人教版初中数学锐角三角函数的技巧及练习题含答案

各性质并求出 BC 是解题的关键．
2．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，如果 AC=2，cosA= 2 ，那么 AB 的长是（ ） 3
A．3
B． 4
C． 5
D． 13
3
【答案】A
【解析】
根据锐角三角函数的性质，可知 cosA= AC = 2 ，然后根据 AC=2，解方程可求得 AB=3. AB 3
∴AB＝2AC＝2m，BC＝ 3 AC＝ 3 m，
∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+ 3 m，
∴tan∠ADC＝ AC ＝
m
＝2﹣ 3 ．
CD 2m 3m
故选：D．
【点睛】
本题考查解直角三角形，直角三角形 30 度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识，属于中考常考题型．
6．如图，在矩形 ABCD中 E 是 CD 的中点， EA 平分 BED, PE AE 交 BC 于点 P ，
【答案】D
【解析】
【分析】
连接 OA ．证明 OAB 是等边三角形即可解决问题．
【详解】
如图，连接 OA ．
D． 3 3
∵ AE EB ， ∴ CD AB ，
∴ AD BD ， ∴ BOD AOD 2ACD 30 ， ∴ AOB 60 ， ∵ OA OB ，
∴ AOB 是等边三角形，
A．1
B．2
C．4
D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
首先连接 CO 并延长交⊙O 于点 D，连接 AD，由 CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，又由
⊙O 的半径是 5，sinB= 2 ，即可求得答案． 5
【详解】
解：连接 CO 并延长交⊙O 于点 D，连接 AD，
由 CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°， ∵∠B 和∠D 所对的弧都为弧 AC，
∵ AE 3， ∴ OE AE tan 60 3 3 ，
故选 D． 【点睛】 本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌 握基本知识，属于中考常考题型．
10．如图，△ABC 的外接圆是⊙O，半径 AO=5，sinB= 2 ，则线段 AC 的长为（ ） 5
连接 PA ，以下四个结论：① EB 平分 AEC ；② PA BE ；③ AD 3 AB ； 2
④ PB 2PC ．其中结论正确的个数是（ ）
A．4 个 【答案】A 【解析】
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【分析】 根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE≌△BCE（SAS），进而求出△ABE 是等边三角形，再求出△AEP≌△ABP（SSS），进而得出∠EAP＝∠PAB＝30°，再分别得出 AD 与 AB，PB 与 PC 的数量关系即可． 【详解】 解：∵在矩形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点， ∴DE＝CE， 又∵AD＝BC，∠D＝∠C， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴AE＝BE，∠DEA＝∠CEB， ∵EA 平分∠BED， ∴∠AED＝∠AEB， ∴∠AED＝∠AEB＝∠CEB＝60°，故：①EB 平分∠AEC，正确； ∴△ABE 是等边三角形， ∴∠DAE＝∠EBC＝30°，AE＝AB， ∵PE⊥AE， ∴∠DEA＋∠CEP＝90°， 则∠CEP＝30°， 故∠PEB＝∠EBP＝30°， 则 EP＝BP， 又∵AE＝AB，AP＝AP， ∴△AEP≌△ABP（SSS）， ∴∠EAP＝∠PAB＝30°， ∴AP⊥BE，故②正确； ∵∠DAE＝30°，
A．15－5 3
B．20－10 3
C．10－5 3
D．5 3 －5
【答案】A
【解析】
【分析】
过点 B 作 BM⊥EA 的延长线于点 M，过点 B 作 BN⊥CE 于点 N，通过解直角三角形可求出
BM，AM，CN，DE 的长，再结合 CD＝CN＋EN−DE 即可求出结论．
【详解】
解：过点 B 作 BM⊥EA 的延长线于点 M，过点 B 作 BN⊥CE 于点 N，如图所示．
7．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需 求，游客可以乘坐垂直升降电梯 AB 自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道 BC 的坡度（或 坡比）为 i＝1：2，BC＝12 米，CD＝8 米，∠D＝36°，（其中点 A、B、C、D 均在同一 平面内）则垂直升降电梯 AB 的高度约为（ ）米．（精确到 0.1 米，参考数据： tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）
∴∠B=∠D，即 sinB=sinD= 2 ， 5
∵半径 AO=5， ∴CD=10，
∴ sin D AC AC 2 ， CD 10 5
∴AC=4， 故选：C. 【点睛】 本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直 角是解题的关键.
11．如图，已知⊙O 上三点 A，B，C，半径 OC=1，∠ABC=30°，切线 PA 交 OC 延长线于点 P，则 PA 的长为（ ）
A．5.6
B．6.9
C．11.4
D．13.9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理，可得 CE，BE 的长，根据正切函数，可得 AE 的长，再根据线段的和差，可
得答案．
【详解】
解:如图,延长 DC、AB 交于点 E，
，
由斜坡轨道 BC 的坡度（或坡比）为 i＝1：2，得 BE：CE＝1：2． 设 BE＝xm，CE＝2xm． 在 Rt△BCE 中，由勾股定理，得 BE2+CE2＝BC2， 即 x2+（2x）2＝（12 ）2， 解得 x＝12， BE＝12m，CE＝24m， DE＝DC+CE＝8+24＝32m， 由 tan36°≈0.73，得
在 Rt△ABE 中，AB＝10 米，∠BAM＝30°，
∴AM＝AB•cos30°＝5 3 （米），BM＝AB•sin30°＝5（米）．
在 Rt△ACD 中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，
∴DE＝AE•tan60°＝10 3 （米）．
在 Rt△BCN 中，BN＝AE＋AM＝10＋5 3 （米），∠CBN＝45°， ∴CN＝BN•tan45°＝10＋5 3 （米）， ∴CD＝CN＋EN−DE＝10＋5 3 ＋5−10 3 ＝15−5 3 （米）．
故选 B.
