360° 三、两种正多边形镶嵌情况
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设在一个点周围有 k 个正n 边 形的角恰好覆盖平面则有:
(n-2)× 180o o k · = 360 n 2n (n-2)
k
=
2n k = (n-2) =2+ =
2n-4+4 (n-2) 4
(n-2)
∵ k 、 n 为正整数 ∴ n-2=1或2或4 n=3或4或6
由n=3或4或6
这就得到：
用同一种边长相等的正多边形 镶嵌只有正三边形、正四边形、正 六边形三种情况.
4、1个正三边形和二个正十二边形 （正十二边形每一个角150o ）
60o ×1 + 150o ×2 =360°
5、1个正方形形和2个正八边形镶嵌 90o ×1 + 135o ×2 =360°
6.两个正五边形和一个正十边形 108o × 2+ 144o ×1 =360°
只能在一个点镶嵌，而不能在整个平面镶嵌。
新人教版七年级数学 §4.1多姿多彩的图形
一、多姿多彩的图形
用形状、大小完全相同的 一种或几种平面图形进行拼接， 彼此之间不留空隙、不重叠地铺 成一片，就是平面图形的镶嵌。
天鹅的规则平面镶嵌
马的规则平面镶嵌
二、同一种正多边形镶嵌情况
1、正三角形能否镶嵌？
60° 60° 60° 60° 60° 60 °
两种正多边形镶嵌情况 1 2 3 3,3 12,12 6,6
3
4 5
3,3,3
3,3,3,3 4
4,4
6 8,8
6
5,5
10
3、三种正多边形镶嵌情况分析： （1）. 假如三种正多边形中包含两个正3边形 （三个是不可能的，因为三个正三边形角和是180o， 其它正多边形的两个角是不可能为180o 那么：另外两个正多边形的两个内角和就是 240o,这样的两个角只能是90o、150o了，就是正4 边形正12边形。 即3、3、4、12组合
(1) 1个正三角形、2个正方形和1个正六边形镶嵌
(2)2个正三角形，1个正4边形，1个正12边形镶嵌 60o ×2 + 90o ×1 +150o × 1 =360°
(3)1个正三角形，1个正8边形，1个正24边形镶嵌 60o ×1 + 135o ×1 +165o × 1 =360°
正8边形
（2）.假如三种正多边形中包含两个正4边形 同样可以得到3、4、4、6组合
（3）. 假如三种正多边形中只有一个正3边形， 另外两种正多边形的边数为n1，n2， (不妨设 n1 ≤ n2 ）且每一个顶点处，一种正多边形只 有一个，那么根据平面镶嵌的条件，必须有
(3-2)×180o
3
＋
(n1-2)×180o
n1
(n2-2)×180o ＋ = 360o n2
1 ＋ n1 n1 =
1 n2 6
10 11 12 13 14 15 16 17
3 3,3 3 3 3 3 4 4
4,4 4 7 8 9 10 5 6
6 12 42 24 18 15 20 12
五、 正多边形镶嵌情况分析
1、同一种正多边形镶嵌 三种情况：① 3、3、3、3、3、3； ② 4、4、4、4； ③ 6、6、6. 2、两种正多边形镶嵌情况分析： ①.1个正三角形 60O+2×150O=360O ②.2个正三角形 120O+2×120O=360O ③.3个正三角形 180O+2×90O=360O ④.4个正三角形 240O+1×120O=360O ⑤.1个正方形 90O+ 2×135O=360O ⑥.2个正五多边形 2×108O+144O=360O
7. 两种正多边形进行镶嵌 有多少种情况？
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 1个正三角形，2个正12边形； 2个正三角形，2个正6边形； 3个正三角形，2个正4边形； 4个正三角形，1个正6边形； 1个正四边形，2个正8边形； 2个正五边形，1个正10边形.
四、 三种正多边形镶嵌情况
原因：每一个角60°,60
°×6
=360°
任意三角形能否镶嵌？
Байду номын сангаас
情况：没有缝隙-任意正三角形可以镶嵌
C
2.四边形能够镶嵌吗？
90o
原因：每一个角90°,90
°×4
=360°
任意四边形能镶嵌成平面图形吗，为什么？
3.正六边形能否镶嵌？
原因：每一个角120°,120
°×3
=360°
正多边形镶嵌成一个平面的条件： 一个顶点处的各角之和为360度.
