3.飞秒激光锁模原理
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关，I 是脉冲光强。
假设腔内光束具有高斯分布截面, 它在距离 z 内产生的相移 为：
2 nz
2 z
(n0
n2I )
其中， I A02 exp[2r 2 / w2 ]，
则非线性相移 就是
(3.1.2)
2 z
n2 I
2
n2 A02
exp[2r 2
(3.1.10)
式中1 q'2 的实部，即相位波阵面曲率的倒数应该等于1 q '1 的实部。在以 R 为曲
率半径的反射镜面上，相位波阵面的曲率不应随强度而变化。相位波阵面的曲率
的变化是被 y1 的变化制约的。即[1/ q'2 ] 0 。对于 K 的一级近似, 有
52
飞秒激光技术与应用
第三章 固体激光器锁模理论
q1 iy1
其中
(3.1.7)
y1
w12
重新归一化的 q 参数就是,
(3.1.8)
q'1
iy1 1 2K
iy1(1 K )
式(3.1.6)所给出的 q 参数变换 q' 在 z=L 平面则是,
(3.1.9)
1
1
Lk n iy1(1 K )
q '2 Lk n iy1(1 K ) (Lk n)2 y12 (1 K )2
50
飞秒激光技术与应用
第三章 固体激光器锁模理论
飞秒量级，因此，克尔介质相当于一个快饱和吸收体。
3.1.1 克尔透镜效应
克尔效应是非线性效应，使介质的折射率和入射的光强成正比, 非线性折射 率可以表示为：
n n0 n2I
(3.1.1)
n0 是与光强无关的折射率， n2 是非线性折射系数，与三阶非线性极化率 (3) 有
1 Re 1 i Im 1 1 2K
q'
q
q
其中,
2K
8P
(
)2 n2
(3.1.4) (3.1.5)
P 是脉冲功率。在一个长 Lk 、折射率为 n 的克尔介质中, q' 参数转换为,
q'
2
q'
1
Lk n
式 3.1.6
51
飞秒激光技术与应用
第三章 固体激光器锁模理论
图 3.1.1 克尔透镜锁模示意图 在图 3.1.1(a)所示的单一谐振腔中, q 参数 z=0 处是个纯虚数,
pk1
pk
Bk pk2
TR Tc
pk
（3.1.21）
其中
Bk
k
g0, k 2Ps
k Tg
（3.1.22）
TR 是腔内往复时间, k ek / ( pk k ) 是一个与脉冲形状有关的因子, 数量级为 1, ek 是能量起伏, g0,k 是脉冲到来前的增益, k 是起伏的时间宽度, Tg 是上能
3.1 克尔透镜锁模原理[2],[3]
如前所述,克尔透镜锁模(KLM)是一种简单方便的产生超短脉冲的方法，它 不需要复杂的调制器。克尔透镜锁模是实验发现的, 其原理是后来才弄清楚的。 克尔透镜只是提供了一个非线性自强度调制机制。克尔透镜锁模(KLM)激光器属 于含有快饱和吸收元件的锁模激光器。图 3.1.1 为克尔透镜锁模示意图。KLM 的 机理是由于激光增益介质的非线性克尔效应使得激光腔中的光束产生自聚焦，使 脉冲中高功率密度部分被聚焦成光斑较小的光束，而低功率密度部分聚焦成的光 斑半径较大，当在腔中放置一个光阑时，高功率密度部分由于光斑较小，通过了 小孔光阑；而低功率密度部分由于光斑较大，部分光被小孔挡住而损失掉。当脉 冲在腔内来回往返多次时，低功率密度部分不断被损失，而高功率密度部分由于 穿过增益介质不断被放大，因而使时域中脉冲不断被窄化，由此产生脉宽很窄的 锁模脉冲。由于克尔效应是由激光介质中产生的电极化引起的，它的响应时间在
/
w2 ]
z
2
n2 A02 (1
2r 2 w2
)z
(3.1.3)
式中已对高斯函数展开至一阶级数。这个抛物线型的相位因子与腔内高斯光束保 持一致。因为相位因子修正光的传播，在抛物线型的相位因子假定下, 可以导出
q 参数的解析解。归一化的 q 参数经过在自由空间传播后变为 q' (参见附录 A)
半径为 R0 , 高斯光束通过这个光阑时遭到了 2 倍的损耗, 可以估算出,