【点睛】 本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠ AOC=60°是解答本题的关键.
12．如图，在 Rt ABC 中， ACB 90 ， tan B 3 ， CD 为 AB 边上的中线， CE 平 4
分 ACB ，则 AE 的值（ ） AD
A． 3 5
【答案】D 【解析】
B． 3 4
C． 4 5
D． 6 7
【分析】
根据角平分线定理可得 AE：BE＝AC：BC＝3:4，进而求得 AE＝ 3 AB，再由点 D 为 AB 中点 7
得 AD＝ 1 AB，进而可求得 AE 的值．
2
AD
【详解】
解：∵ CE 平分 ACB ，
∴点 E 到 ACB 的两边距离相等， 设点 E 到 ACB 的两边距离位 h，
∴CF＝1，BF＝ 3 ，
易证△AEB≌△CFD（AAS） ∴AE＝CF＝1， ∵∠BAE＝∠DBC＝30°，
∴BE＝ 3 AE＝ 3 ，
3
3
∴EF＝BF﹣BE＝ 3 ﹣ 3 ＝ 2 3 ， 33
在 Rt△CFE 中，
1 tan∠DEC＝ CF 2 3 3 ，
EF 3 2 故选 C．
【点睛】 此题考查了含 30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等
A．2
B． 3
C． 2
D． 1 2
【答案】B
【解析】
【分析】
连接 OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC 的正切即可求出 PA 的值.
【详解】
连接 OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵PA 是圆的切线，
∴∠PAO=90°，
∵tan∠AOC = PA , OA
∴PA= tan60°×1= 3 .
∴tan∠DAE＝ DE ＝tan30°＝ 3 ，
AD
3
∴AD＝ 3 DE，即 AD 3 CD ， 2
∵AB＝CD，
∴③ AD 3 AB 正确； 2
∵∠CEP＝30°，
∴CP＝ 1 EP， 2
∵EP＝BP，
∴CP＝ 1 BP， 2
∴④PB＝2PC 正确．
综上所述：正确的共有 4 个． 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含 30 度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE 是等边三角形是解题关键．
A．1
B． 1
C． 3
D． 3
2
2
3
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据题意过点 C 作 CF⊥BD 与点 F 可求得△AEB≌△CFD（AAS），得到 AE＝CF＝1，EF＝
3- 3 = 2 3 ，即可求出答案 33
【详解】 过点 C 作 CF⊥BD 与点 F． ∵∠BAE＝30°， ∴∠DBC＝30°， ∵BC＝2，
＝0.73，
解得 AB＝0.73×32＝23.36m． 由线段的和差，得 AB＝AE﹣BE＝23.36﹣12＝11.36≈11.4m， 故选：C． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出 CE，BE 的长是解题关键，又利用了正 切函数，线段的和差．
8．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌 CD，小明在斜坡上 B 处测得标识牌顶部 C 的仰角 为 45°， 沿斜坡走下来在地面 A 处测得标识牌底部 D 的仰角为 60°，已知斜坡 AB 的坡角为 30°，AB＝AE＝10 米．则标识牌 CD 的高度是( )米．
故选：A． 【点睛】 本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角 形求出 BM，AM，CN，DE 的长是解题的关键．
9．如图， AB 是 O 的弦，直径 CD 交 AB 于点 E ，若 AE EB 3 ， C 15 ，则 OE 的长为( )
A． 3
B．4
C．6
人教版初中数学锐角三角函数的技巧及练习题含答案
一、选择题
1．如图，在矩形 ABCD中， AB 4, DE AC ，垂足为 E ，设 ADE ，且 cos 3 ，则 AC 的长为（ ）
5
A．3
B． 16
C． 20
D． 16
3
3
5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠
【分析】
由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 3 的正三角形．可计算边长
为 2，据此即可得出表面积． 【详解】
解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 3 的正三角形．
∴正三角形的边长 3 2 ． sin 60
∴圆锥的底面圆半径是 1，母线长是 2，
∴底面周长为 2 ∴侧面积为 1 2 2 2 ，∵底面积为 r2 ，
2 ∴全面积是 3 ．
故选：C． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题 的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
4．如图，在矩形 ABCD 中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为 E，∠BAE＝30°，则 tan∠DEC 的值是 （）
ACD，然后求出 AC．
【详解】
解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE=α，
∵矩形 ABCD 的对边 AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵cosα= 3 ， AB 3 ， 5 AC 5
∴AC= 5 4 20 ．
3
3
故选：C．
【来自百度文库睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记
5．如图，在△ABC 中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 AB＝BD，则
tanD 的值为（ ）
A． 2 3
B． 3 3
C． 2 3
D． 2 3
【答案】D 【解析】
【分析】 设 AC＝m，解直角三角形求出 AB，BC，BD 即可解决问题． 【详解】 设 AC＝m， 在 Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
故选 A.
点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值
cosA=
A的邻边 斜边
，然后带入数值即可求解.
3．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆， 根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
A．
B． 2
C． 3
D． ( 3 1)
【答案】C 【解析】