抗混叠失真IIR数字滤波器的设计与仿真

㊀第３７卷第１期㊀㊀㊀㊀㊀佳木斯大学学报(自然科学版)㊀㊀Ｖｏｌ.３７Ｎｏ.１㊀２０１９㊀年０１月㊀㊀㊀ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉａｍｕｓｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ(ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ)㊀Ｊａｎ.㊀２０１９
文章编号:１００８－１４０２(２０１９)０１－０１２６－０５
抗混叠失真ＩＩＲ数字滤波器的设计与仿真①
刘文斐
(齐鲁师范学院物理与电子工程学院ꎬ山东济南２５０２００)
摘㊀要:㊀采用冲激响应不变法在ＩＩＲ数字高通和数字带阻滤波器的设计过程中ꎬ如果在模拟信号频带之间进行频带变换将会发生频谱混叠失真ꎬ如果将频带变换放在数字信号频带中进行则可以消除冲激响应不变法带来的频谱混叠失真问题ꎮ通过巴特沃斯数字带阻滤波器的设计实例提出了抗混叠失真的具体设计方法和步骤ꎬ由仿真结果可以看出ꎬ采用 数字－数字频带变换 的设计方法能够有效避免混叠现象发生ꎬ是一种有效可行的设计ＩＩＲ数字滤波器的方法ꎮ
关键词:㊀频谱混叠ꎻ冲激响应不变法ꎻ数字－数字频带变换
中图分类号:㊀ＴＰ３９１㊀㊀㊀㊀文献标识码:㊀Ａ
０㊀引㊀言
混叠失真[１]是指在信号采样过程中发生的频谱混叠现象ꎬ在对连续时间信号进行等间隔采样时ꎬ如果信号的最高频率成分大于采样频率的一半ꎬ即不满足奈奎斯特采样定理ꎬ那么采样后高于和低于采样频率的信号将混杂在一起ꎬ信号的频谱发生频谱分量的交叠现象ꎬ这就是频谱混叠失真ꎮ发生频谱混叠失真的信号将无法重建ꎬ也就是信号将无法从采样信号中进行恢复还原ꎮ
１㊀ＩＩＲ数字滤波器的设计中发生混叠失真的原因
㊀㊀ＩＩＲ(ｉｎｆｉｎｉｔｅｉｍｐｕｌｓｅｒｅｓｐｏｎｓｅ)滤波器是数字滤波器中的一种ꎮ数字滤波器按照系统的冲激响应的特点可以分成无限长单位冲激响应ＩＩＲ滤波器和有限长单位冲激响应ＦＩＲ(ｆｉｎｉｔｅｉｍｐｕｌｓｅｒｅ￣ｓｐｏｎｓｅ)滤波器ꎮＩＩＲ滤波器[２]具有结构简单㊁效率高㊁与模拟滤波器有对应关系㊁易于解析控制及计算机辅助设计等优点ꎬ与ＦＩＲ滤波器相比ꎬ相同阶次滤波效果更好ꎮ
ＩＩＲ数字滤波器一般采用间接设计的方法ꎮ间接法设计是利用模拟滤波器来设计数字滤波器ꎬ因为模拟滤波器的设计方法已经比较成熟ꎬ有完整的设计公式以及数据表格可以直接使用ꎬ使得数字滤波器的设计更为方便㊁高效和快捷ꎮ在利用模拟滤波器设计数字滤波器的间接法设计过程中ꎬ需要设计出归一化的原型模拟低通滤波器ꎬ然后将原型模拟滤波器的系统函数Ｈ(ｓ)数字化变换成所需要的数字滤波器的系统函数Ｈ(ｚ)ꎬ即把复数平面ｓ平面映射到