现代高等工程数学

22
即卡方分布是一种伽玛分布，因此具有伽玛 分布的性质
（１）E( 2 ) n D( 2 ) 2n
（２） 如果 X ~ 2 (n1),Y ~ 2 (n2，) 并且X和Y 相互独立，有
X Y ~ 2 (n1 n2 )
卡方分布也具有可加性
• t 分布 构造性的方式定义
定义1.6 设 X ~ N(0,1)， Y ~ 2 (n) ，且X 与Y相互独立，记
也是一个随机变量，它所服从的分布称为自由度
为n的 2分布，记为 2 ~ 2 (n)
• 它的密度函数为
f
(x)
2
n 2
1 (
n)
2
x
n
x
1
2 e2
,
0,
x0 x0
其密度函数与参数n有关，它的图形也有一定差 异．
• 卡方分布的性质
若 2 ~ 2 (n) ，则
2 ~ (n , 1)
• 由于 E( X ) 0与参数无关,E( X 2 ) 2 2
故令
A2 2 2
得到估计量
ˆ A2
2
通常我们是采用下面的方法
• 另解
我们可认为(| X1 |,| X 2 |, 而
E(| X |)
,| X n |)为| X |的一个样本
由矩法，我们令
得到
1 n
n
|
i 1
Xi
| E(|
未知参数 （可以是向量），( X1, X 2, , X n )
称为一个样L本(x，1,(xx21,,
x2 ,
,
xn
, xn
; )
)
为一次观察值，
P{X1 x1, X 2 x2, , X n xn}
为似然函数．
•称
l(x1, x2, , xn; ) ln L(x1, x2, , xn;}
• 利用这种近似相等关系的思想，得到矩法估计 的定义．
定义：用样本原点矩去代替总体相应的原点矩得 到的参数的估计量的方法称为矩法，称这种估 计为矩法估计量．
• 例1总体Ｘ的分布密度为
f (x; ) 1 exp( | x |)
2
其中 为未知参数，现从中抽取一个样本，试 求 的矩法估计量．
解：
X
|
)
ˆ
1 n
n
| Xi
i 1
|
• 极大似然估计
极大似然估计是利用小概率原理作出估计的．
小概率原理：一个概率非常小的一个事件在一次 试验中几乎是不可能发生的；也就是说，如果 一个事件在一次试验中居然发生了，那么这个 事件发生的概率不可能很小，而应认为其概率 会尽可能地大．
• 例 设总体 X ~ P() ，现从中抽取一个样本
不存在数学期望和方差．参数为2的t分布也不 存在数学期望和方差．
（２） n 2 时，
(T ) 0, D(T ) n n2
• （３）可以证明
lim f (x)
n
1
x2
e2
2
这是标准正态分布的分布密度，即当n充分大 时，T近似服从标准正态分布
• Ｆ分布 构造性的方式定义
定义1.７ 设 X ~ 2 (m) ，Y ~ 2 (n)
• (2)
如果 X ~ (1, ),Y ~ (2, ，) 并且X和Y相互
独立，容易求得
X Y ~ (1 2 , )
这个性质称为可加性,即伽玛分布具有可加性.
