chapter5 课后答案

310
D＝ − 165
− 165 − 60 351 − 78 − 78 ＝10562355 187
− 60
co
0 0 0 165 165 － 165 0 0 － 165 60 310
pi
pi
0 0
a
2 3
49 0
78 60 187
m
a1 ຫໍສະໝຸດ Baidu 2
pi
i
a1
a2
a3
ti
pi
a 3 li
0 0 0 0 105. 3 60 165. 3
列出矩阵如下：
根据最小二乘原理，测量方程的矩阵解为：
kh
T
[A A]
T
−1
2 ⎡ 5 A B=⎢ ⎣ − 0 .2 − 0 .5
w.
[
则
⎡L ⎤ ⎢ 1 ⎥ = AT A −1 AT B = ⎡0.0434 0.101⎤ ⎡4.1 ⎤ = ⎡0.182⎤ ⎢ 0.101 1.01 ⎥ ⎢0.04⎥ ⎢0.455⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎣ ⎣C ⎦
m
=0.0051
d12 1⎞ 1 ⎞ 2 ⎛ (ω )⎛ =ω σ + 2 σ + 2 ⎜ − ⎟σ Lσ 1 + ⎜ L + 2 ⎟ σ ω ω ω C⎠ d11d 22 ⎝ ω⎠ ⎝ C
2 2 L
1
2
2 1 C
0.101 = 3 2 × 0.0002 + 1 × 0.0052 − 2 0.0002 × 0.0052 9 0.0434 ×1.01
pi
0 0 0
pi
0
pi
0
课
a 1 li
a2 a3
a 2 li
0 0 0 －
108 0
0
kh
151. 8 0 0 78 0 －60 －60 91.8 －60
0
165
0
151.8 － 105.3 0 － 257.1
5 6
－78 0 －78
w.
Σ
351
ww
从而得正规方程组为
310z－165y－60z＝91.8 －165x+351y－78z＝－257.1 －60x－78y+187z＝165.3
1 ⎡1.29 3 ⎤ ⎡0.0434 0.101⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ AT A ⎣ 3 30⎦ ⎣ 0.101 1.01 ⎦
⎡ 0 .8 ⎤ 1 ⎤⎢ ⎥ = ⎡ 4 .1 ⎤ 0 . 2 ⎥ ⎥ ⎢0.04⎥ −1 ⎦⎢ ⎣ ⎦ ⎢ ⎦ ⎣− 0.3⎥
]
1 = 0.455 ， C = 2.2 C
v = B − Ay
∂f1 =1 ∂C1
∂f1 =0 ∂C 2
da
f1 (C1 , C 2 ) = C1 f 2 (C1 , C 2 ) = C 2
课
试求电容量的最可信赖值及其精度。 解：上述最后一个测量方程是非线性的，因为要化为线性的函数。为此将上述测量方程 式表示为下面的函数形式：
后
答
C1C2 = 0.1035 C1 + C2
kh
x＝0 y＝0 z＝0
课
[ t i × t i ]＝ t1 × t 1 + t 2 × t 2 +……+ t 7 × t 7 ＝9325.83 [1× R i ]＝1× R 1 +1× R 2 +……+1× R 7 ＝566.0 [ t i × R i ]＝ t 1 × R 1 + t 2 × R 2 +……+ t 7 × R 7 ＝20044.5
l1 = 0.2071 − 0.2070 = 0.0001
l2 = 0.2056 − 0.2060 = −0.0004
代入得
建立正规方程：
ww
w.
得正规方程组为
kh
0.249 x + 0.251y = 0.00025
[ai ai ] = 1×1 + 1×1 + 0.249 × 0.249 = 2.062 [aili ] = 1× 0.0001 + 1× (− 0.0019) + 0.249 × 0.00025 = −0.00174 [aibi ] = 1×1 + 1×1 + 0.249 × 0.251 = 1.0625 [bibi ] = 1×1 + 1×1 + 0.251× 0.251 = 2.063 [bili ] = 1× (− 0.0004) + 1× (− 0.0019) + 0.251× 0.00025 = −0.00224
91.8
D1 ＝ − 257.1
− 165 − 60 351 − 78 91.8 165.3 − 165 351 − 78 − 78 ＝1939545.9 187 − 60 187 91.8 − 257.1 ＝7838806.5 165.3
165.3 310 − 60 310
D2 ＝ − 165 − 257.1 − 78 ＝－5082990
2.062 x + 1.0625 y = −0.00174 1.0625 x + 2.063 y = −0.00224
da
x = 0.0001
后
答
⎛ 0.2070 × 0.2060 ⎞ l4 = 0.1035 − ⎜ ⎟ = 0.00025 ⎝ 0.2070 + 0.2060 ⎠
课
案
y = −0.0004
6 45.1 83.9 0
7 50.0
试求公式中的 a（单位 Ω ）和 b（单位 Ω / C ） 。 解：测量数值方程为 a + 19.1b = 76.30 a + 25.0b = 77.80 a + 30.1b = 79.75 a + 36.0b = 80.80 建立正规方程
则正规方程为
w.