ｚ平面上ꎮ模拟滤波器数字化方法较常采用的是冲激响应不变法和双线性变换法ꎮ冲激响应不变法[３]是从滤波器的单位抽样响应出发ꎬ使数字滤波器的单位抽样响应ｈ(ｎ)逼近模拟滤波器的单位抽样响应ｈ(ｔ)ꎬ频率间的变化是线性变换关系ꎬ克服了双线性变换法中非线性频率变换带来的临界频率点的频率畸变ꎬ所以是最简单㊁最直接的一种把ｓ平面映射到ｚ平面的映射方法ꎮ但是这种方法要求模拟滤波器是严格带限于抽样频率的一半ꎬ如果不满足该要求ꎬ数字滤波器的频率响应将产生混叠失真ꎮ
２㊀由冲激响应不变法产生混叠失真的解决方案
㊀㊀由于高通滤波器和带阻滤波器它们的幅度响应在频率大于抽样频率的一半时仍不衰减ꎬ即不是严格带限的ꎬ所以如果使用冲激响应不变法在设计的时候会发生频谱的混叠失真ꎮ基于该前提条件ꎬ是否冲激响应不变法不能够设计高通和带阻滤波器呢?如果需要使用冲激响应不变法进行设计怎
①收稿日期:２０１８－１０－３０
作者简介:刘文斐(１９８１－)ꎬ女ꎬ山东济南人ꎬ讲师ꎬ硕士ꎬ研究方向:语㊁声㊁图像处理ꎮ
第１期刘文斐:抗混叠失真ＩＩＲ数字滤波器的设计与仿真
样能够消除在设计过程中产生的频谱混叠失真呢?
经研究发现ꎬ如果使用 模拟－模拟频带变换 的方
法设计ＩＩＲ数字高通或者是带阻滤波器ꎬ冲激响应
不变法确实会产生混叠失真现象ꎬ但是如果使用 数
字－数字频带变换 的方法则不存在该问题ꎮ
所谓 模拟－模拟频带变换 [３]的方法是先由
给定的技术指标设计归一化样本的模拟低通滤波
器ꎬ然后利用模拟频带变换成其他模拟各种(低
通㊁高通㊁带通㊁带阻)滤波器ꎬ最后将模拟滤波器
数字化成相应的数字滤波器ꎬ频带变换在模拟信号
域中进行ꎬ对模拟滤波器的运算设计因为有公式和
表格直接使用ꎬ所以也是相对来说较常使用的一种
方法ꎮ与之相区别的 数字－数字频带变换 [３]的
方法是由给定的技术指标设计归一化样本的模拟
低通滤波器ꎬ然后直接数字化成为数字低通滤波
器ꎬ再将数字低通利用数字频带变换成其他各种通
带的数字滤波器ꎬ频带变换在数字信号域中进行ꎬ
需要找到不同数字频带间的函数关系ꎮ使用 数
字－数字频带变换 的方法能够克服冲激响应不
变法在模拟滤波器的数字化映射过程中的频谱混
叠ꎬ这是因为在这种方法中的数字化过程是将模拟
低通滤波器的系统函数映射为数字低通滤波器的
系统函数ꎬ模拟低通滤波器是严格带限于抽样频率
的一半的㊁是抗混叠的ꎬ所以不存在频率混叠失真
现象ꎮ
３㊀抗混叠滤波器设计实例
设计要求:设计一个巴特沃斯数字带阻滤波
器ꎬ其技术指标为:在通带频率小于６ｋＨｚ和大于
１４ｋＨｚ的范围内ꎬ衰减不大于２ｄＢꎬ阻带截止频率
分别为８ｋＨｚ和１２ｋＨｚꎬ阻带内衰减不小于２０ｄＢꎬ
抽样频率为４００ｋＨｚꎮ
对于巴特沃斯滤波器来说ꎬ通带的截止频率是
指幅频大小下降为最大值的０.７０７倍ꎬ即幅度衰减
