概率论与数理统计第四章PPT
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
下面的定理指出，答案是肯定的.
定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g (X) (g是连续函数)
(1) 当X为离散型时,它的分布率为P(X= xk)=pk
(k 1,2,),若
; g( xk ) pk绝对收敛，则有
k 1
(2) 当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若
g( x) f ( x)dx绝对收敛，则有
例2 甲、乙二人进行打靶，所得分数分别记为X1, X2, 它们的分布率分别为
X1 0 1 2 pk 0 0.2 0.8
X2 0 1 2 pk 0.6 0.3 0.1
试比较甲、乙两人的技术那个好
解：我们先来算 X1 和 X2的数学期望，
E( X1) 0 0 1 0.2 2 0.8 1.8(分） E( X2 ) 0 0.6 1 0.3 2 0.1 0.5(分）
6
6
36
36
36
例4 设X ~ ( ),求E( X ).
解 X的分布率为
P{ X k} ke , k 0,1,2,, 0
k!
X的数学期望为
E( X ) k ke e k1 ee
k0 k!
k1 (k 1)!
即E( X )
二、连续型随机变量的数学期望
定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 如果积分
例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量；
在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度；
考察南宁市居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差 异程度；
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字 特征是重要的 .而所谓的数字特征就是用数字表示 随机变量的分布特点。
第四章、随机变量的数字特征
第一节：数学期望 第二节：方差 第三节：协方差及相关系数 第四节：矩、协方差矩阵
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全 部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
即
E( X ) xk pk
k 1
请注意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收
敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。
例1、（0-1）分布的数学期望
X服从0-1分布，其概率分布为
X
01
P 1-p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p
若X 服从参数为 p 的0-1分布， 则E(X) = p
E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx
E (Y
)
E[g(
X
)]
g( xk ) pk ,
k 1
X离散型
g(x)
f
( x)dx,
X连续型
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不 必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.
7
90 1 85 2 80 2 75 1 60 1
7
7
7
7
7
79.3
以频率为权重的加权平均
定义1 设X是离散型随机变量，它的分布率是:
P{X=xk}=pk , k=1,2,…
若级数 xk pk 绝对收敛，则称级数 xk pk
k 1
k 1
的和为随机变量X的数学期望，记为 E( X ),
在这些数字特征中，最常用的是
数学期望、方差、协方差和相关系数
第一节
数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 小结
一、离散型随机变量的数学期望
引例：某7人的数学成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60
F
(
x
)
1
e
x
x0
0
x0
N min( X1, X2 ) 的分布函数为
Fmin ( x)
1 [1
F ( x)]2
1
2x
e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x0
0
x0
于是N的概率密度为
fmin
(
x)
2
2x
e
x0
0
x0
E(N
)
xfmin
(
x)dx
0
2x
2x
e dx
2
三、随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出： 设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X 的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？
x
dx a b
a ba
2
即数学期望位于区间(a , b)的中点.
例5 有2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命Xk
(k 1,2)服从同一指数分布,其概率密度为
f
(
x)
1
x
e
x 0,
0 x 0,
0
若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机
寿命(以小时计) N 的数学期望.
解 Xk (k 1,2)的分布函数为
例3 按规定,某车站每天
8:00~9:00,9:00~10:00
都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者
到站的时间相互独立。其规律为：
到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50
概率
1/6 3/6 2/6
一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.
解：设旅客的候车时间为X (以分计),其分布率为
一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概 率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦 我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把 E[g(X)]计算出来.
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X) 的分布，一般是比较复杂的 .
那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的 分布求得E[g(X)]呢？
X 10 30 50 70 90
3 pk 6 上表中例如
2 11 13 12 6 66 66 66
P{ X 70} P( AB) P( A)P(B) 1 3 66
其中A为事件"第一班车8 :10到站", B为事件"第二班车
9 : 30到站".候车时间X的数学期望为
E( X ) 10 3 30 2 50 1 70 3 90 2 27.22分
xf (x)dx
绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望, 即
E( X ) x f (x)dx
请注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛 的积分.
例4 设X ~ U(a,b),求E( X ).
