平面向量的应用ppt课件
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《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT(第一课时余弦定理)
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3．在△ABC 中，若(a－ccos B)b＝(b－ccos A)a，判断△ABC 的形状．
解析：由余弦定理，原式可化为 (a－c·a2＋2ca2c－b2)b＝(b－c·b2＋2cb2c－a2)a， 整理得，(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2， 故 a2＋b2－c2＝0 或 a2＝b2， 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
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知识点二 余弦定理的推论 预习教材，思考问题 在△ABC 中，已知三条边，如何求出其三个内角？
[提示] 可将余弦定理中的三个公式变形为 cos A＝b2＋2cb2c－a2，cos B＝a2＋2ca2c－b2， cos C＝a2＋2ba2b－c2，在结合三角形内角和定理求解．
(2)把 b＝3，c＝3 3，B＝30°代入 b2＝a2＋c2－2accos B，可得 32＝a2＋(3 3)2－
2a·3 3·cos 30°，即 a2－9a＋18＝0，解得 a＝6 或 a＝3.
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已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边的夹角，还是其中 一边的对角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一 边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三条边．
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[教材提炼] 知识点一 余弦定理 预习教材，思考问题 (1)已知一个三角形的两条边及其它们的夹角，这个三角形的大小、形状能完全确定 吗？
6.1 平面向量的概念 课件(共21张PPT)
规定： 0 和任意向量平行.
（2）相等向量—长度相等且方向相同的向量，记作 a=b .
（3）共线向量—就是平行向量.
二、探究本质 得出新知
问题12：平行向量所在直线是否一定平行？共线向量所在直线 是否一定共线？
提示：不一定
总结：向量可以自由平移.
三、举例应用 掌握定义
例1.一辆汽车从点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又 改变方向向西偏北 50 走了200千米到达C点，最后又改变方向， 向东行驶了100千米到达点D． (1)作出向量 AB, BC,CD ； (2)求 AD .
其中正确的有( A )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解:①正确;
②由 a = b 得 a 与 b的模相等,但不确定方向,故②错误;
③错误; ④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不 正确;⑤正确.故选A.
四、学生练习 加深理解
3.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC,CA的中点，在以 A, B,C, D, E, F 为起点和终点的向量中．
（1）找出与向量 EF 相等的向量； （2）找出与向量 DF 共线的向量．
四、学生练习 加深理解
解：（1）因为 E, F分别为 BC,CA 的中点，所以 EF//BA ，
且
EF
1 2
BA
.又因为
D
是BA
的中点，所以
EF
BD
DA，所以
与 EF 向量相等的向量为BD, DA .
（2）因为 D, F 分别为 BA, AC 的中点，
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一、创设情境 引入新课
问题1：道路标识牌上的箭头和数字指的是什么？ 问题2：老鼠由点A向东北方向逃窜，猫快速由点B向正东
（2）相等向量—长度相等且方向相同的向量，记作 a=b .
（3）共线向量—就是平行向量.
二、探究本质 得出新知
问题12：平行向量所在直线是否一定平行？共线向量所在直线 是否一定共线？
提示：不一定
总结：向量可以自由平移.
三、举例应用 掌握定义
例1.一辆汽车从点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又 改变方向向西偏北 50 走了200千米到达C点，最后又改变方向， 向东行驶了100千米到达点D． (1)作出向量 AB, BC,CD ； (2)求 AD .
其中正确的有( A )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解:①正确;
②由 a = b 得 a 与 b的模相等,但不确定方向,故②错误;
③错误; ④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不 正确;⑤正确.故选A.
四、学生练习 加深理解
3.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC,CA的中点，在以 A, B,C, D, E, F 为起点和终点的向量中．
（1）找出与向量 EF 相等的向量； （2）找出与向量 DF 共线的向量．
四、学生练习 加深理解
解：（1）因为 E, F分别为 BC,CA 的中点，所以 EF//BA ，
且
EF
1 2
BA
.又因为
D
是BA
的中点，所以
EF
BD
DA，所以
与 EF 向量相等的向量为BD, DA .
（2）因为 D, F 分别为 BA, AC 的中点，
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一、创设情境 引入新课
问题1：道路标识牌上的箭头和数字指的是什么？ 问题2：老鼠由点A向东北方向逃窜，猫快速由点B向正东
1.4 空间向量的应用 课件(可编辑图片版)(共31张PPT)
(2，－1,1)．
[方法技巧] 求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求→n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量→n ＝(x，y，z)的某个坐标为某特定 值时一定要注意这个坐标不为 0.
解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
题型一 求平面的法向量
如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝1，试建立适当的坐标系． 2
(1)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
[方法技巧] 1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下 两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合． 2．与直线 l 平行的任意非零向量→a 都是直线的方向向量，且直 线 l 的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点 A 和非零向量→a ，就可以确定唯一一 条过点 A 且平行于向量→a 的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等， 因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－
1 6
，
1 3
，－1)，n＝
(12，－1,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D. 答案：D
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－ 6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
平面向量的应用PPT课件
（4）点 P 满足：OP OA ( AB AC ) ， (0, ) ，则
| AB | | AC |
点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( B )
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
第10页/共29页
例3.