３ｄＢ对应的频率值ꎬ给定的技术指标中的通带频率
不一定为通带截止频率ꎮ
根据计算滤波器阶数为:
Ｎ⩾ｌｇ(１００.１Ａｓ－１
１００.１Ｒｐ－１)/２ｌｇ(ｆｓｔ
ｆｐ)ʈ４.４５９３取Ｎ＝５
通带截止频率为
ｆｃ＝ｆｐ/２Ｎ１００.１ＲＰ－１ʈ５６６０４ｋＨｚ
其中ＲＰ＝２ｄＢꎬＡＳ＝２０ｄＢꎬｆｐ＝６ｋＨｚꎬｆｓｔ＝８ｋＨｚ
如果利用 模拟 模拟频带变换 的方法通过冲激响应不变法完成模拟滤波器的数字化过程设计ꎬ设计步骤为:
(１)将待求数字滤波器(ＤＦ)的设计指标转化为模拟低通滤波器(ＡＦ)的指标ꎻ
(２)求归一化模拟低通滤波器系统函数Ｈ(ｓ－)ꎻ(３)利用模拟频带变换将Ｈ(ｓ－)转化成待求带阻ＤＦ对应的样本ＡＦ的系统函数Ｈ(ｓ)ꎻ(４)利用冲激响应不变法将Ｈ(ｓ)转化为待求带阻ＤＦ的
Ｈ(ｚ)ꎮ
利用ＭＡＴＬＡＢ辅助设计ꎬ仿真设计结果ꎬ主要的设计流程和步骤为:
㊀㊀(１)利用[ＮꎬＷＣ]＝ｂｕｔｔｏｒｄ(ＷｐꎬＷｓꎬＲｐꎬＡｓ)函数ꎬ根据设计指标确定模拟低通滤波器的阶次Ｎ及截止频率ＷＣꎻ
(２)利用[ＢＳꎬＡＳ]＝ｂｕｔｔｅｒ(ＮꎬＷＣ)函数ꎬ创建模拟低通滤波器原型ꎬ得到模拟滤波器系统函数分子㊁分母系数向量ＢＳ和ＡＳꎻ
(３)利用[ＢꎬＡ]＝ｌｐ２ｂｓ(ＢＳꎬＡＳꎬＷＣꎬＢ)函数ꎬ将模拟低通滤波器转换为中心频率为ＷＣ㊁带宽Ｂ为的模拟带阻滤波器ꎻ
(４)利用[ＢｚꎬＡｚ]＝ｉｍｐｉｎｖａｒ(ＢꎬＡꎬＦｓ)函数ꎬ通过冲激响应不变法将模拟高通转化为数字带阻滤波器的系统函数分子㊁分母系数向量Ｂｚ和Ａｚꎻ(５)利用[Ｈꎬｗ]＝ｆｒｑｚｅ(ＢｚꎬＡｚ)函数ꎬ得到数字滤波器频率响应ꎮ
设计结果如图１所示ꎮ由设计结果可知ꎬ利用 模拟－
模拟频带变换 的方法通过冲激响应不变法完成模拟滤波器的数字化过程设计的带阻滤波器确实存在频谱混叠失真ꎬ不符合设计参数ꎬ达不到设计要求的ꎮ
图１㊀模拟频带变换法设计数字带阻滤波器频谱图
７２１
佳木斯大学学报(自然科学版)
２０１９年
为了消除频谱失真改变设计方法ꎬ利用 数字－数字频带变换 进行设计ꎬ其设计步骤为:(１)将待求数字滤波器(ＤＦ)的设计指标转化为模拟低通滤波器(ＡＦ)的指标ꎻ
(２)设计归一化模拟低通滤波器系统函数Ｈ(ｓ－
)ꎻ
(３)利用冲激响应不变法将Ｈ(ｓ－
)转化为数字低通滤波器ＤＦ的Ｈｌ(ｚ)ꎻ
(４)利用数字频带变换将Ｈｌ(ｚ)转化成待求带阻ＤＦ对应的系统函数Ｈ(ｚ)ꎮ
由以上流程可知ꎬ 数字－数字频带变换 的
实质就是从数字低通滤波器的Ｚ平面映射到另一个待求所需类型数字滤波器的ｚ平面的变化关系ꎬ关键点是找到Ｚ到ｚ的映射函数[３](３１８－３２１)Ｚ－１＝Ｇ(ｚ－１)ꎬ则有Ｈ(ｚ)＝Ｈｌ(Ｚ)Ｚ－１＝Ｇ(ｚ－１)
ꎮ
设Ｚ＝ｅｊθꎬｚ＝ｅｊωꎬ则数字低通映射为数字带
阻的映射函数[３]为
Ｚ
－１