2 P
4
R0
rA e dr e P 2 2r2 / wa2 0
2R02 / wa2
(3.1.13)
也就是说
2 = e e 2R02 / wa2
2/y1
其中
(3.1.14)
R02
( Lk
Lk n n)2
y12
Fra Baidu bibliotek2K (Lk [(Lk n)2
n) y12 y12 ]2
0
(3.1.11)
第一项随 y1 的变化而改变, 可以估算出,
y1 K y1
(3.1.12)
由此得出高斯光束半径随 K 的增加而减小，K 与功率成正比，这正是我们想得到
的结果。如果在腔内加一个光阑，光束半径减小直接导致损耗的减少。假设光阑
图 3.1.2 (a) 连续振荡的谐振腔中的类似短脉冲的起伏; (b)快饱和增 益介质和慢饱和吸收器的时间响应; (c)长弛豫时间的增益介质与瞬时 响应的可饱和吸收器，其中虚线表示具有有限的响应时间的可饱和吸 收器。
但是仅有克尔效应并不能保证激光器从连续振荡过渡到锁模状态，这是因为 由于噪声起伏造成的各个纵模之间的相干拍频(mode-beating)时间太短, 以致在 这样短的时间内, 锁模无法建立起来。
53
飞秒激光技术与应用
第三章 固体激光器锁模理论
把随机发生的强度和相位的变化转变为稳定的脉冲序列，这个方法就是锁模。通 常有两种锁模方法, 即主动锁模和被动锁模。被动锁模所需要的相位或幅度调制 是靠腔内非线性元件引发的。对非线性元件的要求是, 它必须在开始产生一个强 度的起伏, 以致于强度高的起伏获得较高的增益，同时要求在时间上这个增益窗 口越短越好。如图 3.2.1 所示, 对于染料激光器来说, 因为它的上能级寿命很短, 即使用慢饱和吸收器也能满足这个要求。增益和可饱和吸收的综合作用形成一个 很短的时间窗口, 可有效地压缩脉冲宽度，如图中（b）所示。对于固体激光器 来说, 情况就不同了。固体激光介质通常具有很长的上能级寿命, 它的饱和效应 在飞秒时间内是微不足道的, 因此增益的时间窗口只好依赖快可饱和吸收介质。 然而可饱和吸收介质, 无论是染料还是半导体材料的恢复时间对于飞秒脉冲仍 嫌太长，只有克尔效应具有几乎瞬时的时间响应(<10fs), 并与波长无关。因此对 于长上能级寿命的固体增益介质来说，采用克尔效应做可饱和吸收机制是最有效 的锁模方法。
TR Tc
（3.1.25）
N 是初始腔内振荡的纵模数, 且式中已经假定 p0 P0 ln N 。初始模拍起伏的寿 命 Tc 可以设定为有效的模式相关时间, 它的定义为 3dB 增益带宽的倒数,
Tc
1
1 3dB
那么锁模能够建立起来的条件是什么呢? 假定腔内某个时间的电场强度可 以描述为
54
飞秒激光技术与应用
第三章 固体激光器锁模理论
Ek (t ) ak (t )ei0t 其中 ak (t ) 的演变由以下
（3.1.18）
| ak1 |2 | ak |2 (g q) | ak |2
激光波长为 1.06μm , 我们得出 / = 178.8GW1。这个数值说明在简单的
谐振腔中, 克尔效应需要非常高的整体功率。但若使用复合腔, 即克尔介质部分
腔的光束截面减小, 则总体功率可减小。
3.1.2 脉冲形成阶段的分析[4]
在连续泵浦的激光谐振腔中引入一个适当的非线性元件, 这个非线性可能
定义自幅度调制参数为 ，求出
| a |2 P d P d dy1 P e2 / y1 K
dP
dy1 dP
y1
P
因为 a 2 等于功率 P, 并代入式（3.1.9）中定义的 K 值,
(3.1.15) (3.1.16)
y1
8 2
n2
(3.1.17)
因子 y1 的数量级是 1。假如代入玻璃的数据, n2 3.2 1016cm2/W , 并设
| ak |2 Pk Pk (t) 。 Pk 是缓慢变化的平均光强, Pk (t ) 是最大起伏的光强。假
定中等强度的腔内功率和非线性的瞬时响应关系为
qk (t) |ak (t)|2
（3.1.20）
