线性规划与目标规划的异同和作用

线性规划与目标规划的异同和作用
一、线性规划与目标规划
（1）线性规划
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

线性规划模型的一般形式如下：
在线性规划的数学模型中，方程（1）称为目标函数；（2）称为约束条件。

满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。

在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理利用有限的人力、物力、财力等资源，以便达到最好的经济效果。

例． [生产计划安排问题]某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，单位产品的获利，如下表所示：
产品Ⅰ产品Ⅱ资源限制设备 1 1 300台时
原料A 2 1 400千克
原料B 0 1 250千克
单位产品获利50元100元
问题：计划期内工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？解：设工厂在计划期内应安排生产产品ⅠX1件, 产品ⅡX2件。

所获利润为z元。

由题意得：
Max z = 50 x1 + 100 x2
x1 + x2 ≤ 300
s.t. 2 x1 + x2 ≤ 400
x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
上例有这样的特征：（1）用一组变量表示某个方案，一般这些变量取值是非负的；（2）存在一定的约束条件，可以用线性等式或线性不等式来表示；（3）都有一个要达到的目标，可以用决策变量的线性函数来表示。

（2）目标规划
目标规划（Goal programming）目标规划是线性规划的一种特殊应用，能够处理单个主目标与多个目标并存，以及多个主目标与多个次目标并存的问题。

目标规划的模型分为以下两大类： 1.多目标并列模型。

2.优先顺序模型。

目标规划在企业人力资源需求预测中的应用
企业人力资源需求预测是人力资源管理是的一项重要工作，它可以帮助企业明确未来人力需求趋势，做好人才储备工作；同时也可以帮助企业合理预测未来各部门、各类职位人员的需求情况，做好企业的定岗定编工作。

面对日益复杂、变化更加剧烈的内外部环境，如何对动态环境中企业人力资源需求做出科学预测，是人力资源管理的重要课题。

目标规划法是为了同时实现多个目标，为每一个目标分配一个偏离各目标严重程度的罚数权重，通过平衡各标准目标的实现程度，使得每个目标函数的偏差之和最小，建立总目标函数，求得最优解。

例如在上例中的线性规划问题中现增加两个目标：假设该厂根据市场需求或合同规定，希望尽量扩大产品甲的生产量，减少乙的生产量。

则模型如下：
Max z1 = 50 x1 + 100 x2
Max z2 = x1
Min z3 = x2
x1 + x2 ≤ 300
s.t. 2 x1 + x2 ≤ 400
x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
这样就变成了一个多目标规划的问题了。

在这种多目标的规划中目标有主次之分，当约束条件有冲突时时，约束条件也要有权重的大小之分，这样在尽量满足约束条件的情况下使目标达到最大，最终找到满意解。

下面介绍一下其两者间的异同点。

二、异同点
Ⅰ.线性规划的局限性
1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际问题中并非所有约束都需要严格满足。

2）只能处理单目标的优化问题。

实际问题中，目标和约束可以相互转化。

3）线性规划中各个约束条件都处于同等重要地位，但现实问题中，各目标的重要性即有层次上的差别，同一层次中又可以有权重上的区分。

4）线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只需找出满意解就可以。

Ⅱ.线性规划与目标规划的异同之处以及它们之间的联系
⑴相同点：都有决策变量、目标函数和约束条件
⑵不同点：①. 线性规划是在一组线性约束条件下，寻求某一单一目标的最优值。

而实际问题中往往要考虑多个目标的决策问题，而且多个目标之间可能是相互矛盾、相互排斥的。

②. 线性规划问题中的约束条件是不分主次，同等对待的，是一律要满足的“硬约束”，而实际问题中，多个目标和多个约束并不一定是同等重要的，而是有轻重缓急和主次之分。

因此，线性规划的最优解可以说是绝对意义上的最优，但很多实际情况只需找出满意解即可。

⑶联系：目标规划是以线性规划为基础而发展起来的，但在运用中，由于要求不同，有不同于线性规划之处：①目标规划中的目标不是单一目标而是多目标，既有总目标又有分目标。

根据总目标建立部门分目标，构成目标网，形成整个目标体系。

制定目标时应注意协调各个分目标，消除分目标间的矛盾，以利总目标的实现；各分目标必须服从总目标的实现，不能脱离总目标。

②线性规划只寻求目标函数的最优值，即最大值或最小值。

而目标规划，由于是多目标，其目标函数不是寻求最大值或最小值，而是寻求这些目标与预计成果的最小差距，差距越小，目标实现的可能性越大。

目标规划中有超出目标和未达目标两种差距。

一般以d+代表超出目标的差距，d-代表未达目标的差距。

d+和d-两者之一必为零，或两者均为零。

当目标与预计成果一致时，两者均为零，即没有差距。

人们求差距，有时求超过目标的差距，有时求未达目标的差距。

目标规划的核心问题是确定目标，然后据以建立模型，求解目标与预计成果的最小差距。

三、线性规划和目标规划的实际应用
1线性规划应用及作用
在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料。