1）、在ABC中AB • BC 0,则ABC为
三角形
2）、在ABC中BC
• CA
2
BC
变式：若AC 10，求BD长度
第14页/共29页
3．(【093天】3．津()09在天四津边)形在A四BC边D形中A，BCADB 中= D，CA=B（=1D，C1）=，（1，1），
|
1 BA
|
BA
1
|
BB1CA|BC1
|
3
BDC
BD
|
，3则B四D边，形则AB四C边D 形
ABCD
| BA | 3 | BC | | BD |
的面积是
2
解：由题的知面四积边是形ABCD是菱形，其边长为 2,
A
D
B
C
第15页/共29页
平面向量的应用（3）
第16页/共29页
例 1.已知 ABC 中, AB 2, AC 3， (1)若O为 ABC 的垂心，求 AO BC ； (2)若O为 ABC 的重心，求 AO BC ； (3)若O为 ABC 的外心，求 AO BC .
9.（2013
浙江卷理
7）设
ABC,
P0
是边
AB
上一定点，满足
P0 B
1 4
AB
，
且对于边 AB 上任一点 P ，恒有 PB • PC P0B • P0C 。则
A. ABC 900 B. BAC 900 C. AB AC D. AC BC
| AB | | AC |
点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( B )
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
第10页/共29页
例3.
1）、在ABC中AB • BC 0,则ABC为
三角形
2）、在ABC中BC
• CA
2
BC
变式：若AC 10，求BD长度
第14页/共29页
3．(【093天】3．津()09在天四津边)形在A四BC边D形中A，BCADB 中= D，CA=B（=1D，C1）=，（1，1），
|
1 BA
|
BA
1
|
BB1CA|BC1
|
3
BDC
BD
|
，3则B四D边，形则AB四C边D 形
ABCD
| BA | 3 | BC | | BD |
的面积是
2
解：由题的知面四积边是形ABCD是菱形，其边长为 2,
A
D
B
C
第15页/共29页
平面向量的应用（3）
第16页/共29页
例 1.已知 ABC 中, AB 2, AC 3， (1)若O为 ABC 的垂心，求 AO BC ； (2)若O为 ABC 的重心，求 AO BC ； (3)若O为 ABC 的外心，求 AO BC .
9.（2013
浙江卷理
7）设
ABC,
P0
是边
AB
上一定点，满足
P0 B
1 4
AB
，
且对于边 AB 上任一点 P ，恒有 PB • PC P0B • P0C 。则
A. ABC 900 B. BAC 900 C. AB AC D. AC BC
《平面向量的应用》平面向量及其应用 PPT教学课件 (第二课时正弦定理)
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同理，过点 C 作与C→B垂直的单位向量 m，可得sinc C＝sinb B. 因此sina A＝sinb B＝sinc C. 在钝角三角形中的这个边角关系也成立．
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知识梳理 正弦定理
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法二：由sina A＝cobs B＝cocs C 得sina A＝cobs B＝cocs C，① 把 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C 代入①， 得 2R＝2Rtan B＝2Rtan C， ∴tan B＝tan C＝1， 又 0°<B<180°，0°<C<180°， ∴B＝C＝45°，A＝90°， ∴△ABC 为等腰直角三角形．
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[教材提炼] 知识点一 正弦定理 预习教材，思考问题 (1)在△ABC 中，若 A＝30°，B＝45°，AC＝4，你还能直接运用余弦定理求出边 BC 吗？
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2．在△ABC 中，A＝45°，B＝30°，a＝10，则 b＝( )
A．5 2
B．10 2
C．10 6
D．5 6
解析：由正弦定理sina A＝sinb B得 b＝assiinnAB＝10s×insi4n5°30°＝5 2.
答案：A
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3．在△ABC 中，若 A＝30°，a＝2，b＝2 3，则此三角形解的个数为( )
平面向量应用举例课件PPT
解： (1)粒子 b 相对于粒子 a 的位移 s＝sb－sa＝(4,3)－(3，－4)＝ (1,7)． (2)设 s 与 sa 的夹角为 θ，则 s 在 sa 方向上的投影为 |s|cos θ＝|s||ss|··s|saa|＝s|s·saa| ＝1×33＋2＋7×－4－24＝－5.