三、两种正多边形镶嵌情况
1.两个正方形和三个正三角形镶嵌 90o ×2 + 60o ×3 =360°
2.2个正三角形和2个正六边形镶嵌 60 o×2 +120 o×2 =360°
3、4个正三角形和1个正六边形镶嵌 60o ×4 + 120o ×1 =360°
60° 60° 60°
60° 120°
90o ×1 + 108o ×1 +162o × 1 =360°
7、1个正四边形，1个正6边形，1个正12边形镶嵌
150o ×1
+ 90o ×1 +120o × 1 =360°
1个正4边形，1个正6边形，1个正12边形镶嵌整体效果
(8)1个正3边形，1个正7边形，1个正42边形镶嵌 60o + 5 /7× 180o +40/42 × 180o =360°
只能在一个点镶嵌，而不能在整个平面镶嵌。
17种可能镶嵌的正多边形如下：
正多形1 正多形2 正多形1 正多形2 正多形3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3,3,3,3,3,3 4,4,4,4 6,6,6 3,3,3 3,3,3,3 3,3 3 4 5,5
4,4 6 6,6 12,12 8,8 10
4、为什么正五边形不能镶嵌？
若三个正五边形 有缝隙-不可以镶嵌 若四个正五边形
108 °
会重叠-不可以镶嵌.
原因：每一个角108° 三个时108 °×3 ＜360° 四个时108 °×4 ＞360°
正三角形可以镶嵌
正方形可以镶嵌
正六边形可以镶嵌
正五边形不可以镶嵌
5、用同一种正多边形镶嵌有几种情况？
正24边形
(4)1个正三角形，1个正9边形，1个正18边形镶嵌
60o ×1 + 140o ×1 +160o × 1 =360°
(5)1个正三角形，1个正10边形，1个正15边形镶嵌 60o ×1 + 144o ×1 +156o × 1 =360°
(6)1个正四边形，1个正5边形，1个正20边形镶嵌
(n-2)× 180o o k · = 360 n 2n (n-2)
k
=
2n k = (n-2) =2+ =
2n-4+4 (n-2) 4
(n-2)
∵ k 、 n 为正整数 ∴ n-2=1或2或4 n=3或4或6
由n=3或4或6
这就得到：
用同一种边长相等的正多边形 镶嵌只有正三边形、正四边形、正 六边形三种情况.
4、1个正三边形和二个正十二边形 （正十二边形每一个角150o ）
60o ×1 + 150o ×2 =360°
5、1个正方形形和2个正八边形镶嵌 90o ×1 + 135o ×2 =360°
6.两个正五边形和一个正十边形 108o × 2+ 144o ×1 =360°
只能在一个点镶嵌，而不能在整个平面镶嵌。
新人教版七年级数学 §4.1多姿多彩的图形
一、多姿多彩的图形
用形状、大小完全相同的 一种或几种平面图形进行拼接， 彼此之间不留空隙、不重叠地铺 成一片，就是平面图形的镶嵌。
天鹅的规则平面镶嵌
马的规则平面镶嵌
二、同一种正多边形镶嵌情况
1、正三角形能否镶嵌？
60° 60° 60° 60° 60° 60 °
两种正多边形镶嵌情况 1 2 3 3,3 12,12 6,6
3
4 5
3,3,3
3,3,3,3 4
4,4
6 8,8
6
5,5
10
3、三种正多边形镶嵌情况分析： （1）. 假如三种正多边形中包含两个正3边形 （三个是不可能的，因为三个正三边形角和是180o， 其它正多边形的两个角是不可能为180o 那么：另外两个正多边形的两个内角和就是 240o,这样的两个角只能是90o、150o了，就是正4 边形正12边形。 即3、3、4、12组合
(1) 1个正三角形、2个正方形和1个正六边形镶嵌
(2)2个正三角形，1个正4边形，1个正12边形镶嵌 60o ×2 + 90o ×1 +150o × 1 =360°
(3)1个正三角形，1个正8边形，1个正24边形镶嵌 60o ×1 + 135o ×1 +165o × 1 =360°
正8边形
（2）.假如三种正多边形中包含两个正4边形 同样可以得到3、4、4、6组合
