人教版第六章 实数单元 易错题难题专项训练检测
人教版第六章 实数单元 易错题难题专项训练检测
一、选择题
1．在-2，117
，0，23π
，3.14159265，9有理数个数（ ）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
2．下列各数中3.1415926，-39，0.131131113……，9
4
，－117无理数的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．定义(),2f a b ab =，()2
2(1)g m m m =-+，例如：()1,22124f =??=，
()()2
112111g -=---+=，则()1,2g f ??-??的值是( )
A ．-4
B ．14
C ．-14
D ．1
4．如图，数轴上O 、A 、B 、C 四点，若数轴上有一点M ，点M 所表示的数为m ，且
5m m c -=-，则关于M 点的位置，下列叙述正确的是（ ）
A ．在A 点左侧
B ．在线段A
C 上
C ．在线段OC 上
D ．在线段OB 上
5．下列说法：①所有无理数都能用数轴上的点表示；②若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0或1；③任何实数都有立方根；④16的平方根是4±，其中正确的个数有（ ） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6．给出下列说法：①﹣0.064的立方根是±0.4；②﹣9的平方根是±3；③3a -＝﹣
3
a ；④0.01的立方根是0.00001，其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．规定用符号[]n 表示一个实数的小数部分，例如:[]3.50.5,22 1.??=
?-?=按照此规
定, 101??+??的值为（ ）
A ．101-
B ．103-
C ．104-
D ．101+
8．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（ ）
A ．|a|＞|b|
B ．|ac|=ac
C ．b ＜d
D ．c+d ＞0
9．在下列实数中，无理数是( ) A ．
33
7
B ．π
C 25
D ．
13
10．7和6- ） A 76B 67C 76+
D ．76)-
二、填空题
11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b=．
例如：(-3)☆2=
3232
2
-++-- = 2．
从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a ，b(a≠b)的值，并计算a ☆b ，那么所有运算结果中的最大值是_____． 12．若已知x-1+（y+2）2=0，则(x+y)2019等于_____．
13．若()2
21210a b c -+++-=，则a b c ++=__________． 14．已知72m =
-，则m 的相反数是________．
15．27的立方根为 ．
16．3是______的立方根；81的平方根是________；
32-=__________．
17．对于实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不大于[]a 的最大整数，称为a 的根整数，例如：
，如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例
如：对10连续求根整数2次： 10]33]1=→=这时候结果为1．则只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是__________． 18．2x -﹣x|＝x+3，则x 的立方根为_____．
19．0.050.55507.071≈≈≈≈，按此规500_____________
20．若x ，y 为实数，且|2|30x y ++-=，则(x+y) 2012的值为____________．
三、解答题
21．请回答下列问题：
（117介于连续的两个整数a 和b 之间，且a b <，那么a = ，b = ； （2）x 172的小数部分，y 171的整数部分，求x = ，y = ； （3）求
)
17y
x -的平方根．
22．已知32x y --的算术平方根是3，26x y +-的立方根是37的整数部分是z ，求
42x y z ++的平方根．
23．2是无理数，而无理数是无限不循环小数，22﹣12的小数部2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分又例如：因为
47927＜37的整数部分为27﹣2）
请解答：
（110的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果5的小数部分为a ，13的整数部分为b ，求a +b ﹣5的值． 24．观察下列解题过程： 计算231001555...5+++++ 解：设231001555...5S =+++++① 则23410155555....5S =+++++② 由-②①得101451S =-
10151
4
S -∴= 即1012
3
100
51
1555 (5)
4
-+++++= 用学到的方法计算：2320191222...2+++++
25．给定一个十进制下的自然数x ，对于x 每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x 的“模二数”，记为()2M x .如()()22735111, 561101M M ==.对于“模二数”的加法规定如下:将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位.上的数分别相加，规定: 0与 0相加得 0; 0与1相加得1;1与1相加得 0，并向左边一位进1.如735561、的“模二数”111101、相加的运算过程如下图所示.