其中 是非线性系数。对于快饱和吸收器和长增益介质弛豫时间, 模之间的拍频
的峰值功率 pk 的微扰 Pk (t ) 的演变适用于以下方程
飞秒激光技术与应用
第三章 固体激光器锁模理论
第三章 固体激光器锁模理论
最早的飞秒激光脉冲是用碰撞锁模方法在染料激光器中产生的。这种激光器 利用有机染料的快速吸收和增益饱和来产生数十飞秒的激光脉冲。但是染料激光 器结构复杂, 调整困难,染料需要循环,还有毒性。很难普及。人们发现, 近年来出 现的过渡元素掺杂的激光晶体具有非常宽的荧光光谱, 能够支持飞秒脉冲的产 生。为了充分利用这个带宽产生飞秒脉冲, 必须开发新的锁模技术。传统锁模方 法例如有机染料慢饱和吸收器要求谐振腔的往复时间与上能级的寿命相比拟。然 而,固体材料的数微秒长的上能级的寿命不能满足这个条件, 因此不能在固体激 光器中产生 100 飞秒以下的脉冲。研究中一个显著的进展是在腔外增加一个人为 的非线性反馈, 把一个相干的弱脉冲返回到主腔, 以此产生亚皮秒脉冲。这种锁 模方法称为附加脉冲锁模(Additive Pulse Mode Locking: APM)。然而, 真正的突破 还是斯潘塞(Spence)等人[1]的掺钛蓝宝石(Ti:sapphire)锁模激光器的发明。斯潘塞 在做光纤附加脉冲锁模实验时偶然发现，即使没有光纤反馈，锁模仍然可以启动， 即靠轻微的震动就可以使这种激光器从连续振荡模式过渡到锁模模式, 并不需 要所谓附加脉冲锁模。人们称这种锁模方式为自锁模 (Self-mode-locking)。进一 步的研究发现，自锁模是一种与光强有关的脉冲选择机制，这种机制可能与增益 介质的高次非线性效应，即克尔(Kerr)效应有关。于是,自锁模便被称为克尔透镜 锁模(Kerr lens mode-locking: KLM)。除了脉冲选择机制，克尔非线性效应还给予 脉冲很强的自相位调制。这种调制作用来自于强度相关的增益介质的非线性折射 率的变化。如第二章所述,自相位调制与腔内负群延色散结合在一起, 形成很强的 脉冲窄化作用, 即孤子脉冲的形成。然而，分立的自相位调制与腔内负群延色散 会使脉冲难以稳定，于是克尔透镜锁模提供的自振幅(SAM)调制起到稳定脉冲的 作用。这一章着重介绍克尔透镜锁模固体激光器的原理和理论。
但是增益窗口的存在还不足以使最大的起伏脉冲成长起来。要使最大的起伏
脉冲成长起来, 还必须满足 pk1 pk ，从式（3.1.21）可得以下条件
B0 p0
TR Tc
（3.1.24）
55
飞秒激光技术与应用
第三章 固体激光器锁模理论
对于增益饱和比较弱的固体激光器, 这个关系可以简化为
p0
1 ln N
g0 0 2Ps Tg
（3.1.23）
0 k0 是初始起伏的脉宽。因为饱和光强的变化很小, 对于连续泵浦的固体和
染料激光器来说, Ps 的值在 Ps 1W 左右一个数量级之内，(3.1.23)式的右边主要 取决于 0 / Tg 。右边的值约在 10-8W-1 至 10-6W-1 之间。
级寿命, 饱和能量由 Ps Ag /( Tg ) 决定。 Ag 是增益介质内的光束平均截面。
(3.1.21)式的等号右边的最后一项是考虑到起伏的有限寿命 Tc 。在式（3.1.22）中, 利用 ek PkTr , 已经假定 l g0 0 作为初始的过渡锁模过程。在脉冲形成初 期，设 k＝0，当 Bk0 0 时,从式（3.1.21）可知存在一个增益窗口，即
（3.1.19）
ak ak (t) 是腔内某个位置在第 k 次腔内循环时的场强。 t 的变化范围是一次腔 内循环时间 TR 。g 和 分别是小信号增益和损耗, 一般来说也可能依赖于 k 和 t ； q 是描述非线性效应的参数。在光强较小时, q , 可以忽略不计。在一系列
初始起伏中，总有一个最大的起伏。为处理方便, 我们把初始光强分为两部分,
假设腔内光束具有高斯分布截面, 它在距离 z 内产生的相移 为：
2 nz
2 z
(n0
n2I )