误区解密 推理不严谨而出错 【例题】 三角形 ABC 中，设B→C＝a，C→A＝b，A→B＝c，若 a·b ＝b·c＝c·a，请确定三角形 ABC 的形状．
典例剖析 知识点 1 用向量解答几何问题
【例 1】 已知两定点 A(－2,0)，B(2,0)，P 是圆 C：(x－5)2＋ (y－12)2＝4 上的一个动点，求|PA|2＋|PB|2 的最大值和最小值．
思路点拨：用向量运算，把|PA|2＋|PB|2 转化为只与一个变量 (|O→P|)有关的式子，在根据|O→C|－|P→C|≤|O→P|≤|O→C|＋|P→C|可求得最 大值与最小值．
③过点 P0(x0，y0)且与向量 a＝(m，n)垂直的直线的方程为 m(x －x0)＋n(y－y0)＝0.
3．向量方法解决物理问题的步骤： ①认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的关系． ②通过抽象、概括，把物理现象转化为向量问题． ③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的 解． ④利用这个结果，对原物理现象作出解释.
5．功是力与_位__移___的数量积．
自主探究 已知直角三角形的两直角边长分别为 10 和 12，求两直角边上 的中线所夹的锐角的余弦值．
解： 如图，设直角三角形 ABC 的∠C＝90°，D，E
分别是 BC，AC 边的中点，BC＝10，AC＝12. 则 CD＝5，CE＝6. 所以|A→D|＝ 122＋52＝13， |B→E|＝ 62＋102＝ 136. A→D·B→E＝(A→C＋C→D)·(B→C＋C→E) ＝0＋12×6×(－1)＋5×10×(－1)＋0＝－122. 于是 cos〈A→D，B→E〉＝|AA→→DD|·|BB→→EE|＝13－×122234＝－6144234.
误区解密 推理不严谨而出错 【例题】 三角形 ABC 中，设B→C＝a，C→A＝b，A→B＝c，若 a·b ＝b·c＝c·a，请确定三角形 ABC 的形状．
典例剖析 知识点 1 用向量解答几何问题
【例 1】 已知两定点 A(－2,0)，B(2,0)，P 是圆 C：(x－5)2＋ (y－12)2＝4 上的一个动点，求|PA|2＋|PB|2 的最大值和最小值．
思路点拨：用向量运算，把|PA|2＋|PB|2 转化为只与一个变量 (|O→P|)有关的式子，在根据|O→C|－|P→C|≤|O→P|≤|O→C|＋|P→C|可求得最 大值与最小值．
③过点 P0(x0，y0)且与向量 a＝(m，n)垂直的直线的方程为 m(x －x0)＋n(y－y0)＝0.
3．向量方法解决物理问题的步骤： ①认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的关系． ②通过抽象、概括，把物理现象转化为向量问题． ③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的 解． ④利用这个结果，对原物理现象作出解释.
5．功是力与_位__移___的数量积．
自主探究 已知直角三角形的两直角边长分别为 10 和 12，求两直角边上 的中线所夹的锐角的余弦值．
解： 如图，设直角三角形 ABC 的∠C＝90°，D，E
分别是 BC，AC 边的中点，BC＝10，AC＝12. 则 CD＝5，CE＝6. 所以|A→D|＝ 122＋52＝13， |B→E|＝ 62＋102＝ 136. A→D·B→E＝(A→C＋C→D)·(B→C＋C→E) ＝0＋12×6×(－1)＋5×10×(－1)＋0＝－122. 于是 cos〈A→D，B→E〉＝|AA→→DD|·|BB→→EE|＝13－×122234＝－6144234.
平面向量应用举例PPT课件
化的主要手段是向量的坐标运算.( )
(4)在△ABC中，若
则△ABC为钝角三角形.( )
AB AC，
AB BC＜0，
【解析】( 1)正确 .因为
有相同 的起点 A，故 A，B， C三点 共线， 故正确.
(2)正确. 解析几 何中的 坐标、 直线平 行、垂 直、长 度等问 题可利 用向量 的共线 、数量 积、模 等知识 解决， 故正确.
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6 【解析】 选B.由 题意可 知，
则CM CB
CM CB＝(CA＋1 AB) CB 3
＝CA CB＋1 AB CB 3
＝0＋1 3 2 3cos45＝3. 3
BM＝2MA，
4.在△ABC中，已知向量 满足 则△ABC为( )
(A)等边三角形 (C)等腰非等边三角形 (D)三边均不相等的三角形
1.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3( 单位： 牛顿) 的作用 而处于平衡状态，已知F1,F2成60°角， 且F1,F2的大小 分别 为2和4，则F3的大小为( ) 【解析】选D.|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,所 以|F3|= 选D.
A6B2C2 5D2 7
②用含θ 的关系 式表示m,n，然 后转化 为三角 函数的 最值问 题
求解.
| BC BA | 2
【规范解答】(1)选C.已知a=(1,cos θ)，b=(-1,2cos θ)， ∵a⊥b， ∴a·b=0， ∴-1+2co s2θ=cos 2θ= 0，故 选C.