根据以上材料，解决下列问题:
(1)()29653M 的值为______ ，()()22589653M M +的值为_
(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不
变”.如()()22
124100,630010M M ==，因为()()()222124630110,124630110M M M +=+=，所以
()()()222124*********M M M +=+，即124与630满足“模二相加不变”.
①判断126597，，这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由； ②与23“模二相加不变”的两位数有______个
26．阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”，例如，自然数2135，其中3＝2×2﹣1，5＝2×2+1，所以2135是“依赖数”． （1）请直接写出最小的四位依赖数；
（2）若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“特色数”，求所有特色数．
（3）已知一个大于1的正整数m 可以分解成m ＝pq+n 4的形式（p≤q ，n≤b ，p ，q ，n 均为
正整数），在m 的所有表示结果中，当nq ﹣np 取得最小时，称“m ＝pq+n 4”是m 的“最小
分解”，此时规定：F （m ）＝q n
p n
++，例：20＝1×4+24＝2×2+24＝1×19+14，因为1×19﹣1×1
＞2×4﹣2×1＞2×2﹣2×2，所以F （20）＝
22
22
++＝1，求所有“特色数”的F （m ）的最大值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据有理数包括整数和分数，无理数包括无限不循环小数、开方开不尽的数、含π的数，逐一判断，找出有理数即可得答案. 【详解】
-2、0是整数，是有理数，
11
7、3.14159265是分数，是有理数， 23
π
是含π的数，是无理数，
，是整数，是有理数，
综上所述：有理数有-2，11
7
，0，3.141592655个， 故选C. 【点睛】
本题考查实数的分类，有理数包括整数和分数；无理数包括无限不循环小数、开方开不尽的数、含π的数.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】
3
2
，3.1415926，－117是有理数，0.131131113……是无理数，共2个.
故选B.
【点睛】
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数．
3．C
解析：C 【分析】
根据(),2f a b ab =，()2
2(1)g m m m =-+，代入求解即可.
【详解】 解
(),2f a b ab =，()22(1)g m m m =-+
∴()1,2g f ??-??=()()2
44241-14g -=---+= 故选C. 【点睛】
本题考查了新定义的有理数运算，利用(),2f a b ab =，()2
2(1)g m m m =-+，代入求
值是解答本题的关键.
4．D
解析：D 【分析】
根据A 、C 、O 、B 四点在数轴上的位置以及绝对值的定义即可得出答案． 【详解】
∵|m-5|表示点M 与5表示的点B 之间的距离，|m?c|表示点M 与数c 表示的点C 之间的距离，|m-5|＝|m?c|， ∴MB ＝MC ． ∴点M 在线段OB 上． 故选：D ． 【点睛】
本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应的关系是解答此题的关键．
5．C
解析：C 【分析】
分别根据相关的知识点对四个选项进行判断即可． 【详解】
解：①所有无理数都能用数轴上的点表示，故①正确； ②若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0，故②错误； ③任何实数都有立方根，③说法正确；
2±，故④说法错误； 故其中正确的个数有：2个． 故选：C ． 【点睛】
本题考查的是实数，需要注意掌握实数的概念、平方根以及立方根的相关知识点．
6．A
解析：A
【分析】
利用平方根和立方根的定义解答即可．
【详解】
①﹣0.064的立方根是﹣0.4，故原说法错误；
②﹣9没有平方根，故原说法错误；
④0.000001的立方根是0.01，故原说法错误，
其中正确的个数是1个，
故选：A．
【点睛】
此题考查平方根和立方根的定义，熟记定义是解题的关键.
7．B
解析：B
【分析】
根据3＜4的小数部分，根据用符号[n]表示一个实数的小数部分，可得答案．
【详解】
解：由34，得
4+1＜5．
3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，利用了无理数减去整数部分就是小数部分．
8．B
解析：B
【分析】
先弄清a,b,c在数轴上的位置及大小，根据实数大小比较方法可以解得.
【详解】
从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；
A、|a|＞|b|，故选项正确；
B、a、c异号，则|ac|=-ac，故选项错误；
C、b＜d，故选项正确；
D、d＞c＞1，则c+d＞0，故选项正确．
故选B.