• 卡方分布 用构造性的方式定义是
定且义均1服.5从设X1, XN2 ,，(0,则1,)X它为n们相的互平独方立和的随机变量， 2 X12 X 22 Xn2
• 矩法估计 假设样本为简单随机样本，则
X1k , X 2k , , X nk独立同分布,且与总体X k的分布相同
由大数定律，有
lim
n
1 n
n i 1
X
k i
E(X k )
• 其中
1
n
n i 1
X ik为样本k阶原点矩
E( X k )为总体k阶原点矩
当n比较大时
1
n
n i 1
X
k i
E(X k )
作出估计，通常可以用频率分布表来估计离散型总体
的分布率；用直方图估计连续性总体的分布密度；用
经验分布函数估计总体的分布函数。当我们对总体的
分布类型有了一定的了解，但分布中含有未知参数时，
可以利用参数估计方法对参数的取值作出估计，其中
包括点估计和区间估计。当我们对总体已经有了比较
全面的了解，但实际中可能出现一些大的改变，这些
一、估计理论
经验分布函数
估计理论
非参数估计
分布估计
直方图
矩法估计
参数估计
点估计
极大似然估计
区间估计
1.参数点估计
参数点估计是对参数取哪一个值作出估计．
定义：设总体的分布已知，但其中含有未知参数
（可以是一个向量），点估计就是依据某种原
理，根据样本来构造统计量 T （可以是一个向
• 容易得到
若 F ~ F(m, n)，则
1 ~ F(n, m) F
• 分位数：
定义1.6 设X为连续型随机变量，其分布函数
为 f (x) ，对 0 1，如果存在数 x 满足
P(X x ) x f (x)dx
则称 x 为此分布的 分位数
分位数的几何意义 可用图形表示，它的值可查 表得到，不同的分布有不同的分位数，有不同 的表可查．
观察值（500,300,600,400,700),试估计 的
值．
解：
• 这里，n是5，设 ( X1, X 2, , X5)为样本，在一次 试验中事件
{X1 500, X 2 300, , X5 700}
发生了，而
P{X1 500, X 2 300, , X5 700}
e 500 e 300
Y ~ N (2 , 22 )，从两个总体Ｘ与Ｙ中分别独立 抽取容量为m，n的简单随机样本( X1, X 2 , X m )
(Y1,Y2 ,Yn ) 记 X , S X 2 为样本( X1, X 2 , X m )
的样本均值与方差， Y , SY 2 为样本(Y1,Y2 ,Yn )
的样本均值与方差，则
• 例1.8 设总体 X ~ N(20,3) ，分别从X中抽取
容量为10与15的两个独立样本，求它们的均值 之差的绝对值大于0.3的概率
• 例1.９ 设总体 X ~ N(0,1) ，( X1, X 2 ,, X 5 )
是从总体中抽取的简单随机样本，选取常数c,d使 得
c( X1 X 2 X 3 )2 d ( X 4 X 5 )2 ~ 2 (n) 并求出n.
• 常见的分位数有
Z , 2 (n), t (n), F (m, n)
它们的值可以通过附表1、附表2、附表3、附表4 查得
• 分位数具有性质 (1) Z Z1 , t (n) t1 (n)
(2)
F1
(m, n)
F
1 (n, m)
(3)当n 足够大时（一般n > 45）有近似公式
t (n) Z , 2 n 2nZ
注:1.统计量是完全由样本确定的一个量，即样 本有一个观测值时,统计量就有一个唯一确定的 值;
2.统计量是一个随机变量，它将高维随机变 量问题转化为一维随机变量来处理 ,但不会损 失所讨论问题的信息量.
• 常见的统计量 1.样本均值 2.样本方差 3.k 阶原点矩 4.k 阶中心矩
最小顺序统计量:X(1)
500! 300!
e 700
700!
e 500 700 5
500! 700!
是参数 的函数，由小概率原理，这个概率不
会太小，应尽可能大，即求这个概率的最大
值．利用求导可得到当 500 时，这个
概率达到最大．因此，我们有理由认为参数
为500.这就是极大似然估计．
• 一般地，当总体为离散型总体，其分布中含有
X的一个简单随机样本X，, S 2 为样本均值与样
本方差，则有：
(1) X ~ N(, 2 )或 X ~ N(0,1) n n
(2)
(n 1)s 2 ~ 2 (n 1); 2
(3) X 与S 2 相互独立；
(4)
X ~ t(n 1)
Sn
• 定理8.2.2 设有两个总体Ｘ与Ｙ，X ~ N (1, 12 )
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第8章 估计理论与假设检验
数学学院应用数学系 王国富
2010年3月
问题提出
