10离散选择模型

16
1 0.8 0.6
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0.4 0.2 0 -4 -2 0 2
4 0
5
10
15
20
25
3
累积正态概率分布曲线
logistic曲线
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1 0.8 0.6
logit曲线
0.4 0.2 0 -6 -4 -2 0 2 4 6
Probit曲线
Probit曲线、logit曲线比较示意图
• pi = F(yi) =
1
1 e (243.7362 0.6794 xi )
32
1. 2
YFLOGI
1. 0 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 100 SC OR E 200 300 400
Logit模型预测值
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• 在估计Probit模型过程中，D1的系数也没有显著性。剔除 D1，Probit模型最终估计结果是
• 上两式说明，误差项的期望为零，方差具有异方差。当pi 接近0或1时，ui具有较小的方差，当pi接近1/2时，ui具有 较大的方差。
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• 线性概率模型回归系数的OLS估计量具有无 偏性和一致性，但不具有有效性。
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• 假设用模型pi = + xi进行预测，当预测值落在 [0，1] 区 间之内时，则没有什么问题；但当预测值落在[0，1] 区间 之外时，则会暴露出该模型的严重缺点。因为概率的取值 范围是 [0，1]，所以此时必须强令预测值（概率值）相应 等于0或1（见图）。
力非农就业的可能性。劳动力教育程度越高，非农就业的机会越多， 非农就业的倾向也就越高。此外，还有其他许多因素影响农村劳动力 的非农就业。如 • （1）农村居民家庭所在地区的区位条件。在其他条件保持不变的条 件下，离中心城市越近，非农产业越发达，提供的非农就业机会就越 多。同时农户进入非农产业就业的成本越低。这种家庭中的劳动力进 入非农业就业的可能性也越大。
20
21
• logit曲线计算上也比较方便，所以Logit模型 比Probit模型更常用。
22
23
• 使用普通最小二乘法估计参数的基本要求
是对于X的每一个取值，ni至少要等于5，对
于某一选择的频率接近于0或1的X的取值，
最小二乘法近似效果最差。
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• 对于Logit模型使用极大似然法估计参数是一个很好的选择。 首先分析含有两个参数（ 和）的随机试验。假设被估 计的模型如下： 1 1 • pi = ( xi ) = 1 e 1 e yi
• 由决策者的属性和备选方案的属性共同决定决 定。
7
•
当被解释变量为定性变量时怎样建立
模型呢？这就是要介绍的二元选择模型或
多元选择模型，统称离散选择模型。这里
主要介绍线性概率模型，Probit（概率单位）
模型和Logit模型。
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二元离散选择模型
9
• 1．线性概率模型
• 模型的形式如下， • yi = + xi + ui • 其中ui为随机误差项，xi为定量解释变量。yi为二元选择变量。 如利息税、机动车的费改税问题等。
• 在样本中pi是观测不到的。相对于xi的值，只能得到因变量
yi取值为0或1的信息。
25
• 极大似然估计的出发点就是寻找样本观测值最有可能发生条件 下的 和 的估计值。从样本看，如果第一种选择发生了n次， 第二种选择发生了N-n次。设采取第一种选择的概率是pi。采取
Fra Baidu bibliotek
第二种选择的概率是（1- pi）。重新将样本数据排列，使前n个
• 设 • • yi = •
1 （若是第一种选择） 0 （若是第二种选择）
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1. 2 Y 1. 0 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 X -0. 2 330 340 350 360 370 380
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• 对yi取期望， • E(yi) = + xi (2) • 因为yi只能取两个值，0和1，所以yi 服从两点分布。把yi的 分布记为， • P ( yi = 1) = pi • P ( yi = 0) = 1 - pi • 则 • E(yi) = 1 (pi) + 0 (1 - pi) = pi (3)
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• 3．logit模型
• 该模型是McFadden于1973年首次提出。其采用的是logistic 概率分布函数。其形式是 • pi = F(yi) = F( + xi) =
1 1 e yi
1 1 e
( xi )
=
(7)
• 对于给定的xi，pi表示相应个体做出某种选择的概率。 • Probit曲线和logit曲线很相似。两条曲线都是在pi = 0.5处有 拐点，但logit曲线在两个尾部要比Probit曲线厚。
D1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1
obs 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58
Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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• 2．Probit（概率单位）模型，仍假定
• yi = + xi , • 而 p i = F ( yi) =
1 2

t2 yi e 2
dt
(6)
• 累积概率分布函数曲线在pi = 0.5附近的斜率最大。 对应yi在实轴上的值，相应概率值永远大于0、小 于1。显然Probit模型比线性概率模型更合理。 • Probit模型需要假定yi 服从正态分布。
i 1 i n 1
26
n
N
• 便可求到 和 的极大似然估计值。 和 的极大 似然估计量具有一致性和渐近有效性，且都是渐 近正态的。
27
• 拟合程度：
28
例:
• 某经济研究所2009级研究生考试分数及录取情况见数据表 （N = 95）。定义变量SCORE ：考生考试分数；Y ：考生录 取为1，未录取为0；虚拟变量D1：应届生为1，非应届生 为0。