解 X的概率密度为
f
(
x
)
b
1
a
a xb
0 其它
X的数学期望为
b
E( X ) xf ( x)dx
定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g (X) (g是连续函数)
(1) 当X为离散型时,它的分布率为P(X= xk)=pk
(k 1,2,),若
; g( xk ) pk绝对收敛，则有
k 1
(2) 当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若
g( x) f ( x)dx绝对收敛，则有
例2 甲、乙二人进行打靶，所得分数分别记为X1, X2, 它们的分布率分别为
X1 0 1 2 pk 0 0.2 0.8
X2 0 1 2 pk 0.6 0.3 0.1
试比较甲、乙两人的技术那个好
解：我们先来算 X1 和 X2的数学期望，
E( X1) 0 0 1 0.2 2 0.8 1.8(分） E( X2 ) 0 0.6 1 0.3 2 0.1 0.5(分）
6
6
36
36
36
例4 设X ~ ( ),求E( X ).
解 X的分布率为
P{ X k} ke , k 0,1,2,, 0
k!
X的数学期望为
E( X ) k ke e k1 ee
k0 k!
k1 (k 1)!
即E( X )
二、连续型随机变量的数学期望
定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 如果积分
例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量；
在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度；
考察南宁市居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差 异程度；
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字 特征是重要的 .而所谓的数字特征就是用数字表示 随机变量的分布特点。
第四章、随机变量的数字特征
第一节：数学期望 第二节：方差 第三节：协方差及相关系数 第四节：矩、协方差矩阵
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全 部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
即
E( X ) xk pk
k 1
请注意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收
敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。
例1、（0-1）分布的数学期望
X服从0-1分布，其概率分布为
X
01
P 1-p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p
若X 服从参数为 p 的0-1分布， 则E(X) = p
E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx
E (Y
)
E[g(
X
)]
g( xk ) pk ,
k 1
X离散型
g(x)
f
( x)dx,
X连续型
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不 必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.
7
90 1 85 2 80 2 75 1 60 1
7
7
7
7
7
79.3
以频率为权重的加权平均
定义1 设X是离散型随机变量，它的分布率是:
P{X=xk}=pk , k=1,2,…
若级数 xk pk 绝对收敛，则称级数 xk pk
k 1
k 1
的和为随机变量X的数学期望，记为 E( X ),
在这些数字特征中，最常用的是
数学期望、方差、协方差和相关系数
第一节
数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 小结
一、离散型随机变量的数学期望
引例：某7人的数学成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60
F
(
x
)
1
e
x
x0
0
x0
N min( X1, X2 ) 的分布函数为
Fmin ( x)
1 [1
F ( x)]2
1
2x
e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x0
0
x0
于是N的概率密度为
fmin
(
x)
2
2x
e
x0
0
x0
E(N
)
xfmin
(
x)dx
0
2x
2x
e dx
2
三、随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出： 设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X 的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？
x
dx a b
a ba
2
即数学期望位于区间(a , b)的中点.
例5 有2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命Xk
(k 1,2)服从同一指数分布,其概率密度为
f
(
x)
1
x
e
x 0,
0 x 0,
0
若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机
寿命(以小时计) N 的数学期望.
解 Xk (k 1,2)的分布函数为
例3 按规定,某车站每天
8:00~9:00,9:00~10:00
都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者
到站的时间相互独立。其规律为：
到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50
概率
1/6 3/6 2/6
一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.
解：设旅客的候车时间为X (以分计),其分布率为
一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概 率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦 我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把 E[g(X)]计算出来.
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X) 的分布，一般是比较复杂的 .
那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的 分布求得E[g(X)]呢？
X 10 30 50 70 90
3 pk 6 上表中例如
2 11 13 12 6 66 66 66
P{ X 70} P( AB) P( A)P(B) 1 3 66
其中A为事件"第一班车8 :10到站", B为事件"第二班车
9 : 30到站".候车时间X的数学期望为
E( X ) 10 3 30 2 50 1 70 3 90 2 27.22分
xf (x)dx
绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望, 即
E( X ) x f (x)dx
请注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛 的积分.
例4 设X ~ U(a,b),求E( X ).
解 X的概率密度为
f
(
x
)
b
1
a
a xb
0 其它
X的数学期望为
b
E( X ) xf ( x)dx