＝
ｚ－２－
２α１＋ｋｚ－１＋１－ｋ
１＋ｋ
１－ｋ１＋ｋｚ－２－２α１＋ｋｚ－１
＋１其中
α＝ｃｏｓ(ωｐ２＋ωｐ１
２)ｃｏｓ(ωｐ２－ωｐ１２
)
ꎬｋ＝ｔａｎ(ωｐ２－ωｐ１２)ｔａｎθｐ
２θｐ为数字低通滤波器通带截止频率ꎬωｐ１㊁ωｐ２
为数字带阻滤波器通带截止频率ꎮ根据映射函数形式构建分子多项式Ｎ(ｚ)和分母多项式Ｄ(ｚ)ꎬ然后利用ＭＡＴＬＡＢ程序自定义映射函数关系ꎮ
其中Ｎ(ｚ)＝ｚ－２
－２α１＋ｋｚ－１＋１－ｋ１＋ｋ
ꎬＤ(ｚ)＝１－ｋ１＋ｋｚ－２－２α１＋ｋ
ｚ－１
＋１利用ＭＡＴＬＡＢ辅助设计的设计流程和步骤为
:
㊀㊀(１)利用[ＮꎬＷＣ]＝ｂｕｔｔｏｒｄ(ＷｐꎬＷｓꎬＲｐꎬＡｓ)函数ꎬ根据设计指标确定模拟低通滤波器的阶次Ｎ及截止频率ＷＣꎻ
(２)利用[ＢＳꎬＡＳ]＝ｂｕｔｔｅｒ(ＮꎬＷＣ)函数ꎬ创建模拟低通滤波器原型ꎬ得到模拟滤波器系统函数分子㊁分母系数向量ＢＳ和ＡＳꎻ
(３)利用[ＢｚꎬＡｚ]＝ｉｍｐｉｎｖａｒ(ＢꎬＡꎬＦｓ)函数ꎬ
通过冲激响应不变法将模拟高通转化为数字带阻
滤波器的系统函数分子㊁分母系数向量Ｂｚ和Ａｚꎻ(４)自定义[ｂｚꎬａｚ]＝ｍａｐｐｉｎｇ(ＢｚꎬＡｚꎬＮｚꎬＤｚ)映射函数ꎬ求数字频带变换关系ꎻ(５)调用ｍａｐｐｉｎｇ函数ꎬ将数字低通滤波器转换为数字带阻滤波器系统函数ꎻ(６)利用[Ｈꎬｗ]＝ｆｒｑｚｅ(ＢｚꎬＡｚ)函数ꎬ得到数字滤波器频率响应ꎮ
其中自定义ｍａｐｐｉｎｇ函数为:
ｆｕｎｃｔｉｏｎ[ｂｚꎬａｚ]＝ｍａｐｐｉｎｇ(ＢｚꎬＡｚꎬＮｚꎬＤｚ)
ｂｚｏｒｄ＝(ｌｅｎｇｔｈ(Ｂｚ)－１)ꎻ㊀％原系统函数分子阶数ｂｚｏｒｄ１＝(ｌｅｎｇｔｈ(Ｂｚ)－１)∗(ｌｅｎｇｔｈ(Ｎｚ)－１)ꎻ㊀％变换后系统函数分子阶数
ａｚｏｒｄ＝(ｌｅｎｇｔｈ(Ａｚ)－１)ꎻ㊀％原系统函数分母阶数
ａｚｏｒｄ１＝(ｌｅｎｇｔｈ(Ａｚ)－１)∗(ｌｅｎｇｔｈ(Ｄｚ)－１)ꎻ㊀％变换后系统函数分母阶数ｂｚ＝ｚｅｒｏｓ(１ꎬｂｚｏｒｄ１＋１)ꎻ㊀％分子系数向量初始化为０
ｆｏｒｋ＝０:ｂｚｏｒｄ㊀％求各多项式乘积结果㊀㊀ｐｌｎ＝[１]ꎻ㊀㊀ｆｏｒｌ＝０:ｋ－１㊀㊀㊀㊀ｐｌｎ＝ｃｏｎｖ(ｐｌｎꎬＮｚ)ꎻ㊀％求Ｎ(ｚ)的ｋ次乘积㊀㊀ｅｎｄ
㊀㊀ｐｌｄ＝[１]ꎻ
㊀㊀ｆｏｒｌ＝０:ｂｚｏｒｄ－ｋ－１㊀㊀㊀㊀ｐｌｄ＝ｃｏｎｖ(ｐｌｄꎬＤｚ)ꎻ㊀％求Ｎ(ｚ)的ｂｚｏｒｄ－ｋ次乘积
㊀㊀ｅｎｄ
㊀㊀ｂＺＺ＝Ｂｚ(ｋ＋１)∗ｃｏｎｖ(ｐｌｎꎬｐｌｄ)ꎻ㊀㊀ｂｚ＝ｂｚ＋Ｂｚ(ｋ＋１)∗ｃｏｎｖ(ｐｌｎꎬｐｌｄ)ꎻ㊀％分子多
项式系数向量求和
ｅｎｄ
ａｚ＝ｚｅｒｏｓ(１ꎬａｚｏｒｄ１＋１)ｆｏｒｋ＝０:ａｚｏｒｄ㊀㊀ｐｌｎ＝[１]ꎻ
㊀㊀ｆｏｒｌ＝０:ｋ－１㊀㊀㊀㊀ｐｌｎ＝ｃｏｎｖ(ｐｌｎꎬＮｚ)ꎻ㊀㊀ｅｎｄ
㊀㊀ｐｌｄ＝[１]ꎻ
