B,得到A端固定,B端为自
由端的基本静定系,多余约束力为FB（图b）. 变形协调条件是:B点的铅锤位移等于零.
ΔB = 0
(Statically Indeterminate Structure)
M = FB (asinϕ)
4
F
FN FN
4
F
5
3
1
a
5
3
1
6
2
6
2
(a)
(b)
a
解：桁架内部有一个多余约束, 以杆件4为多余约束,假想的把 它切开,并代之以多余约束力FN,得到图（b）所示的相当系统。
(Statically Indeterminate Structure)
FN FN
11
4
F
4
F
4
5
5
3
1
a
3
1
5
3
1
6
6
6
2
（a）
外力超静定
（b）
内力超静定
（c）
外力超静定
（d）
内力超静定
（e）
混合超静定
(Statically Indeterminate Structure) 四、超静定次数的判定
（1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支反力的个 数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差 即为结构的超静定次数；
M
=
FB (asinϕ) −
F (a sin(φ
−
π
)) 4
当在B点作用一单位力时（图d）,
弯矩方程为
B
F
ϕ FB
A
π/4
(b)
B
M = asinϕ M = asinϕ
1
ϕ
A (d)
(Statically Indeterminate Structure)
应用莫尔积分,并设曲杆的EI为常量,
∫ ∫ ΔB = 0 =
MMds = 1 s EI EI
π
4 0
FB a
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sin
ϕ
⋅
a
sin
ϕ
⋅
adϕ
∫+
π 2
π
4
(FB
a
sin
ϕ
−
F
a
sin(ϕ
−
π
4
))
⋅
a
sin
ϕ
⋅
adϕ
解得
FB
=
F 22
B
F
利用平衡方程可以求解其他反力。
π/4
a
A
π/4
(Statically Indeterminate Structure)
例题3 计算图（a）中所示桁架各杆的内力. 设各杆的材料相同,横 截面面积相等.
(Statically Indeterminate Structure)
例题1 如图所示,梁EI为常数,试求支座反力.
q
A l
（1）去掉多余约束代之约 B 束反力,得原结构的相当系统
AB 悬臂梁为相当系统
q
A
FB 为多余反力 q为主动力
B
FB
(Statically Indeterminate Structure)
5
(F −FN)/ 2
−2
2a
6
− 2FN
−2
2a
∑ Δ1/1' = 6 FNi F Nili = 0
FN =0.397F
FN1 = −0.603F FN2 = FN3 = FN4 =0.397F
FN5 =0.854F FN6 = −0.561F
(Statically Indeterminate Structure)
q
B
B
A
A
l
FB
（2） 利用多余约束处的变形情况写出变形协调条件
变形协调条件： ΔB = 0
（3） 用单位载荷法求ΔB
(Statically Indeterminate Structure)
q
q
A l
B A
B
x
FB
（3） 用单位载荷法求ΔB
A
M
(
x)
=
FB
x
−
qx 2 2
M(x) = x
∫ ΔB
=
第一类:仅在结构外部存在多余约束,即支反力是静 不定的,可称为外力静不定系统;
第二类:仅在结构内部存在多余约束,即内力是静不 定的,可称为内力静不定系统;
第三类:在结构外部和内部均存在多余约束,即支反 力和内力是静不定的,也称混合静不定结构。
(Statically Indeterminate Structure)
例题4 刚架的两杆抗弯刚度都是EI,解此刚架.并求C截面转角。
l B
C l/2
F
D l/2
A
(Statically Indeterminate Structure)
l
l
B
B
C l/2
2
2
(c)
(d)
a
变形协调条件是:切口两侧截面的相对位移等于零.
Δ1/1' = 0
Δ1/1' = 0
(Statically Indeterminate Structure)
FN FN
11
4
F
4
5
5
3
1
3
1
6
6
2
2
(c)
(d)
杆件编号 FN i
FNi
li
1
-F+FN
1
a
2
FN
1
a
3
FN
1
a
4
FN
1
a
（2）内力超静定次数的判定:一个平面封闭框架为三次内力 超静定;平面桁架的内力超静定次数利用杆件数和节点数之间的 关系判断。(m=2n-3)
五、分析方法
1.力法:以未知力为基本未知量的求解方法; 2.位移法:以未知位移为基本未知量的求解方法.
(Statically Indeterminate Structure)
§14-2 用力法解静不定结构
一、力法的求解过程
1.判定超静定次数 解除超静定结构的多余约束，用多余约束力代替多余约束,得 到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统的“相当系统”;
2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程; 3.由补充方程求出多余约束力;（利用能量法求解） 4.在基本系统上求解原超静定结构的内力和变形. （解除多余约束后的静定结构）