某厂有一批产品，须经检验后方可出厂。 按规定标准，次品率不得超过1%。今在其中随 机抽取100件进行检查，结果发现有2件次品， 问这批产品的次品率是多少？能否出厂？
引进变量X，当抽取一件产品是次品，记为X=1，当抽取一 件产品不是次品，记为X=0；P{X=1}=p， P{X=0}=1-p
改变会不会影响总体的分布，那就需要进行假设检验
了。估计理论与假设检验是数理统计中两个最基本和
最重要的内容
• 统计量
• 统计量的定义
定义1.2 设(X1, X 2, , X n )为总体X的一个样本，
T T ( X1, X 2, , X n为) X 1, X 2 , X n的连续函数，且不 含有任何未知参数，则称T为一个统计量。
量）作为 的估计量，记为
ˆ T (X1, X2, , Xn )
• 当样本取定一个观察值时，估计量也有一个值， 这个值称为估计值，不同的抽样，有不同的估 计值，它与真值会有差异，这种差异除了抽样 带来的误差外，与估计量的形式有关．因此， 选取统计量也是非常重要的．我们介绍两种统 计量的方法：矩法与极大似然法
x 1 ( )
e x
,
其中
0,
x 0, x0
0, 0
( ) x1exdx
0
为 函数，则称X为服从参数是 , 的伽玛分布，
记为 X ~ (, )
• 伽玛分布的性质
(1)
E( X
k)
0
xk
x 1 ( )
exdx
( k) k( )
由此可得
E(X ) , D(X ) 2
T X Yn
则Ｔ也是一个随机变量，它所服从的分布称为
自由度为n的t分布，记为 T ~ t(n)
• 它的密度函数为
f (x)
(n 1) 2
(1
x2
n1
) 2,
x
n (n) n
2
与参数n有关，不同的n其图形也有差异．
• 性质
若 T ~ t(n) 则
（１）当 n 1 时，t分布是柯西分布，柯西分布
• 例:查表求下列分位数的值
Z0.05 , Z0.975
2 0.05
(10),
2 0.99
(10),
2 0.05
(50)
t0.05 (10), t0.99 (10), t0.05 (100)
F0.05 (9,10), F0.99 (9,10),
• 抽样分布定理
定理8.2.1 设总体 X ~ N (, ，2 ) ( X1, X 2, , X n )为
P就是产品的次品率。这批产品的次品率是多少就是对p的取 值作出一个推断，称为估计。能不能出厂，就看p的值是超 过1%还是没有超过1%，这就是检验。
•
数理统计其实质就是利用样本对总体进行统计推
断，而总体可以看作是一个随机变量，要知道一个随
机变量的取值规律性就是要对它的分布作出一个推断。
当我们对总体一无所知的时候，可以利用样本对分布
试验中事件A发生的次数为m，当n充分大时，
近似地有
（１）
m np 近似 ~ N (0,1)
m(1 m) n
（２）
m np 近似 ~ N (0,1)
np(1 p)
• 定理8.2.5 设总体X服从参数为 的指数分布，
为X(的X1一, X个2, 简, X单n )随机样本， X 为样本均值，则
2n X ~ 2 (2n)
（１）
( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
2 1
22
mn
（２）
S X 2 SY 2 ~ F (m 1, n 1)
2 1
22
（３）若 1 2 则
( X Y ) (1 2 ) ~ t(m n 2)
11
Sw
mn
其中
Sw2
(m 1)S X 2 m
(n 1)SY 2 n2
与Y相互独立，记
FX m Yn
，且X
则Ｆ也是一个随机变量，它所服从的分布称为 自由度为(m,n)的F分布，记为
F ~ F(m, n)
• 它的密度函数为
f
(x)
(m 2
n)
(
m )( 2
n) 2
(m) n
m m 1
2 x 2 (1 0,
m n
mn
x) 2
,
x0 x0
它与m,n有关，其图形也有一定差异．
• 定理8.2.3 设总体X为任意总体，存在有限的数 学期望与方差 E( X ) , D( X ) 2 ，( X1, X 2 , X n ) 为X的一个样本，当n充分大时（称之为大样 本），有
（１） X 近似
~ N (0,1)
/ n
Байду номын сангаас
（２）
X 近似
~ N (0,1)
S/ n
• 定理8.2.4 设事件A发生的概率为p,在n次重复
5.顺序统计量 最大顺序统计量:X(n)
第K顺序统计量:X(k)
6.样本极差 与中位数
• 抽样分布 我们称统计量的分布为抽样分布 ,不同的统计 量其分布不一定相同.
常见的分布类型有: 正态分布 伽玛分布 卡方分布 t 分布 F分布
• 伽玛分布
定义1.4 如果连续型随机变量X的密度函数为
f
(x)