2① | BC BA |2 | AC |2 ( 2cos 1)2 ( 2sin 1)2
AB AC且AB,AC
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《平面向量的综合应用》课件ppt
C.－38
D.－14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)， 则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)， 所以P→B＝(1－x，－y)， P→A＋P→C＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)， 故(P→A＋P→C)·P→B＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2x－342＋2y－122－58， 所以当 x＝34，y＝12时，平面向量与复数
§5.4 平面向量的综合 应用[培优课]
题型一 平面向量在几何中的应用
例 1 (1)如图，在△ABC 中，cos∠BAC＝14，点 D 在线段 BC 上，且 BD ＝3DC，AD＝ 215，则△ABC 的面积的最大值为____1_5__.
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 因为 BD＝3DC，A→D＝14A→B＋34A→C， 又 AD＝ 215，cos∠BAC＝14， 所以A→D2＝14A→B＋34A→C2＝116c2＋196b2＋38bccos∠BAC ＝116c2＋196b2＋332bc，
试用
a，b
表示D→E为__32_b_－__12_a_，若A→B⊥D→E，则∠ACB
π 的最大值为___6___．
D→E＝C→E－C→D＝32b－12a， A→B＝C→B－C→A＝b－a， 由A→B⊥D→E得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b， 所以 cos∠ACB＝|aa|·|bb|＝34b|2a＋||ba| 2≥24|3a||a|b|||b|＝ 23，
又145＝116c2＋196b2＋332bc＝41c2＋43b2＋332bc≥2×14c×43b＋332bc＝1352bc， 当且仅当c＝3b时，等号成立. 所以 bc≤8，又 sin∠BAC＝ 415， 所以 S△ABC＝12bcsin∠BAC≤12×8× 415＝ 15.
2024版中职数学平面向量的概念ppt课件
01向量的定义向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
02向量的表示方法向量可以用小写字母或大写字母加箭头表示，如$vec{a}$或$overset{longrightarrow}{AB}$。
03向量的模向量的大小称为向量的模，记作$|vec{a}|$，模长是一个非负实数。
向量定义及表示方法03向量的模长等于有向线段的长度，可以通过勾股定理或三角函数计算。
向量的模长向量与正方向（通常是x 轴正方向）的夹角称为向量的方向角，记作$theta$，取值范围是$[0, pi]$或$[0, 180^circ]$。
方向角向量与坐标轴正方向的夹角的余弦值称为向量的方向余弦，可以通过方向角计算得到。
方向余弦向量模长与方向角模长为0的向量称为零向量，记作$vec{0}$，零向量没有方向。
零向量单位向量相反向量模长为1的向量称为单位向量，单位向量具有确定的方向。
与给定向量大小相等、方向相反的向量称为相反向量，记作$-vec{a}$。
030201零向量、单位向量和相反向量向量共线与平行关系向量共线如果两个向量在同一直线上或者平行于同一直线，则称这两个向量共线。
共线向量满足$vec{a} = kvec{b}$（$k$为实数）。
向量平行如果两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行。
平行向量满足$vec{a} parallel vec{b}$。
共线与平行的关系在平面内，共线的向量一定平行，但平行的向量不一定共线。
加法定义两个向量相加，即将它们的对应分量相加得到新的向量。
几何意义向量的加法满足平行四边形法则或三角形法则，即两个向量相加的结果可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，或者可以表示为将其中一个向量的终点连接到另一个向量的起点的向量。
01减法定义02几何意义两个向量相减，即将被减数的各分量减去减数的对应分量得到新的向量。
向量的减法可以表示为将减数向量的终点连接到被减数向量的起点的向量，这个向量与减数向量方向相反，大小相等。
11《平面向量的应用》平面向量及其应用 PPT教学课件 (第四课时余弦定理、正弦定理应用举例)
解析：如图，在 A 处望 B 处的仰角 α 与从 B 处望 A 处的俯角 β 是内错角，根据水平 线平行，得 α＝β.
答案：B
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3．如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯
塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°，则
在△BCD 中，∠BDC＝120°，∠DBC＝30°，
由正弦定理 sin
B∠CBDC＝sin
D∠CDBC得
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DC＝BCsi·nsin∠∠BDDCBC＝40s×ins1in203°0°＝403 3 (m)． ∴甲楼高为 20 3 m，乙楼高为403 3 m.
答案：20 3 m
40 3 3m
∴AB＝ 46a.
答：蓝方这两支精锐部队之间的距离为
6 4 a.