【点睛】
本题考核知识点：实数大小比较. 解题关键点：记住数轴上右边的数大于左边的数;两个负数，绝对值大的反而小.
9．B
解析：B
【分析】
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】
解：33
7
，25，
1
3
是有理数，
π是无理数，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
10．C
解析：C
【分析】
在数轴上表示7和-6，7在右边，-6在左边，即可确定两个点之间的距离．
【详解】
如图，
7和67在右边，6在左边，
7和67-（6）76．
故选：C．
【点睛】
本题考查了数轴，可以发现借助数轴有直观、简捷，举重若轻的优势．
二、填空题
11．8
【解析】
解：当a＞b时，a☆b= =a，a最大为8；
当a＜b时，a☆b==b，b最大为8，故答案为：8．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
解析：8
【解析】
解：当a ＞b 时，a ☆b =2a b a b
++- =a ，a 最大为8；
当a ＜b 时，a ☆b =
2
a b a b
++-=b ，b 最大为8，故答案为：8．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．-1 【分析】
根据非负数的性质先求出x 与y ，然后代入求解即可. 【详解】
解：∵+（y+2）2=0 ∴
∴(x+y)2019=-1 故答案为：-1. 【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，熟
解析：-1 【分析】
根据非负数的性质先求出x 与y ，然后代入求解即可. 【详解】
（y+2）2=0
∴10
20x y -=+=??
? 12x y =?∴?=-?
∴(x+y)2019=-1 故答案为：-1. 【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握性质，并求出x 与y 是解题的关键.
13．【分析】
先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a 、b 、c 的值，再代入即可得． 【详解】
由题意得：，解得， 则，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用
解析：1
2
-
【分析】
先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a 、b 、c 的值，再代入即可得． 【详解】
由题意得：2102010a b c -=??
+=??-=?，解得1221a b c ?=??=-??=?
?
，
则()112122a b c ++=+-+=-， 故答案为：12
-． 【点睛】
本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用等知识点，熟练掌握绝对值、算术平方根、偶次方的非负性是解题关键．
14．【分析】
根据相反数的定义即可解答． 【详解】 解：的相反数是， 故答案为：． 【点睛】
本题考查了求一个数的相反数以及实数，解题的关键是熟知只有符号不同的两个数是相反数．
解析：2【分析】
根据相反数的定义即可解答． 【详解】
解：m
的相反数是2)2-=，
故答案为：2 【点睛】
本题考查了求一个数的相反数以及实数，解题的关键是熟知只有符号不同的两个数是相反数．
15．3
找到立方等于27的数即可． 解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为3．
考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算
解析：3 【解析】
找到立方等于27的数即可． 解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为3．
考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算
16．±9 2- 【分析】
根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案； 【详解】 解：∵ ，
∴3是27的立方根； ∵ ，
∴81的平方根是 ； ∵ ， ∴； 故答案为：2
解析：
【分析】
根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案； 【详解】 解：∵3327= ， ∴3是27的立方根； ∵2
(9)81±= ， ∴81的平方根是9± ；
2< ，
22=
故答案为：27，9±，；
本题主要立方根、平方根的定义以及去绝对值法则，掌握一个数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．
17．255 【分析】
根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】 解：
∴对255只需要进行3次操作后变成1，
∴对256需要进行4次操作
解析：255 【分析】
根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】
解：
25515,3,1,??===?? ∴对255只需要进行3次操作后变成1，
25616,4,2,1,??====?? ∴对256需要进行4次操作后变成1，
∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255； 故答案为：255． 【点睛】
本题考查了估算无理数的大小应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也要考了一个数的平方数的计算能力．
18．3 【分析】
直接利用二次根式有意义的条件得出x 的取值范围进而得出x 的值，求出答案． 【详解】 解：∵有意义， ∴x ﹣2≥0， 解得：x≥2， ∴+x﹣2＝x+3，
故x﹣2＝25，
解得
解析：3
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围进而得出x的值，求出答案．
【详解】
∴x﹣2≥0，
解得：x≥2，
﹣2＝x+3，
5，
故x﹣2＝25，
解得：x＝27，
故x的立方根为：3．
故答案为：3．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键．19．36
【分析】
从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.