其中， I A02 exp[2r 2 / w2 ]，
则非线性相移 就是
(3.1.2)
2 z
n2 I
2
n2 A02
exp[2r 2
(3.1.10)
式中1 q'2 的实部，即相位波阵面曲率的倒数应该等于1 q '1 的实部。在以 R 为曲
率半径的反射镜面上，相位波阵面的曲率不应随强度而变化。相位波阵面的曲率
的变化是被 y1 的变化制约的。即[1/ q'2 ] 0 。对于 K 的一级近似, 有
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q1 iy1
其中
(3.1.7)
y1
w12
重新归一化的 q 参数就是,
(3.1.8)
q'1
iy1 1 2K
iy1(1 K )
式(3.1.6)所给出的 q 参数变换 q' 在 z=L 平面则是,
(3.1.9)
1
1
Lk n iy1(1 K )
q '2 Lk n iy1(1 K ) (Lk n)2 y12 (1 K )2
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飞秒量级，因此，克尔介质相当于一个快饱和吸收体。
3.1.1 克尔透镜效应
克尔效应是非线性效应，使介质的折射率和入射的光强成正比, 非线性折射 率可以表示为：
n n0 n2I
(3.1.1)
n0 是与光强无关的折射率， n2 是非线性折射系数，与三阶非线性极化率 (3) 有
1 Re 1 i Im 1 1 2K
q'
q
q
其中,
2K
8P
(
)2 n2
(3.1.4) (3.1.5)
P 是脉冲功率。在一个长 Lk 、折射率为 n 的克尔介质中, q' 参数转换为,
q'
2
q'
1
Lk n
式 3.1.6
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图 3.1.1 克尔透镜锁模示意图 在图 3.1.1(a)所示的单一谐振腔中, q 参数 z=0 处是个纯虚数,
pk1
pk
Bk pk2
TR Tc
pk
（3.1.21）
其中
Bk
k
g0, k 2Ps
k Tg
（3.1.22）
TR 是腔内往复时间, k ek / ( pk k ) 是一个与脉冲形状有关的因子, 数量级为 1, ek 是能量起伏, g0,k 是脉冲到来前的增益, k 是起伏的时间宽度, Tg 是上能
3.1 克尔透镜锁模原理[2],[3]
如前所述,克尔透镜锁模(KLM)是一种简单方便的产生超短脉冲的方法，它 不需要复杂的调制器。克尔透镜锁模是实验发现的, 其原理是后来才弄清楚的。 克尔透镜只是提供了一个非线性自强度调制机制。克尔透镜锁模(KLM)激光器属 于含有快饱和吸收元件的锁模激光器。图 3.1.1 为克尔透镜锁模示意图。KLM 的 机理是由于激光增益介质的非线性克尔效应使得激光腔中的光束产生自聚焦，使 脉冲中高功率密度部分被聚焦成光斑较小的光束，而低功率密度部分聚焦成的光 斑半径较大，当在腔中放置一个光阑时，高功率密度部分由于光斑较小，通过了 小孔光阑；而低功率密度部分由于光斑较大，部分光被小孔挡住而损失掉。当脉 冲在腔内来回往返多次时，低功率密度部分不断被损失，而高功率密度部分由于 穿过增益介质不断被放大，因而使时域中脉冲不断被窄化，由此产生脉宽很窄的 锁模脉冲。由于克尔效应是由激光介质中产生的电极化引起的，它的响应时间在
/
w2 ]
z
2
n2 A02 (1
2r 2 w2
)z
(3.1.3)
式中已对高斯函数展开至一阶级数。这个抛物线型的相位因子与腔内高斯光束保 持一致。因为相位因子修正光的传播，在抛物线型的相位因子假定下, 可以导出
q 参数的解析解。归一化的 q 参数经过在自由空间传播后变为 q' (参见附录 A)
半径为 R0 , 高斯光束通过这个光阑时遭到了 2 倍的损耗, 可以估算出,
2 P
4
R0
rA e dr e P 2 2r2 / wa2 0
2R02 / wa2
(3.1.13)
