线性代数试题及答案.doc

.

（试卷一）

一、填空题（本题总计20 分，每小题 2

分）

1.排列 7623451 的逆序数是_______。

a

11 a

12

a

11 3a12 0

1，则a21

2.若

a21 a

22 3a22 0

0 6 1

3.已知 n 阶矩阵A、B和C满足ABC E，其中E为 n 阶单位矩阵，则B1CA。

4.若 A 为m n矩阵，则非齐次线性方程组

AX b 有唯一解的充分要条件是

_________

5.设A为8 6的矩阵，已知它的秩为4，则以 A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维

数为 __2。

6.设 A 为三阶可逆阵， 1 0 0 ，则 A*

A 1 2 1 0

3 2 1

.

7.若 A 为m n矩阵，则齐次线性方程组Ax0 有非零解的充分必要条件是

1 2 3 4 5

3 0

4 1 2

8.已知五阶行列式D11

1 1 1

，则

1 1 0

2 3

5 4 3 2 1

A41A42A43A44A45

9. 向量( 2,1,0,2)T的模（范数）______________。

10. 若 1 k 1 T与12 1 T正交，则k

二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）

1. 向量组1,2, ,r线性相关且秩为 s，则 (D)

Ａ． r sＢ．

Ｃ． s rＤ．r s s r

2. 若 A 为三阶方阵，且 A 2E 0, 2A E 0,3A 4E 0，则A(A)

.

Ａ．Ｃ．8Ｂ．8 4

Ｄ． 4

3 3

3．设向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则( d )

Ａ． R(B) R( A)Ｂ．R( B) R( A)

Ｃ． R( B) R( A)Ｄ．R( B) R( A)

4.设 n 阶矩阵A的行列式等于D，则kA

等于

_____。c

( A) kA( B) k n A(C )k n 1 A

(D) A

5.设 n 阶矩阵A，B和C，则下列说法正确的

是 _____。

(A)AB AC则 B C(B)AB 0,则A 0或

B 0

(C) (AB)T A T B T(D) (A B)( A B) A2B2

三、计算题（本题总计60 分。 1-3 每小题

8 分,4-7 每小题 9 分）

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

3 2 2

。

1. 计算n阶行列式 D

2 2 2 n 1 2

2 2 2 2 n 2．设 A 为三阶矩阵，A* 为 A 的伴随矩阵，且 A12，求(3A)12A*.

3．求矩阵的逆

1 1 1

A21 1

1 20

4.讨论为何值时，非齐次线性方程组

2

x1x2x3

x1x2x3

x1x2x3 1

① 有唯一解；②有无穷多解；③无解。

5.求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。

x1 x2 x3 x4 2

2x1 3x2 x3 x4 1

x1 2x3 2x4 5

6.已知向量组110 23T、2 1135T、

31131

T、41249T、51125T，求此向

量组的一个最大无关组，并把其余向量用

该最大无关组线性表示．

1 1 0

7. 求矩阵A 4

3 0

的特征值和特征向量．

1 0 2

四、证明题（本题总计10 分）

设为AX b b 0的一个解， 1 , 2 L L n r 为对

应

齐次线性方程组 AX 0的基础解系，证明

1, 2 L L n r ,

线性无关。

（答案一）

-

.

1~15 ；2、3；3 、CA；4、R A R( A,b) n ；5、2；6、

1 0 0

；7 、R A n；8、0 ；9 、3；10 、1 。.二、选

2 1 0

3 2 1

择题（本题总计10 分，每小题 2 分 1 、D ；2、A；3、D ；4、C；5、B

三、计算题（本题总计60 分， 1-3 每小题 8 分，4-7 他每小题 9 分）

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1、解： D

r i r2 (i

0 0 1 0 0 3,4, , n)

0 0 0 n 3 0

0 0 0 0 n 2

------3 分

1 2 2 2 2

0 2 2 2 2

r2

0 0 1 0 0 -------6 分2r1

0 0 0 n 3 0

0 0 0 0 n 2

1 ( 2)1

2 (n 3) ( n 2) 2(n 2)!

----------8 分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。）

.

1 1 1 1

2 1 1 1 1

------1 分

解：（1）AB 2A 1

1 1 1 3 1

2 1 1 1

1 1 1

2 1 4 1 1 1

4 6 4 2 2 2 2 4 2

2 2 2 2 2 2 4 0 0

------5

2 0 6 2 2 2 0 2 4

分

（ 2 ）

1 1 3 5 9 3 4 8 0

--------8 分

A2 B 2 1 1 1 2 10 6 3 11 7

3 1 1 11 11 17 8 12 16

3.设 A 为三阶矩阵，A*为 A 的伴随矩阵，且A12，

求 (3A)

1 2A

*

. 因 A A＝AE

2 E

，故 A

*

A

n 1

4

3 分

* 1 1

A 1 A

2A *

5 分

1 A *

2 A* 4 A*

3

8 分

(3A) 1 2A * 2A * 4 1 16

3 3 3

4 27

4、解：( A,E) 1 0 0 1 0 0 r2 r1 1 0 0 1 0 0 ---3 分

1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0

r3 r1

1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1

1 0 0 1 0 0 r1 (1)100 1 0 0

---6 分r3 r2 0 1 0 1 1 0 r2 ( 1) 0 1 0 1 1 0

0 0 1 2 1 1 r3 (1)001 2 1 1

故 A 1 1 0 0 -------8 分（利用

1 1 0

2 1 1