微积分习题课

及其定义域. 解 由f ( x) sin x,得f [( x)] sin[( x)],
于是 sin[( x)] 1 x2 ( x) arcsin(1 x2 ),
而 sin[( x)] 1 1 x2 1,
于是x2 2 2 x 2.
5)某化肥厂生产一种产品1000吨,每吨定价130 元,一次销售量在7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0吨以内,按原价出售.超过 700吨时超过的部分打九折.写出销售总收益与 总销售量的函数关系.
x2
; 3x 2
b) f (x) 2 x x2 ;
c) x 2 ln x 3 .
1)下列函数是否是同一个函数 ? 解
a) f ( x) x , g( x) 1; x
不是,f ( x) x 的定义域是(, 0)与(0, ), x
而g( x)的定义域是(, ).
b) f ( x) x 1, g( x) ( x 1)2 ; 不是,两个函数的定义域是相同的,但是
提示与分析 : 运价随公里的变化而变化,应该以 路程s a为界分段讨论,分两段 : s a和s a.
解 因为t·km运价在a km以内k元，所以当
s a时, m ks; s a时,m ka 0.8k(s a)
每吨货物运价m(元)和路程s (km)之间的函数 关系是：
ks,
0 s a,
m ka 0.8k(s a), s a.
练习题
1)下列函数是否是同一个函数 ? a) f ( x) x , g( x) 1;
x b) f ( x) x 1, g( x) ( x 1)2 ;
c) f (x)
1
1 x2
, g(x)
1 x2 .
x
2)求下列函数定义域 :
2x
a) f (x)
解 设总销售量为x时，总收益为y，依题意：
130 x,
0 x 700,
2）若f ( x) ex2 , f [( x)] 1 x, 且( x) 0， 求( x)及其定义域.
解 f [( x)] e（ 2 x） 1 x, 2 ( x) ln（1 x），由于( x) 0， ( x) ln（1 x）.
其定义域：ln（1 x） 0 1 x 1 x 0，
☆ 掌握基本初等函数的简单性质及图象，了 解初等函数的概念.
知识网络图
实数系－实数与实数轴上点一一对应.
整数
集 合
(¤ )有理数
(¡ )实数
分数
、
(¤ c )无理数 （无限不循环小数）
实 数
邻域与去心邻域：U( x0 , )，U 0( x0 , )
与
定义
函 数
例如 y 基本co初t x等分函解数为：：常y数 、u幂, u、 cot v,v x .
6）讨论函数 y 1 的有界性 . x
y
y 1 x
1 o 1
x
y 1 在(, 0)及(0, )上无界, x
在(, a)及(a, )上有界,a 0实数.
图为a=1的情况.
7)已知f (2x 1) x2 2x sin x,求f ( x 1).
解 令t 2x 1, x t 1 , 2
g(x)
x1
x1 1 x
x 1,在区间(,1)上 x1
两个函数对应关系不同.
1
1 x2
c) f (x) 1 x2 , g(x) x ,
不是,x 1时, f ( x)
1
1 (1)2
=
2,
g( x) 1 (1)2 =- 2,故对应法则不同. 1
2)求下列函数定义域 :
2x
a)
f
(x)
即（ ，0].
3）若
(t
)
1, t
sin
π
3 t,t
， π 3
求（ π），（π），（ π）.
3
6
2
解 （π）= 1，（π）= 1，
3
6
（π）= 1.
2
44））由函数 y eu，u x2 复合而成的函数 为 ___ .
解 y ex2 .
5）函数 y sinln 2x由_______复合而成 . 解 y sin u, u lnv,v 2x.
函数 指数、2对数、三角、反三角
2
复合函数（分解）
初等函数
函数的四则运算
重点与难点
求函数的定义域，求复合函数 的分解.
例题
1）求以下函数的定义域:
a) y sin x; c) y ln( x 1);
b) y 3 x arctan 1 ; x
1
d)y ex.
解 a) x 0,即[0, ); b)x 0且x 3,即(, 0) (0, 3]; c) x 1即(1, ); d ) x 0,即(, 0) (0, ).
第一章 微积分的基础和研究 对象
习题课
一、目的要求 二、内容结构 三、典型例题 四、练习题
目的要求
☆ 理解函数的概念，会求函数的定义域和 函数值，了解分段函数的定义域并会作出 简单的分段函数的图形；
☆ 掌握函数的单调性、奇偶性、周期性、有 界性；
☆ 理解函数的四则运算和复合运算，熟练掌 握复合函数的复合过程；
f (t) ( t 1)2 2 t 1 sin t 1 ,
2
2
2
f ( x 1) ( x 2)2 2 x 2 sin x 2
2
2
2
x2
x2
1 sin .
4
2
8）某运输公司规定t·km（每吨货物每千米） 运价在a km以内k元，超过a km部分八折优惠. 求每吨货物运价m(元)和路程s (km)之间的函 数关系.
x2
; 3x 2
解 x2 3x 2 0 ( x 1)( x 2) 0,
定义域 : x 1, 2.
b) f (x) 2 x x2 ; 解 2 x x2 0 (2 x)(1 x) 0,
定义域 :[1, 2].
c) x 2 ln x 3 .
解 x 2 0 x 2, x 3 0 x 3 定义域 :[2, 3) (3, ).
3)分解下列复合函数 :
a)1 sin2 x;
x b)ln(tan )
2
c)cos2 x 1.
解 a) y 1 u, u v2 , v sin w, w x;
b) y
ln u, u
tan v, v
x ;
2
c) y u2 , u cos v, v w , w x 1.
4)已知f ( x) sin x, f [( x)] 1 x2 ,求( x)