也就是说
2 = e e 2R02 / wa2
2/y1
其中
(3.1.14)
R02
( Lk
Lk n n)2
y12
Fra Baidu bibliotek2K (Lk [(Lk n)2
n) y12 y12 ]2
0
(3.1.11)
第一项随 y1 的变化而改变, 可以估算出,
y1 K y1
(3.1.12)
由此得出高斯光束半径随 K 的增加而减小，K 与功率成正比，这正是我们想得到
的结果。如果在腔内加一个光阑，光束半径减小直接导致损耗的减少。假设光阑
图 3.1.2 (a) 连续振荡的谐振腔中的类似短脉冲的起伏; (b)快饱和增 益介质和慢饱和吸收器的时间响应; (c)长弛豫时间的增益介质与瞬时 响应的可饱和吸收器，其中虚线表示具有有限的响应时间的可饱和吸 收器。
但是仅有克尔效应并不能保证激光器从连续振荡过渡到锁模状态，这是因为 由于噪声起伏造成的各个纵模之间的相干拍频(mode-beating)时间太短, 以致在 这样短的时间内, 锁模无法建立起来。
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第三章 固体激光器锁模理论
把随机发生的强度和相位的变化转变为稳定的脉冲序列，这个方法就是锁模。通 常有两种锁模方法, 即主动锁模和被动锁模。被动锁模所需要的相位或幅度调制 是靠腔内非线性元件引发的。对非线性元件的要求是, 它必须在开始产生一个强 度的起伏, 以致于强度高的起伏获得较高的增益，同时要求在时间上这个增益窗 口越短越好。如图 3.2.1 所示, 对于染料激光器来说, 因为它的上能级寿命很短, 即使用慢饱和吸收器也能满足这个要求。增益和可饱和吸收的综合作用形成一个 很短的时间窗口, 可有效地压缩脉冲宽度，如图中（b）所示。对于固体激光器 来说, 情况就不同了。固体激光介质通常具有很长的上能级寿命, 它的饱和效应 在飞秒时间内是微不足道的, 因此增益的时间窗口只好依赖快可饱和吸收介质。 然而可饱和吸收介质, 无论是染料还是半导体材料的恢复时间对于飞秒脉冲仍 嫌太长，只有克尔效应具有几乎瞬时的时间响应(<10fs), 并与波长无关。因此对 于长上能级寿命的固体增益介质来说，采用克尔效应做可饱和吸收机制是最有效 的锁模方法。
TR Tc
（3.1.25）
N 是初始腔内振荡的纵模数, 且式中已经假定 p0 P0 ln N 。初始模拍起伏的寿 命 Tc 可以设定为有效的模式相关时间, 它的定义为 3dB 增益带宽的倒数,
Tc
1
1 3dB
那么锁模能够建立起来的条件是什么呢? 假定腔内某个时间的电场强度可 以描述为
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第三章 固体激光器锁模理论
Ek (t ) ak (t )ei0t 其中 ak (t ) 的演变由以下
（3.1.18）
| ak1 |2 | ak |2 (g q) | ak |2
激光波长为 1.06μm , 我们得出 / = 178.8GW1。这个数值说明在简单的
谐振腔中, 克尔效应需要非常高的整体功率。但若使用复合腔, 即克尔介质部分
腔的光束截面减小, 则总体功率可减小。
3.1.2 脉冲形成阶段的分析[4]
在连续泵浦的激光谐振腔中引入一个适当的非线性元件, 这个非线性可能
定义自幅度调制参数为 ，求出
| a |2 P d P d dy1 P e2 / y1 K
dP
dy1 dP
y1
P
因为 a 2 等于功率 P, 并代入式（3.1.9）中定义的 K 值,
(3.1.15) (3.1.16)
y1
8 2
n2
(3.1.17)
因子 y1 的数量级是 1。假如代入玻璃的数据, n2 3.2 1016cm2/W , 并设
| ak |2 Pk Pk (t) 。 Pk 是缓慢变化的平均光强, Pk (t ) 是最大起伏的光强。假
定中等强度的腔内功率和非线性的瞬时响应关系为
qk (t) |ak (t)|2
