从函数角度研究数列

从函数角度研究数列

从函数的观点看，数列是一个定义在正整数集（或其子集）上的特殊函数。因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数的有关知识，以函数的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地解决数列问题。

一、数列通项公式、求和公式与函数关系

通过对数列中的通项公式以及前n项和公式等这些特殊的函数关系的概念理解与分析，引导学生充分认识归纳出数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。

例1：等差数列中，，则

分析：因为是等差数列，所以是关于n的一次函数，一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n, )三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0，这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。

例2:等差数列中，，前n项和为，若，n为何值时最大？

分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数= ，是抛物线= 上的离散点，根据题意，，则因为欲求最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，最大。

二、构建函数，揭示数列本质

新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方法。而学会构建函数，一方面体现了学生在学习过程中的体验、思考与参与，另一方面也培养了学生的思维品质和创新意识。

例3．递增数列，对任意正整数n，恒成立，求

分析：构造一次函数，由数列递增得到：对于一切恒成立，即恒成立，所以对一切恒成立，设，则只需求出的最大值即可，显然有最大值，所以的取值范围是：。

构造二次函数，看成函数，它的定义域是，因为是递增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数，要函数单

调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴在的左侧。于是，，得

通过对以上问题的研究和分析，我们发现，数列作为离散函数的典型代表之一，在高中数学中具有重要位置。因此，在教学实践过程中，教师应创设恰当的情境，让学生在这个情境中自觉领会和发现知识的形成过程，在感悟的过程中深刻体会其蕴含的数学思想和方法，理解用函数思想解决数列问题的本质。