【详解】
解：观察，
不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，
因此得到第三个数的
解析：36
【分析】
从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.
【详解】
≈≈≈≈，
7.071
不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，
≈.
因此得到第三个数的估值扩大1022.36
故答案为22.36.
【点睛】
本题是规律题，主要考查找规律，即各数之间的规律变化，在做题时，学会观察，利用已
知条件得到规律是解题的关键.
20．1 【分析】
先根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出x 、y 的值，再代入计算有理数的乘方即可． 【详解】
由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得： 解得 则
故答案为：1． 【点睛】 本题考查了
解析：1 【分析】
先根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出x 、y 的值，再代入计算有理数的乘方即可． 【详解】
由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：20
30x y +=??-=?
解得2
3x y =-??=?
则2012
20122012()
(23)11x y +=-+==
故答案为：1． 【点睛】
本题考查了绝对值的非负性、算术平方根的非负性、有理数的乘方运算，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握．
三、解答题
21．（1）4；b ＝（2?4；3（3）±8 【分析】
（（1）由16＜17＜25a ，b 的值； （2）根据（1）的结论即可确定x 与y 的值； （3）把（2）的结论代入计算即可． 【详解】
解：（1）∵16＜17＜25，
∴4＜5， ∴a ＝4，b ＝5，
故答案为：4；5；
（2）∵4＜5，
∴6＋2＜7，
由此整数部分为6，
∴x ?4，
∵4＜5，
∴3－1＜4， ∴y ＝3；
；3
（3）当x ，y ＝3时，
)
y
x ＝
)
3
＝64，
∴64的平方根为±8． 【点睛】
此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“逐步逼近”是估算的一般方法，也是常用方法．
22．6±
【分析】
根据算术平方根、立方根的定义列出二元一次方程组，之后对方程组进行求解，得到x 和y 的值，再根据题意得到z 的值，即可求解本题． 【详解】 解：由题意可得3x 29
268
y x y --=??
+-=?，
解得5
4
x y =??
=?，
36<<
67∴<
<，
6z ∴=，
424542636∴++=?++?=x y z ，
故42x y z ++的平方根是6±． 【点睛】
本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义．
23．（1）3，﹣3；（2）1． 【分析】
（1）根据34<解答即可；
（2）根据23得出a ，根据34得出b ，再把a ，b 的值代入计算即可． 【详解】
（1）∵34<<，
3﹣3，
故答案为：3﹣3；
（2）∵23，a 2，
∵34， ∴b ＝3，
a +
b 2+31． 【点睛】
此题考查无理数的估算，正确掌握数的平方是解题的关键. 24．22020?1 【分析】
根据题目提供的求解方法进行计算即可得解． 【详解】
设S ＝2320191222...2+++++① 则2S ＝2＋22＋23＋…＋22019＋22020，②
②?①得，S ＝（2＋22＋23＋…＋22019＋22020）-（2320191222...2+++++）=22020?1 即2320191222...2+++++=22020?1． 【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解并掌握求解方法是解题的关键．
25．（1）1011，1101；（2）①12，65，97，见解析，②38 【分析】
(1) 根据“模二数”的定义计算即可；
(2) ①根据“模二数”和模二相加不变”的定义，分别计算126597，，和12+23，65+23,97+23的值，即可得出答案
②设两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，根据a 、b 的奇偶性和“模二数”和模二相加不变”的定义进行讨论，从而得出与23“模二相加不变”的两位数的个数 【详解】
解: (1) ()296531011M =，()()221010111108531596M M =+=+ 故答案为：1011,1101
()2①()()222301,1210M M ==， ()()()222122311,122311M M M +=+=
()()()22212231223M M M ∴+=+，
12∴与23满足“模二相加不变”.