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探究二 求高度问题 [例 2] 在平地上有 A、B 两点，点 A 在山坡 D 的正东，点 B 在山坡 D 的东南，而 且在 A 的南偏西 15°，且距 A 为 150 2 m 的地方，在 A 处测山坡顶 C 的仰角为 30°， 求山坡的高度．
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3．甲船在 A 处观察乙船，乙船在它的北偏东 60°的方向，两船相距 a 海里，乙船正 向北行驶，若甲船的速度是乙船速度的 3倍，则甲船应沿________方向行驶才能追 上乙船．
解析：如图，设到点 C 甲船追上乙船，甲船追上乙船所用的 时间为 t 小时，乙船的速度为 v 海里/小时． 则 BC＝vt，AC＝ 3vt，∠ABC＝120°， ∴在△ABC 中，由正弦定理sin B∠CCAB＝sin A∠CABC得
《平面向量的应用》课件
详细描述
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
平面向量的应用_课件
证明：等腰三角形的两个底角相等 。
如图，正方形ABCD的边长为a,E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三 等分点，AF与DE交于点M，求∠EMF的余弦值。
如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N.设AB=mAM,AC=nAN，求m+n的值 2
精品 课件
高中数学必修2
第六章 平面向量及其应用
平面向量的应用
新人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题、简单的力学问题及其 他一些实际问题的过程。
体会向量是一种处理几何问题、物理问题的有力工具 。 培养运算能力、分析和解决实际问题的能力 。
教学重点
向量方法在几何问题中的应 用 向量方法在物理中的应 用
几何性质及几何与向量的关系
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为 θ. 用向问量题解类型决常见平面所用几知何识问题的技巧
公式表示
线平行、 点共线等问题
垂直问题
夹角问题
共线向量定理 数量积的 运算性质
数量积的定义
a∥b⇔_a_＝__λ__b_⇔__x_1y__2_－__x_2_y_1_＝__0，其中a＝ (x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
a⊥b⇔a·b＝0⇔x_1_x_2_＋__y__1y__2_＝__0___，其中a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零
向量 cos θ＝________(θ为向量a，b的夹角)
，其中a，b为非零向量
长度问题
数量积的定义
向量方法解决平面几何问题的步骤
建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将 平面几何问题转化向为量__问__题____。
高中数学A版必修第二册专题一平面向量的综合应用-课件
3
3
m， ∠AOB 内，且∠AOC＝30°，所以设 C
3
m ，m>0，由O→C＝xO→A＋yO→B(x，y∈R)，可得 m，
3
m ＝
m＝x，
x＝m，
x(1，0)＋y(0，3)．由向量的坐标运算可得
3m＝3y，即 3
y＝
93m，所以yx＝
m 3 ＝3
m
9
3.故选 C.
专题1 平面向量的综合应用
刷难关
k－λ＝0，
k＝1， k＝－1，
所以
解得
或
又因为λ>0，所以 k＝1.
λk－1＝0， λ＝1， λ＝－1，
专题1 平面向量的综合应用
刷难关
13 ，
16．已知向量 a＝( 3，－1)，b＝ 2 2 .
(1)求与 a 平行的单位向量 c； (2)设 x＝a＋(t2＋3)b，y＝－k·ta＋b，若存在 t∈[0，2]，使得 x⊥y 成立，求 k 的取值范围．
3
3
2
2
1 cos∠DAB＝－ ，所以∠DAB＝120°.故选 C.
2
专题1 平面向量的综合应用
刷难关
8．在边长为 1 的正方形 ABCD 中，M 为边 BC 的中点，点 E 在线段 AB 上运动，则E→C·E→M的取值范围是
(C)
1 ，2
A. 2
3 0， B. 2
13 ，
C. 2 2
D．[0，1]
1 |C→D|的取值范围为__(_2_，__1__]．
解析
如图．∵E 为 Rt△ABC 中斜边 AB 的中点，AB＝2，∴CE＝1.∵C→D·C→E＝1，即|C→D|·|C→E|·cos∠ECD＝1，
1-7 平面向量的应用举例(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
4.几何法和坐标法
（1）几何法：
①选取适当的基（夹角、模易知），将题中涉及的向量用基表示；
②利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
2
3
2
3
6
2
由
又O为和 的公共点，∴ 点E，O，F在同一直线上.
1
＝ ＝ .
2
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必修第二册
湖南教育版
3.平面几何中的长度问题
例 3 如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.
求证：AF＝AE.
证明
如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（-1，1），B（0，1）.
（2）计算得出1 2 + 1 2＝0，从而得到⊥ ；
（3）给出几何结论AB⊥CD.
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必修第二册
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跟踪训练
1-1
（1）若M为△ABC所在平面内一点，且满足（- ）·（+ - 2）＝0，则△ABC为（ B ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
证明：（方法1）∵ 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴ 2|AC|＝ 2|BC|＝|AB|.
1
2
2
3
2
3
2
3
1
3
∵＝- ＝ - ，＝+ ＝+ ＝+ （- ）＝ + ，
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
4.几何法和坐标法
（1）几何法：
①选取适当的基（夹角、模易知），将题中涉及的向量用基表示；
②利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
2
3
2
3
6
2
由
又O为和 的公共点，∴ 点E，O，F在同一直线上.
1
＝ ＝ .
2
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3.平面几何中的长度问题
例 3 如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.
求证：AF＝AE.
证明
如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（-1，1），B（0，1）.
（2）计算得出1 2 + 1 2＝0，从而得到⊥ ；
（3）给出几何结论AB⊥CD.