㊀㊀ｆｏｒｌ＝０:ａｚｏｒｄ－ｋ－１㊀㊀㊀㊀ｐｌｄ＝ｃｏｎｖ(ｐｌｄꎬＤｚ)ꎻ㊀㊀ｅｎｄ
㊀㊀ａＺＺ＝Ａｚ(ｋ＋１)∗ｃｏｎｖ(ｐｌｎꎬｐｌｄ)ꎻ㊀㊀ａｚ＝ａｚ＋Ａｚ(ｋ＋１)∗ｃｏｎｖ(ｐｌｎꎬｐｌｄ)ꎻ％分母多项
式系数向量求和
ｅｎｄ
ａｚ１＝ａｚ(１)ꎻａｚ＝ａｚ/ａｚ１ꎻ
８
２１
第１期
刘文斐:抗混叠失真ＩＩＲ数字滤波器的设计与仿真
ｂｚ＝ｂｚ/ａｚ１ꎻ
构建映射函数ꎬ调用函数ｍａｐｐｉｎｇ()实现数字带阻滤波器ꎬ主要程序如下ꎮ
ａｌｐｈａ＝ｃｏｓ(ｐ０)ꎻ
ｋｌｐｈａ＝(ｔａｎ((Ｐ２－Ｐ１)/２))∗(ｔａｎ(Ｗｃ/２))ꎻｄ１＝－２∗ａｌｐｈａ/(１＋ｋｌｐｈａ)ꎻｄ２＝(１－ｋｌｐｈａ)/(１＋ｋｌｐｈａ)ꎻ
Ｎｚ＝[ｄ２ꎬｄ１ꎬ１]ꎻＤｚ＝[１ꎬｄ１ꎬｄ２]ꎻ
[ｂｚꎬａｚ]＝ｍａｐｐｉｎｇ(ＢｚꎬＡｚꎬＮｚꎬＤｚ)ꎻ
设计结果如图３所示ꎮ由频谱图可以看出ꎬ频
率小于６ｋＨｚ和大于１４ｋＨｚ的范围属于通带范围ꎬ在上通带频谱下降３ｄＢ的位置对应的频率大小约为５４００ｋＨｚꎬ接近于理论值ꎮ频率在８ｋＨｚ和
１２ｋＨｚ之间属于阻带ꎬ衰减大于２０ｄＢꎬ完全满足设计要求ꎮ
图２㊀
消除频谱混叠失真的数字带阻滤波器频谱图
图３㊀数字带阻滤波器设计对比图
９
２１
佳木斯大学学报(自然科学版)２０１９年
㊀㊀将利用 数字－数字频带变换 的方法实现的带阻滤波器的频谱与调用ＭＡＴＬＡＢ中滤波器函数直接实现带阻滤波器的设计结果进行对比ꎬ频谱对比图如图３所示ꎮ由图可知ꎬ利用这两种方法进行设计的结果都基本能满足设计要求ꎬ在通带截止频率的对应上ꎬ 数字－数字频带变换 的方法对应截止频率约为５４００ｋＨｚꎬ直接发设计对应截止频率约为６８００ｋＨｚꎬ相比较而言前者设计方法误差更小ꎬ更接近设计指标ꎮ另外ꎬ使用 数字－数字频带变换 的方法设计的切贝雪夫Ⅰ型滤波器阶数为５阶ꎬ而直接实现的滤波器阶数为６阶ꎬ所以后者设计的滤波器在过渡带的范围内具有更陡的衰减特性ꎬ阻带的截止特性也更良好ꎬ但前者设计滤波器因为阶数少所以实际电路实现更简单经济㊁成本更低ꎮ
４㊀结果分析及结论
通过巴特沃斯数字带阻滤波器的设计实例可以看出ꎬ利用 数字－数字频带变换 设计的数字滤波器可以满足设计要求ꎬ仿真结果与理论计算值吻合度较高ꎬ验证了设计的正确性ꎮ并且在完成设计任务㊁实现设计指标的同时消除了由冲激响应不变法将模拟滤波器系统函数映射为数字滤波器的系统函数时带来的频谱混叠失真的问题ꎬ是一种有效的抗混叠的设计方法ꎮ
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ＤｅｓｉｇｎａｎｄＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＡｎｔｉ－ａｌｉａｓＩＩＲＤｉｇｉｔａｌＦｉｌｔｅｒ