()()222301,6501M M ==，， ()()()222652310,652300M M M +=+= ()()()22265236523M M M +≠+， 65∴与23不满足“模二相加不变”.
()()222301,9711M M ==，
()()()2229723100,9723100M M M +=+=， ()()()22297239723M M M +=+，
97∴与23满足“模二相加不变”
②当此两位数小于77时，设两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，1a 70b 7≤≤<<，； 当a 为偶数，b 为偶数时()()2210002013,a b M M +==，
∴()()()()22222301,102310(2)(3)1001M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23满足“模二相加不变”有12个（28、48、68不符合） 当a 为偶数，b 为奇数时()()2210012013,a b M M +==，
∴()()()()22222310,102310(2)(3)1000M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23不满足“模二相加不变”.但27、47、67、29、49、69符合共6个 当a 为奇数，b 为奇数时()()2210112013,a b M M +==，
∴()()()()222223100,102310(2)(3)1010M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23不满足“模二相加不变”.但17、37、57、19、39、59也不符合 当a 为奇数，b 为偶数时()()2210102013,a b M M +==，
∴()()()()22222311,102310(2)(3)1011M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23满足“模二相加不变”有16个，（18、38、58不符合） 当此两位数大于等于77时，符合共有4个 综上所述共有12+6+16+4=38 故答案为：38 【点睛】
本题考查新定义，数字的变化类，认真观察、仔细思考，分类讨论的数学思想是解决这类问题的方法．能够理解定义是解题的关键． 26．（1）1022；（2）3066，2226；（3）67
36
【分析】
（1）由于千位不能为0，最小只能取1；根据题目得出相应的公式：十位＝2×千位﹣百位，个位＝2×千位+百位，分别求出十位和个位，即可求出最小的四位依赖数； （2）设千位数字是x ，百位数字是y ，根据“依赖数”定义，则有：十位数字是（2x ﹣y ），
个位数字是（2x+y），依据题意列出代数式然后表示为7的倍数加余数形式，然后求出x、y即可，从而求出所有特色数;
（3）根据最小分解的定义可知： n越小，p、q越接近，nq﹣np才越小，才是最小分解，
此时F（m）＝q n
p n
+
+
，故将（2）中特色数分解，找到最小分解，然后将n、p、q的值代
入F（m）＝q n
p n
+
+
，再比较大小即可.
【详解】
解：（1）由题意可知：千位一定是1，百位取0，十位上的数字为：2×1－0=2，个位上的数字为：2×1＋0=2则最小的四位依赖数是1022；
（2）设千位数字是x，百位数字是y，根据“依赖数”定义，
则有：十位数字是（2x﹣y），个位数字是（2x+y），
根据题意得：100y+10（2x﹣y）+2x+y﹣3y＝88y+22x＝21（4y+x）+（4y+x），
∵21（4y+x）+（4y+x）被7除余3，
∴4y+x＝3+7k，（k是非负整数）
∴此方程的一位整数解为：x=4，y=5（此时2x+y＞10，故舍去）；x＝3，y＝7（此时2x﹣y＜0，故舍去）；x＝3，y＝0；x＝2，y＝2；x＝1，y＝4（此时2x﹣y＜0，故舍去）；
∴特色数是3066，2226．
（3）根据最小分解的定义可知： n越小，p、q越接近，nq﹣np才越小，才是最小分解，
此时F（m）＝q n
p n +
+
，
由（2）可知：特色数有3066和2226两个，对于3066＝613×5+14=61×50+24
∵1×613－1×5＞2×61－2×50，
∴3066取最小分解时：n=2，p=50，q=61
∴F（3066）＝61263
= 50252
+
+
对于2226＝89×25+14＝65×34+24，
∵1×89－1×25＞2×65－2×34，
∴2226取最小分解时：n=2，p=34，q=65
∴F（2226）＝6
36 5267
= 342
+
+
∵6367 5236
<
故所有“特色数”的F（m）的最大值为：67 36
．
【点睛】
此题考查的是新定义类问题，理解题意，并根据新定义解决问题是解决此题的关键.