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跟踪训练
1-1
（1）若M为△ABC所在平面内一点，且满足（- ）·（+ - 2）＝0，则△ABC为（ B ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
证明：（方法1）∵ 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴ 2|AC|＝ 2|BC|＝|AB|.
1
2
2
3
2
3
2
3
1
3
∵＝- ＝ - ，＝+ ＝+ ＝+ （- ）＝ + ，
数学《平面向量的应用》精讲课件PPT1
OB 2
故没有风时飞机的航速为150 2 km/h，航向为北偏西60°.
◆用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题的基本思路和方 法 （1）认真分析物理现象，把握物理量之间的相互关系； （2）通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题； （3）利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解； （4）利用这个结果，对物理现象作出解释.
常考题型
一 向量在平面几何中的应用 1.平面几何中的垂直问题
例1 如图，若点D是△ABC内一点，并且满足AB2+CD2＝AC2+BD2，求证： AD⊥BC.
【证明】 不妨设 AB ＝c， AC ＝b，AD ＝m，则 BD ＝ AD - AB ＝m-c，CD ＝ AD - AC ＝m-b. 因为AB2+CD2＝AC2+BD2， 所以c2+（m-b）2＝b2+（m-c）2， 即c2+m2-2m·b+b2＝b2+m2-2m·c+c2， 所以2m·（c-b）＝0，即2AD ·（ AB - AC ）＝0， 所以 AD ·CB ＝0，所以AD⊥BC.
训练题
如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ 3 ，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，
则ED＝
.
21 解析：以 A 为坐标原点，AD，AB 所在直线分别为 x 轴、y 轴
2
建立平面直角坐标系，则 A（0，0），B（0， 3 ），C（3， 3 ），D（3，
0）， AC ＝（3， 3 ）.设 AE ＝ AC ，则 E 的坐标为（3λ， 3 λ），故BE ＝
5 2
，
yB＝| AB |·sin（π-∠OAB）＝
3 2
，
∴
OC
＝
故没有风时飞机的航速为150 2 km/h，航向为北偏西60°.
◆用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题的基本思路和方 法 （1）认真分析物理现象，把握物理量之间的相互关系； （2）通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题； （3）利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解； （4）利用这个结果，对物理现象作出解释.
常考题型
一 向量在平面几何中的应用 1.平面几何中的垂直问题
例1 如图，若点D是△ABC内一点，并且满足AB2+CD2＝AC2+BD2，求证： AD⊥BC.
【证明】 不妨设 AB ＝c， AC ＝b，AD ＝m，则 BD ＝ AD - AB ＝m-c，CD ＝ AD - AC ＝m-b. 因为AB2+CD2＝AC2+BD2， 所以c2+（m-b）2＝b2+（m-c）2， 即c2+m2-2m·b+b2＝b2+m2-2m·c+c2， 所以2m·（c-b）＝0，即2AD ·（ AB - AC ）＝0， 所以 AD ·CB ＝0，所以AD⊥BC.
训练题
如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ 3 ，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，
则ED＝
.
21 解析：以 A 为坐标原点，AD，AB 所在直线分别为 x 轴、y 轴
2
建立平面直角坐标系，则 A（0，0），B（0， 3 ），C（3， 3 ），D（3，
0）， AC ＝（3， 3 ）.设 AE ＝ AC ，则 E 的坐标为（3λ， 3 λ），故BE ＝
5 2
，
yB＝| AB |·sin（π-∠OAB）＝
3 2
，
∴
OC
＝
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答案:D
3.将
y
2cos
x 3
6
的
图
象
按
向
量
a
4
,
2
.平
移
,则
平移后所得图象的解析式为( )
A.y
2cos
x 3
4
2
B.y
2cos
x 3
4
2
C
.y
2cos
x 3
12
2
D.y
2cos
x 3
12
2
解析:函数y2cos3x6的图象按向量a4,2平 移后所得图象解析式为y2cos13x462 2cos13x42,所以选A.
何元素,将平面几何问题转化为向量问题; ②通过运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; ③把运算结果“翻译”成几何关系.
【典例1】如图,正方形OABC两边AB､BC的中点分别为D和 E,求∠DOE的余弦值.
[分析]把∠DOE转化为向量夹角.
[解]解法一 : OD OA AD OA 1 AB,OE 2
AB
|
AB
|2 , OA
CB
2
OA
| OA
|2 ,
OD OE | AB |2 , 又 | OD |2 | OA |2 | AD |2
| AB |2 1 | AB |2 5 | AB |2 ,| OE |2 | OD | 2.
4
4
cos DOE ODoOE | AB |2 | AB |2 4 . | OD || OE | | OD |2 5 | AB |2 5 4
(x1,y1)=λ(x2,y2),即
(3)夹角公式cosθ=
ab
| a | | b(0| °≤θ≤180°).
(4)模长公式|a|= |a|2 x2y(2a=(x,y)).
(5)数量积性质|a•b|≤|a|•|b|.