SCORE 332 332 332 331 330 328 328 328 321 321 318 318 316 308 308 304 303 303 299 297 294 293 293 292 291
D1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1
Y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
SCORE 401 401 392 387 384 379 378 378 376 371 362 362 361 359 358 356 356 355 354 354 353 350 349 349 348
离散选择模型
1
•
如果回归模型的解释变量中含有定性变
量，则可以用虚拟变量处理之。
•
在实际经济问题中，被解释变量也可能
是定性变量。如通过一系列解释变量的观 测值观察人们对某项动议的态度，某件事 情的成功和失败等。
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•
如果回归模型的解释变量中含有定性变
量，则可以用虚拟变量处理之。
•
在实际经济问题中，被解释变量也可能
• 选择结果与影响因素之间的关系：
• 影响因素包括两部分：决策者的属性和备 选方案的属性。 • 对于两个方案的选择。例如，两种出行方 式的选择，两种商品的选择。由决策者的 属性和备选方案的属性共同决定
6
• • • • •
对于单个方案的取舍。例如： 购买者对某种商品的购买决策问题; 求职者对某种职业的选择问题; 投票人对某候选人的投票决策; 银行对某客户的贷款决策。
1.2 Y 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 100 SC OR E 200 300 400
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• 得Logit模型估计结果如下 • （EViews命令：Quick, estimate equation分 别选Probit或Logit）：
30
31
• 因为D1的系数没有显著性。说明“应届生”和“非应届生” 不是决定是否录取的重要因素。剔除D1。得Logit模型估计 结果如下：
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• 由于线性概率模型的上述缺点，希望能找到一种变换方法， （1）使解释变量xi所对应的所有预测值（概率值）都落在 （0，1）之间。
• （2）同时对于所有的xi，当xi增加时，希望yi也单调增加或
单调减少。显然累积概率分布函数F(zi) 能满足这样的要求。 采用累积正态概率分布函数的模型称作Probit模型。用正 态分布的累积概率作为Probit模型的预测概率。另外 logistic函数也能满足这样的要求。采用logistic函数的模型 称作logit模型。
355
359 360 365 370
-1.43
0.00 0.59 2.60 4.62
0.0764
0.5000 0.7224 0.9953 0.9999
-2.55
0.00 0.85 4.24 7.64
0.0738
0.5000 0.7032 0.9858 0.9995
36
obs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
是定性变量。如通过一系列解释变量的观 测值观察人们对某项动议的态度，某件事 情的成功和失败等。
4
•
在大多数调查中,行为回答都是分类型的:
如人们在选举时投支持支持或否决票,乘地
铁、公共汽车、或轿车，在业或失业等。
•
二元离散选择模型假设每一个个体都 面临二者挑一的选择，并且其选择依赖于
可分辨的特征。
5
D1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 37 1
• 例：农户劳动力的非农业就业模型。
• 主要任务是要考察影响农村居民家庭劳动力非农业就业的主要因素， 尤其重点考察教育程度对非农业就业的影响。
• 一般而言，在劳动力市场发育相对成熟的条件下，教育可以提高劳动
•
pi = F(yi) = F (-144.456 + 0.4029 xi)
1. 2 Y F PR OB 1. 0 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 100 SC OR E 200 300 400
Probit模型预测值
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35
• 两种估计模型的若干预测结果如下表：
score 350 Probit模型 Y pi -3.44 0.0003 Logit模型 Y -5.95 pi 0.0026
• 由（2）和（3）式有 • p i = + xi （4） • （yi的样本值是0或1，而预测值是概率） • 以pi = - 0.2 + 0.05 xi 为例，说明xi 每增加一个单位，则采 用第一种选择的概率增加0.05。 • 现在分析模型误差的分布。
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• 由模型（1）有，
1 xi , • ui = yi - - xi = x i ,
yi 1 yi 0
• E(ui) = (1- - xi) pi + (- - xi) (1 - pi) = pi - - xi=0
• 因为yi只能取0, 1两个值，所以， • E(ui2) = (1- - xi)2 pi + (- - xi)2 (1 - pi) • = (1- - xi)2 ( + xi) + ( + xi)2 (1 - - xi), • = (1- - xi) ( + xi) = pi (1 - pi) , • = E(yi) [1- E(yi) ]
观测值为第一种选择，后N-n个观测值为第二种选择（观测值是 0，1的，但相应估计的概率却各不相同），则似然函数是
• L(, ) = P (y1, y2, …, yN) = P (y1) P (y2) … P (yN) = p1 … pn (1 - pn + 1)
…(1 – pN )
pi (1 pi )
obs 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91
Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
SCORE 275 273 273 272 267 266 263 261 260 256 252 252 245 243 242 241 239 235 232 228 219 219 214 210 204