大数定律

则对于任意ε＞0，有
1
lnimlniPmPn
n
1n
i
X
1
nXi
En(
Xn
i 1
)E( Xi
)
1
1
记
1n X n n i1 X i
1 n
E( Xn ) n i1 E( Xi )
这意味着在n充分大时，相互独立的随机变量的算术平均值
X n 的值将比较紧密地聚集在它的数学 期望 E( Xn ) 附近．
第五章 极限定理
考试内容 切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大数定律 伯
努利（Bernoulli)大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣 莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理 列维－林德伯格 （Levy-Lindberg）定理
考试要求 1．了解切比雪夫不等式． 2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定
结束
二、大数定律
定理1(切贝雪夫大数定律)如果X1，X2…，Xn，…是相互独立的 随机变量序列，每一个Xi都有数学期望E(Xi）和有限的方差D(Xi), 且方差有公共的上界，即
D( Xi ) C, i 1, 2, , n, ; C 0 则对于任意ε＞0，有
lim P n
1 n
n i 1
(3 D(X ) )2 9
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例2．若在每次试验中，A发生的概率为0.5，进行1000 次独立试验，估计 A 发生 400～600 次之间的概率。
解：因 X ～B（1000，0.5），E（X）=500，D（X）=250
所以 P{ 400 < X < 600 } = P{ | X-500 | < 100 }
证明：(以连续型随机变量为例)设X的概率密度为f(x)，
则
D( X )
[
x
E(
X
)]2
f
(
x)dx
[x E( X )]2 f ( x)dx
[x E(X )]2 f (x)dx
|x E ( X )|
|x E ( X )|
[x E( X )]2 f ( x)dx
|x E( X )|
2
随机变量
Xn
nA n
p
n重伯努利试验
频怎率样理解“概越率来P(越A)接近”？
怎样定义极限 lim Xn p n
“频率稳定性”的严格数学描述是什么
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)
|
} 1
1
2
D( 1 n
n k 1
Xk
)
1
c
n 2
所以
lim
n
P{|
1 n
n k 1
Xk
1 n
n k 1
E(Xk
)
|
}
1
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推论：设随机变量X1,X2,X3,…,Xn ,…独立同分布，且有
E(Xk) =μ，D(Xk) =σ2， k =1，2，…
则在 n 时 对任意ε＞0，有
律(独立同分布随机变量序列的大数定律)． 3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布) 和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理 )．
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第五章 极限定理
一、大数定律 二、中心极限定理
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本章概述
大数定律和中心极限定理就是使用极限方法研 究大量随机现象统计规律性的。
f ( x)dx 2P{| X E( X ) | }
|x E ( X )|
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P{|
X
E( X ) |
}
D( X )
2
2. 不等式的等价形式
P{|
X
E( X ) | } 1
D(X )
2
作用：（1）证明大数定律；（2）估计事件的概率。
例1． 估计| X E(X ) | 3 D(X ) 的概率． 解: P{| X E(X ) | 3 D(X ) } D(X ) 1
由
P{|
X-
E( X ) |< e} ≥
1-
D( X ) e2
得，P{ | X-500 | < 100 }
1 D( X ) 1 250 39
2
100 2 40
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例3. 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均 为0.7，假定灯的开、关是相互立的，使用切贝雪夫不等式估计 夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率。
随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数 ， 有
lim
n
P{|
Yn
-
a
|}ຫໍສະໝຸດ 1则称序列 Y1,Y2, ,Yn , 依概率收敛于a .
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作业： 106页
1，2
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“概率”的概念是如何产生的
设 n次独立重复试验中事件 发A 生的
次数为 nA,则当 n 时,有
• 阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一 系列定律都称为大数定律。
• 论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某一
分布的定理称为中心极限定理。
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§5.1 大数定律
一 、切比雪夫不等式
1. 对于任何具有有限方差的随机变量 X ，都有
P{|
X
E(X
)
|
}
D( X
2
)
(ε是任一正数)
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证: 因 X1, X2, , X n, 相互独立，所以
D(1
n
n k 1
Xk)
1 n2
n
D(Xk )
k 1
1 n2
nc
c n
又因
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E( Xi )
，由切贝雪夫不等式可得
1
P{|
1 n
n k 1
Xk
1 n
n k 1
E(Xk
Xi
1 n
n i 1
E(Xi )
1
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二、大数定律
定理1(切贝雪夫大数定律)如果X1，X2…，Xn，…是相互独立的 随机变量序列，每一个Xi 都有数学期望E(Xi)和有限的方差D(Xi), 且方差有公共的上界，即
D( Xi ) C, i 1, 2, , n, ; C 0
lim P n
1 n
n k 1
Xk
1
定理2（贝努里大数定律）设n重贝努里试验中事件A发生nA次,
每次试验事件A发生的概率p，则对任意ε＞0 有
lim P n
nA n
p
1
这就是以频率定义概率的合理性依据。
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定义 (依概率收敛)设 Y1,Y2, ,Yn, 是一个互相独立的
解 : 令 X表示在夜晚同时开着的灯数目，则X 服从n=10000， p=0.7的二项分布，这时E(X)=np=7000, D(X)=npq =2100 ，由切 贝雪夫不等式可得
P{6800 X 7200} P{| X 7000 | 200}
1
2100 2002
0.95．
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