（3.1.20）
其中 是非线性系数。对于快饱和吸收器和长增益介质弛豫时间, 模之间的拍频
的峰值功率 pk 的微扰 Pk (t ) 的演变适用于以下方程
飞秒激光技术与应用
第三章 固体激光器锁模理论
第三章 固体激光器锁模理论
最早的飞秒激光脉冲是用碰撞锁模方法在染料激光器中产生的。这种激光器 利用有机染料的快速吸收和增益饱和来产生数十飞秒的激光脉冲。但是染料激光 器结构复杂, 调整困难,染料需要循环,还有毒性。很难普及。人们发现, 近年来出 现的过渡元素掺杂的激光晶体具有非常宽的荧光光谱, 能够支持飞秒脉冲的产 生。为了充分利用这个带宽产生飞秒脉冲, 必须开发新的锁模技术。传统锁模方 法例如有机染料慢饱和吸收器要求谐振腔的往复时间与上能级的寿命相比拟。然 而,固体材料的数微秒长的上能级的寿命不能满足这个条件, 因此不能在固体激 光器中产生 100 飞秒以下的脉冲。研究中一个显著的进展是在腔外增加一个人为 的非线性反馈, 把一个相干的弱脉冲返回到主腔, 以此产生亚皮秒脉冲。这种锁 模方法称为附加脉冲锁模(Additive Pulse Mode Locking: APM)。然而, 真正的突破 还是斯潘塞(Spence)等人[1]的掺钛蓝宝石(Ti:sapphire)锁模激光器的发明。斯潘塞 在做光纤附加脉冲锁模实验时偶然发现，即使没有光纤反馈，锁模仍然可以启动， 即靠轻微的震动就可以使这种激光器从连续振荡模式过渡到锁模模式, 并不需 要所谓附加脉冲锁模。人们称这种锁模方式为自锁模 (Self-mode-locking)。进一 步的研究发现，自锁模是一种与光强有关的脉冲选择机制，这种机制可能与增益 介质的高次非线性效应，即克尔(Kerr)效应有关。于是,自锁模便被称为克尔透镜 锁模(Kerr lens mode-locking: KLM)。除了脉冲选择机制，克尔非线性效应还给予 脉冲很强的自相位调制。这种调制作用来自于强度相关的增益介质的非线性折射 率的变化。如第二章所述,自相位调制与腔内负群延色散结合在一起, 形成很强的 脉冲窄化作用, 即孤子脉冲的形成。然而，分立的自相位调制与腔内负群延色散 会使脉冲难以稳定，于是克尔透镜锁模提供的自振幅(SAM)调制起到稳定脉冲的 作用。这一章着重介绍克尔透镜锁模固体激光器的原理和理论。
但是增益窗口的存在还不足以使最大的起伏脉冲成长起来。要使最大的起伏
脉冲成长起来, 还必须满足 pk1 pk ，从式（3.1.21）可得以下条件
B0 p0
TR Tc
（3.1.24）
55
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第三章 固体激光器锁模理论
对于增益饱和比较弱的固体激光器, 这个关系可以简化为
p0
1 ln N
g0 0 2Ps Tg
（3.1.23）
0 k0 是初始起伏的脉宽。因为饱和光强的变化很小, 对于连续泵浦的固体和
染料激光器来说, Ps 的值在 Ps 1W 左右一个数量级之内，(3.1.23)式的右边主要 取决于 0 / Tg 。右边的值约在 10-8W-1 至 10-6W-1 之间。
级寿命, 饱和能量由 Ps Ag /( Tg ) 决定。 Ag 是增益介质内的光束平均截面。
(3.1.21)式的等号右边的最后一项是考虑到起伏的有限寿命 Tc 。在式（3.1.22）中, 利用 ek PkTr , 已经假定 l g0 0 作为初始的过渡锁模过程。在脉冲形成初 期，设 k＝0，当 Bk0 0 时,从式（3.1.21）可知存在一个增益窗口，即
（3.1.19）
ak ak (t) 是腔内某个位置在第 k 次腔内循环时的场强。 t 的变化范围是一次腔 内循环时间 TR 。g 和 分别是小信号增益和损耗, 一般来说也可能依赖于 k 和 t ； q 是描述非线性效应的参数。在光强较小时, q , 可以忽略不计。在一系列
初始起伏中，总有一个最大的起伏。为处理方便, 我们把初始光强分为两部分,