（3）. 假如三种正多边形中只有一个正3边形， 另外两种正多边形的边数为n1，n2， (不妨设 n1 ≤ n2 ）且每一个顶点处，一种正多边形只 有一个，那么根据平面镶嵌的条件，必须有
(3-2)×180o
3
＋
(n1-2)×180o
n1
(n2-2)×180o ＋ = 360o n2
1 ＋ n1 n1 =
1 n2 6
10 11 12 13 14 15 16 17
3 3,3 3 3 3 3 4 4
4,4 4 7 8 9 10 5 6
6 12 42 24 18 15 20 12
五、 正多边形镶嵌情况分析
1、同一种正多边形镶嵌 三种情况：① 3、3、3、3、3、3； ② 4、4、4、4； ③ 6、6、6. 2、两种正多边形镶嵌情况分析： ①.1个正三角形 60O+2×150O=360O ②.2个正三角形 120O+2×120O=360O ③.3个正三角形 180O+2×90O=360O ④.4个正三角形 240O+1×120O=360O ⑤.1个正方形 90O+ 2×135O=360O ⑥.2个正五多边形 2×108O+144O=360O
7. 两种正多边形进行镶嵌 有多少种情况？
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 1个正三角形，2个正12边形； 2个正三角形，2个正6边形； 3个正三角形，2个正4边形； 4个正三角形，1个正6边形； 1个正四边形，2个正8边形； 2个正五边形，1个正10边形.
四、 三种正多边形镶嵌情况
原因：每一个角60°,60
°×6
=360°
任意三角形能否镶嵌？
Байду номын сангаас
情况：没有缝隙-任意正三角形可以镶嵌
C
2.四边形能够镶嵌吗？
90o
原因：每一个角90°,90
°×4
=360°
任意四边形能镶嵌成平面图形吗，为什么？
3.正六边形能否镶嵌？
原因：每一个角120°,120
°×3
=360°
正多边形镶嵌成一个平面的条件： 一个顶点处的各角之和为360度.
三、两种正多边形镶嵌情况
1.两个正方形和三个正三角形镶嵌 90o ×2 + 60o ×3 =360°
2.2个正三角形和2个正六边形镶嵌 60 o×2 +120 o×2 =360°
3、4个正三角形和1个正六边形镶嵌 60o ×4 + 120o ×1 =360°
60° 60° 60°
60° 120°
90o ×1 + 108o ×1 +162o × 1 =360°
7、1个正四边形，1个正6边形，1个正12边形镶嵌
150o ×1
+ 90o ×1 +120o × 1 =360°
1个正4边形，1个正6边形，1个正12边形镶嵌整体效果
(8)1个正3边形，1个正7边形，1个正42边形镶嵌 60o + 5 /7× 180o +40/42 × 180o =360°
只能在一个点镶嵌，而不能在整个平面镶嵌。
17种可能镶嵌的正多边形如下：
正多形1 正多形2 正多形1 正多形2 正多形3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3,3,3,3,3,3 4,4,4,4 6,6,6 3,3,3 3,3,3,3 3,3 3 4 5,5
4,4 6 6,6 12,12 8,8 10
4、为什么正五边形不能镶嵌？
若三个正五边形 有缝隙-不可以镶嵌 若四个正五边形
108 °
会重叠-不可以镶嵌.
原因：每一个角108° 三个时108 °×3 ＜360° 四个时108 °×4 ＞360°
正三角形可以镶嵌
正方形可以镶嵌
正六边形可以镶嵌
正五边形不可以镶嵌
5、用同一种正多边形镶嵌有几种情况？
正24边形
(4)1个正三角形，1个正9边形，1个正18边形镶嵌
60o ×1 + 140o ×1 +160o × 1 =360°
(5)1个正三角形，1个正10边形，1个正15边形镶嵌 60o ×1 + 144o ×1 +156o × 1 =360°
(6)1个正四边形，1个正5边形，1个正20边形镶嵌