2.向量应用的分类概述
(1)应用平面向量解决函数与不等式的问题,是以函数和不等 式为背景的一种向量描述,它需要掌握向量的概念及基本 运算,并能根据题设条件构造合适的向量,利用向量的“数” ､“形”两重性解决问题.
解法二:如图建立直角坐标系,设A(2,0),C(0,2),则 D(2,1),E(1,2).
OD OE 2112 4. |OD||OE| 5. 故cosDOE ODoOE 4 4.
|OD||OE| ( 5)2 5
[反思感悟]利用向量解几何题,关键是将有关线段设为向量, 不同的设法可出现不同的解法;或者建立平面直角坐标系, 用坐标法解之.利用向量解平面几何有时特别方便,但要注 意一点,不宜搞得过难,因为高考在这方面要求不高.
(2)用向量处理物理问题时,一般情况下应画出几何图形,结合 向量运算与物理实际进行解决.
考点陪练
1.(2010湖 北 )已 知ABC和 点 M满 足MAMBMC0. 若 存 在 实 数 m使 得ABACmAM成 立 ,则 m( ) A.2 B.3 C.4 D.5
解 析 :由 M A M B M C 0 得 点 M 是 A B C 的 重 心 ,A M 1(A B A C ),A B A C 3A M ,m 3 ,选 B .
2
=1005×1=1005.故选A.
答案:A
类型一
利用向量解决平面几何问题
解题准备:一般情况下,用向量解决平面几何问题,要用不共线 的向量表示题目所涉及的所有向量,再通过向量的运算法 则和性质解决问题.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几
(2)平面向量与三角函数的整合,仍然是以三角题型为背景的 一种向量描述,它需要根据向量的运算性质将向量问题转 化为三角函数的相关知识来解答,三角知识是考查的主体.
(3)平面向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为 背景的一种向量描述,它主要强调向量的坐标运算,将向量 问题转化为坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位置关 系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主体.
3
答案:B
2.(2010天津)如图,在ABC中,ADAB,BC 3BD,| AD|1,
则ACAD( )
A.2 3 C. 3
3
B. 3 2
D. 3
解析:因为ACBCBA 3BDBA,所以AC AD ( 3BDBA) AD 3BDADBAAD, 又ADAB,所以BAAD0,所以AC AD 3BDAD, 又BDADAB,所以AC AD 3BDAD 3(ADAB) AD 3AD2AB AD 3.
类型二
向量在解析几何的应用
解题准备:向量与解析几何结合的综合题是高考命题的热点, 解题的关键是正确把握向量与坐标之间的转化和条件的运
用.常见技巧有两个:一是以向量的运算为切入口;二是结合 向量的几何意义及曲线的有关定义作转化.
答案:A
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,O若B O Aa2
+a200O9 C ,且A､B､C三点共线(该直线不过点O),则
S2010等于( )
A.1005
B.1010
C.2010
D.2015
解析:由题2意01知0(Aa1､Ba､2C010三) 点共线,则a2+a2009=1.
∴S2010=
(4)平面向量在平面几何中的应用,是以平面几何中的基本图 形(三角形､平行四边形､菱形等)为背景,重点考查平面向量 的几何运算(三角形法则､平行四边形法则)和几何图形的 基本性质.
(5)平面向量在物理力学等实际问题中的应用,是以实际问题 为背景,考查学科知识的综合及向量的方法.
注意:(1)在解决三角形形状问题时,回答要全面､准确,处理四 边形问题时,要根据平行四边形或矩形､菱形､正方形及梯 形的性质处理.
OC CE OC 1 CB. 2
OD OE (OA 1 AB) (OC 1 CB)
2
2
OA OC 1 (AB OC OA CB) 1 AB CB.
2
4
O A O C , AB C B , O A O C 0, AB C B 0.
AB OC,OA CB,
Hale Waihona Puke ABOC2
平面向量的应用
回归课本
1.向量应用的常用结论 (1)两个向量垂直的充要条件 符号表示:a⊥b⇔a·b=0. 坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
(2)两个向量平行的充要条件
符号表示:若a∥b,b≠0,则a=λb.
坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b 或x1yxy121 -x2yxy212=, 0.
3.将
y
2cos
x 3
6
的
图
象
按
向
量
a
4
,
2
.平
移
,则
平移后所得图象的解析式为( )
A.y
2cos
x 3
4
2
B.y
2cos
x 3
4
2
C
.y
2cos
x 3
12
2
D.y
2cos
x 3
12
2
解析:函数y2cos3x6的图象按向量a4,2平 移后所得图象解析式为y2cos13x462 2cos13x42,所以选A.
何元素,将平面几何问题转化为向量问题; ②通过运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; ③把运算结果“翻译”成几何关系.
【典例1】如图,正方形OABC两边AB､BC的中点分别为D和 E,求∠DOE的余弦值.
[分析]把∠DOE转化为向量夹角.