ＬＩＵＷｅｎ－ｆｅｉ
(ＳｃｈｏｏｌｏｆＰｈｙｓｉｃｓａｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇꎬＱｉｌｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＪｉｎａｎ２５０２００ꎬＣｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:㊀ＩｎｄｅｓｉｇｎｏｆＩＩＲｈｉｇｈ－ｐａｓｓａｎｄｂａｎｄ－ｓｔｏｐｄｉｇｉｔａｌｓｉｇｎａｌｆｉｌｔｅｒｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇꎬｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｉｍ￣ｐｕｌｓｅｉｎｖａｒｉａｎｃｅｐｒｏｃｅｄｕｒｅｗｉｔｈ'ａｎａｌｏｇ－ａｎａｌｏｇｆｒｅｑｕｅｎｃｙｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ'ｔａｋｅｓｓｐｅｃｔｒｕｍａｌｉａｓꎬｂｕｔｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆ'ｄｉｇｉｔａｌ－ｄｉｇｉｔａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｙｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ'ｃａｎａｖｏｉｄｓｐｅｃｔｒｕｍａｌｉａｓ.Ｔｈｅｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｓｔｅｐｓａｎｄｍｅｔｈｏｄｓｏｆｔｈｅａｎｔｉ－ａｌｉａｓＩＩＲｄｉｇｉｔａｌｆｉｌｔｅｒｄｅｓｉｇｎａｒｅｐｒｏｐｏｓｅｄｂｙｕｓｅｏｆＢｕｔｔｅｒｗｏｒｔｈｂａｎｄ－ｓｔｏｐｆｉｌｔｅｒꎬｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｍｅｔｈｏｄｉｓｓｕｉｔａｂｌｅｆｏｒＩＩＲｄｉｇｉｔａｌｆｉｌｔｅｒｄｅｓｉｇｎ.
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:㊀ｓｐｅｃｔｒｕｍａｌｉａｓꎻｉｍｐｕｌｓｅｉｎｖａｒｉａｎｃｅｐｒｏｃｅｄｕｒｅꎻｄｉｇｉｔａｌ－ｄｉｇｉｔａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｙｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ０３１。