二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源。

线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。

建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：
(1)设立决策变量；
(2)明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示；
(3)用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求极大（Max）还是极小（Min）；
(4)根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。

例：某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作8h，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。

目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60
x1 + x2 ≥ 70
x2 + x3 ≥ 60
x3 + x4 ≥ 50
x4 + x5 ≥ 20
x5 + x6 ≥ 30
x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
2多目标规划的应用主要领域及其现实意义
多目标规划虽然已经在管理工作之中占有很重要的地位，但至今有些理论问
题尚在探讨之中，应用范围还不如线性规划广泛。

在资源分配、计划编制、生产调度等方面有一定的应用。

但是，作为一种决策方法，多目标规划的应用前景还是很乐观的。

企业决策者掌握和运用这种方法将有助于提高管理和决策水平，我们应当对多目标规划法更加重视，使其理论层次更上一层楼，并且与实际情况紧密地联系起来，这样才能真正发挥多目标规划的重要作用。

例．一位投资商有一笔资金准备购买股票。

资金总额为90000元，目前可选的股票有A和B两种（可以同时投资于两种股票）。

其价格以及年收益和风险系数如下表：
股票价格（元/股）年收益（元／风险系数
A 20 3 0.5
B 50 4 0.2
试求一种投资方案，使得一年的总投资风险不高于700，且总投资收益不低于10000元。

从上表可知，A股票的投资收益率为（3／20）×100％＝15％，股票B的投资收益率为4／50×100％＝8％，A的收益率比B大，但同时A的风险也比B大。

这也符合高风险高收益的规律。

显然，此问题属于多目标决策问题。

它有两个目标：一是限制风险，一是确保收益。

在求解之前，应首先考虑两个目标的优先权。

假设第一个目标（即限制风险）的优先权比第二个目标（确保收益）大，这意味着求解过程中必须首先满足第一个目标，然后在此基础上再尽量满足第二个目标。

设x1、x2分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。

第一个目标：总投资风险不高于700。

0.5x1 +0.2x2≤700 得0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 使得mind1+
第二个目标：总投资收益不低于10000元。

3x1+4x2≥10000 得3x1+4x2-d2++d2-=10000 使得mind2-
绝对约束：20x1＋50x2≤90000
因此： MinZ=[ P1（d1+）,P2（d2-）]
20x1＋50x2≤90000
s.t 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700
3x1+4x2-d2++d2-=10000
x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
目标规划的求解—图解法
解：由图4-1知，可行域为区域ABC
（1）第一优先级目标：min d1+
满足第一优先级目标解的空间为：ACDE(d1+=0 )
（2）第二优先级目标：min d2-
满足第二优先级目标解的空间为：E 点(d2-≠0 )
此OP 满意解为：
x1= 810
x2= 1476
d1- = 0
d1+ = 0
d2- = 1667
d2+ = 0
最优目标函数值：Zmin=1667
2000 3000
4000
x 1
x 2
1000
B A D
四、个人对线性规划与目标规划的异同和作用的看法
线性规划是一种比较理想的问题，其约束条件每一个都必须要满足，否则就没有可行解，其最终找到的是最优解，使目标函数达到最优，具有相当的严格性；而目标规划的目标函数不一定有一个，可以使多目标，其约束条件也有可能会产生矛盾，但其目标有优先级，其约束条件也有权重之别，在依次满足各个条件的情况下可以找到一个满意解，这些权重和个人的偏好有关，没有线性规划严格。

当然，对于线性规划和目标规划的问题都可以用单纯形法来解决，但是OP 的求解与求解LP的单纯形法是有区别的：
1.单纯形表中变量包括所有决策变量和偏差变量;
2.建立初始单纯形表时,以所有负偏差变量为初始基变量;
3.检验数行为所有优先因子相对应的系数构成的矩阵，称作检验数矩阵。

4.假设OP有k级目标，分别赋予优先因子p1，p2，…pk，最优性检验时：
①从p1级开始依次检验，到pk级为止；
②检验pk级目标时，若检验数矩阵中pk行所有系数均大于等于零，则pk级目标已达最优，应转入下一级目标即pk+1级目标的寻优；
③检验pk级目标时，若检验数矩阵中pk行中有负系数，且负系数所在列的前k-1行优先因子系数全为零，此时，进行基变换。

入基变量确定：检验数负中最小原则；出基变量确定：最小非负比值原则：
④检验pk级目标时，若检验数矩阵中pk行中有负系数，但所有负系数所在列前k-1行优先因子系数有零，也有正数（没有负数），则也应转入对下一级目标即pk+1级目标的寻优。

另外，在单纯性表中可也对要素做灵敏的分析，可以得到某个要素的数量的变动使得满意解的变动。

也可以对原问题的对偶问题进行分析也可以找到满意解，这在实际的应用中很广泛。