[解]解法一 : OD OA AD OA 1 AB,OE 2
AB
|
AB
|2 , OA
CB
2
OA
| OA
|2 ,
OD OE | AB |2 , 又 | OD |2 | OA |2 | AD |2
| AB |2 1 | AB |2 5 | AB |2 ,| OE |2 | OD | 2.
4
4
cos DOE ODoOE | AB |2 | AB |2 4 . | OD || OE | | OD |2 5 | AB |2 5 4
(x1,y1)=λ(x2,y2),即
(3)夹角公式cosθ=
ab
| a | | b(0| °≤θ≤180°).
(4)模长公式|a|= |a|2 x2y(2a=(x,y)).
(5)数量积性质|a•b|≤|a|•|b|.
2.向量应用的分类概述
(1)应用平面向量解决函数与不等式的问题,是以函数和不等 式为背景的一种向量描述,它需要掌握向量的概念及基本 运算,并能根据题设条件构造合适的向量,利用向量的“数” ､“形”两重性解决问题.
解法二:如图建立直角坐标系,设A(2,0),C(0,2),则 D(2,1),E(1,2).
OD OE 2112 4. |OD||OE| 5. 故cosDOE ODoOE 4 4.
|OD||OE| ( 5)2 5
[反思感悟]利用向量解几何题,关键是将有关线段设为向量, 不同的设法可出现不同的解法;或者建立平面直角坐标系, 用坐标法解之.利用向量解平面几何有时特别方便,但要注 意一点,不宜搞得过难,因为高考在这方面要求不高.
(2)用向量处理物理问题时,一般情况下应画出几何图形,结合 向量运算与物理实际进行解决.
考点陪练
1.(2010湖 北 )已 知ABC和 点 M满 足MAMBMC0. 若 存 在 实 数 m使 得ABACmAM成 立 ,则 m( ) A.2 B.3 C.4 D.5
解 析 :由 M A M B M C 0 得 点 M 是 A B C 的 重 心 ,A M 1(A B A C ),A B A C 3A M ,m 3 ,选 B .
2
=1005×1=1005.故选A.
答案:A
类型一
利用向量解决平面几何问题
解题准备:一般情况下,用向量解决平面几何问题,要用不共线 的向量表示题目所涉及的所有向量,再通过向量的运算法 则和性质解决问题.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几
(2)平面向量与三角函数的整合,仍然是以三角题型为背景的 一种向量描述,它需要根据向量的运算性质将向量问题转 化为三角函数的相关知识来解答,三角知识是考查的主体.
(3)平面向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为 背景的一种向量描述,它主要强调向量的坐标运算,将向量 问题转化为坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位置关 系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主体.
3
答案:B
2.(2010天津)如图,在ABC中,ADAB,BC 3BD,| AD|1,
则ACAD( )
A.2 3 C. 3
3
B. 3 2
D. 3
解析:因为ACBCBA 3BDBA,所以AC AD ( 3BDBA) AD 3BDADBAAD, 又ADAB,所以BAAD0,所以AC AD 3BDAD, 又BDADAB,所以AC AD 3BDAD 3(ADAB) AD 3AD2AB AD 3.
类型二
向量在解析几何的应用
解题准备:向量与解析几何结合的综合题是高考命题的热点, 解题的关键是正确把握向量与坐标之间的转化和条件的运
用.常见技巧有两个:一是以向量的运算为切入口;二是结合 向量的几何意义及曲线的有关定义作转化.
答案:A
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,O若B O Aa2
+a200O9 C ,且A､B､C三点共线(该直线不过点O),则
S2010等于( )
A.1005
B.1010
C.2010
D.2015
解析:由题2意01知0(Aa1､Ba､2C010三) 点共线,则a2+a2009=1.
∴S2010=
(4)平面向量在平面几何中的应用,是以平面几何中的基本图 形(三角形､平行四边形､菱形等)为背景,重点考查平面向量 的几何运算(三角形法则､平行四边形法则)和几何图形的 基本性质.
(5)平面向量在物理力学等实际问题中的应用,是以实际问题 为背景,考查学科知识的综合及向量的方法.
注意:(1)在解决三角形形状问题时,回答要全面､准确,处理四 边形问题时,要根据平行四边形或矩形､菱形､正方形及梯 形的性质处理.
OC CE OC 1 CB. 2
OD OE (OA 1 AB) (OC 1 CB)
2
2
OA OC 1 (AB OC OA CB) 1 AB CB.
2
4
O A O C , AB C B , O A O C 0, AB C B 0.
AB OC,OA CB,
Hale Waihona Puke ABOC2
平面向量的应用
回归课本
1.向量应用的常用结论 (1)两个向量垂直的充要条件 符号表示:a⊥b⇔a·b=0. 坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
(2)两个向量平行的充要条件
符号表示:若a∥b,b≠0,则a=λb.
坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b 或x1yxy121 -x2yxy212=, 0.