浅谈单位圆在三角函数教学中的作用

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浅谈单位圆在三角函数教学中的作用

临猗中学 姚霞

单位圆是半径等于单位长的圆，而三角函数是以自变量为实数的函数；它们似乎没什么关系，在直角坐标系的媒介作用下，这两者的关系可谓“密不可分”。

与旧教材相比，课标教材中单位圆贯穿于三角函数教学始终，本文对此作一个探讨。

1．借单位圆定义任意角的三角函数。

如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(y x P 。

那么y 叫做α的正弦，记作αsin ，即y =αsin ；x 叫做α的余弦，记作αcos ，即

x =αcos ；

x

y 叫做α的正切，记作αtan ，即)0(tan ≠=x x y α。这样正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数；比大纲版的“距离比值”定义要简单直观，而且应用定义解决问题也非常简捷。如课本

第12页例1，求3

5π 的正弦、余弦和正切值。

解法过程：在直角坐标系中，作35π=∠AOB ，易知AOB ∠的终边与单位圆的交点坐标)23,21(-B ，所以2

135cos ,2335sin =-=ππ，335tan -=π，这样的解法学生易掌握好计算，只需找角的终边与单位圆的交点，用定义即可解决问题。

2．借单位圆来证明同角三角函数关系，让推导过程直观具体。

图1

图2 图3

2 如图3，以正弦线MP ，余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形，且OP=1，由勾股定理有：OM 2+MP 2=1，因此122=+y x ，即1sin cos 22=+αα；当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立。

再者，单位圆让学生求解知角一函数值，求其余两函数值不易出错。如课本19页

例6，已知5

3sin -=α，求αcos 、αtan 的值。

先利用正弦线找出α角的两条终边OP 、OQ ，然后再分第三、第四象限讨论，不易漏解，也不会出现5

4cos ±=α的错误写法。 3．借单位圆推导诱导公式。

大纲版从求三角函数值引入，把180°α±、α-、360°α-、90°α-的三角函数与α的三角函数关系作为诱导公式，并且把关于90°α-的诱导公式作为和（差）角公

式的推论给出。而课标版先考虑 απ+、 απ-、 α-、 απ-2

的终边与α终边的对称关系，再据三角函数定义导出所有诱导公式，既能很好地反映诱导公式的本质，又使它们成为一个有机的整体。另外，去掉360°α-的诱导公式（因为它与α-的诱导公式等价），增加了 απ+2

的诱导公式。 4．借单位圆讨论三角函数的性质。

①借助三角函数线可知：在[)︒︒90,0 内，正弦、余弦、正切的单调性。如：αsin 由0增大到1；αcos 由1减小到0；αtan 由0增大到+∞；

②随角α的变化，三角函数线的变化，知正余弦函数值域为[-1,1]，正切的值域为),(+∞-∞

③同理可知正弦、余弦的奇偶性。

角α与α-角对应的正弦线关于x 轴对称，余弦线重合，因此正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数。

5．借单位圆中函数线解方程与不等式。 如：已知2

1sin =α,求α。 在一个周期[]π2,0内有6

π或65π，推广到整个定义域内，则有ππk 26+或 Z k k ∈+,26

5ππ。

图5

图4

3 再如已知2

1sin >

α，求α范围。 先作“临界函数”线OP 、OQ ，

在[π2,0]内，6

π＜α＜65π；推广到整个定义域内，则ππk 26+＜α＜Z k k ∈+,265ππ 6．单位圆与向量结合，证明两角差的余弦 如：在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α、β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B ，则)sin ,(cos αα=，)sin ,(cos ββ=，由向量数量积的坐标表示，有OA ·OB =)sin ,(cos αα·)sin ,(cos ββ=βαcos cos +βαsin sin 设与的夹角为θ，则·

θcos =θcos =βαcos cos +βαsin sin ， 由图6知，πθβαk 2++=；由图7知，πθβαk 2+-=

于是z k k ∈±=-,2θπβα

所以θβαcos )cos(=-，也有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-。

有了差角的余弦做基础，结合诱导公式及同角间函数关系，可推导以下)cos(βα+、)sin(βα±、)tan(βα±、α2sin 、α2cos 、α2tan 等十一个公式。

综上，三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式、三角函数性质，两角差的余弦都可以借助单位圆得以更好学习与掌握；借助单位圆解三角方程与不等式，让学生体会数形结合的思想在解决问题中的作用。

图7

图6