解正规方程得
1 1 = 3 × 0.182 − × 0.455 = 0.394 3 ωC ⎞ 2 ⎟ ∂x ∂x ⎛ ∂x ⎞ 2 ⎟ σ2 σ σ 1 + ⎜ ⎟ σω 1 + 2ρ 1 L⋅ ∂L 1 L C ⎟ C ⎝ ∂ω ⎠ C ∂ ⎟ C ⎠
w.
案
网
co
σ
2
∑V =
2
n−t
=
0.0051 = 0.0051 3− 2
最可信赖值：
答
令正规方程组中
ww
w.
试求（1）L,C 及其方差；
（2） ω = 3Hz 时（ σ ω = 0.1Hz ）电抗值及其方差。 解： （1）根据题意列出测量方程如下：
根据测量方程列出误差方程组：
kh
1 = 129.5 Z 1 例 3 交流电路的电抗数值方程为 X = ωL − 在角频率 ωC
第五章
线性参数的最小二乘法
例 题
例1 已知某一铜棒的电阻－温度的函数关系为 R = a + bt ，通过试验，得到在七种不 同温度 t 下的电阻值如下： 序号 t/ C R/ Ω
。
1 19.1 76.3 0
2 25.0 77.8 0
3 30.1 79.7 5
。
4 36.0 80.8 0
5 40.0 82.3 5
f 3 (C1 , C2 ) = C1 + C2 C1C2 C1 + C2
f 4 (C1 , C2 ) =
w.
案
网
C1 + C2 = 0.4111
co
m
例 4
今有两个电容器，分别测量其电容量，然后又将其串联和并联测量，得到如下
∂f 2 =0 ∂C1 ∂f 3 =1 ∂C1
∂f 2 =1 ∂C 2 ∂f 3 =1 ∂C 2
ww
因此，铜棒的电阻－温度数值关系为 R = 70.76 + 0.288t 例2 试由下列测量方程组，求 x、y、z 的最可信赖值及其权。 权
da
7 a + 245.3b = 566.0 245.3a + 9325.8b = 20044.5
a＝70.76 Ω b＝0.288 Ω / C
。
后
[1× t i ]＝1× t 1 +1× t 2 +……+1× t 7 ＝245.3
2 T
σ 2 = 0.071
d11 = 0.0434 d12 = 0.101
课
2 σ2 1 = d 22σ = 1.01× 0.0051 ≈ 0.0052 C
令C =
w.
（2）当 ω = 3 （ σ ω = 0.1 ）时，电抗数值
ww
kh
2
1 ， z
x = ωL −
⎛ 2 ∂x ⎛ ∂x ⎞ 2 ⎜ 2 σx = ⎜ ⎟ σL +⎜ ⎜∂ 1 ⎝ ∂ω ⎠ ⎜ ⎝ C
答
[1×1]＝1×1+1×1+……+1×1＝7
w.
P1 ＝85 P2 ＝108
案
网
a + 40.0b = 82.35 a + 45.1b = 83.90 a + 50.0b = 85.10
P3 ＝49
co
m
85.1 0
x－y＝0.92 z－y＝1.35 z－x＝1.00 解：求正规方程组各系数，如下表所示。
w.
案
D1 1939545.9 = ≈ 0.184 D 10562355 D －5082990 y＝ 2 ＝ ≈ －0.481 D 10562355 D 7838806.5 z＝ 3 ＝ ≈ 0.742 D 10562355
x＝
网
co
D3 ＝ − 165 − 60
m
1 ) = v1 5C 1 0.2Ω − (2 L − ) = v2 2C 1 − 0.3Ω − ( L − ) = v3 C 0.8Ω − (5 L −
ww
L = 0.182 ，
da
⎡ 30 − 3 ⎤ AT A = ⎢ ⎥ = 29.7 ⎣− 3 1.29⎦ =
课
后
答
2 ⎡ 5 A A=⎢ ⎣ − 0 .2 − 0 .5
T
⎡ 5 − 0 .2 ⎤ 1 ⎤⎢ ⎥ ⎡ 30 − 3 ⎤ ⎥ ⎢2 − 0.5⎥ = ⎢− 3 1.29⎥ −1 ⎦⎢ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ 1 −1 ⎥
1⎤ ⎡ ⎢5 − 5 ⎥ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ A= 2 − ⎢ 2⎥ ⎥ ⎢ ⎢1 − 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣
⎡L ⎤ y =⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎣C ⎦
⎡v1 ⎤ ⎥ v=⎢ ⎢ v2 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣v3 ⎥
m
⎡0.8 ⎤ ⎡0.819 ⎤ ⎡− 0.019 ⎤ ⎥ = ⎢0.063 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ = 0.2 − 0.137 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎦ ⎦ ⎢ ⎣− 0.027 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣− 0.273⎥ ⎣− 0.3⎥ ⎡− 0.019⎤ ⎥ ∑V =V V = [− 0.019 0.063 − 0.027]⎢ ⎢0.063 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣− 0.028⎥
ww
按台劳级数将函数在 x0 、 y0 处展开，取一次项，则有
⎛ ∂f i ⎞ ⎛ ∂f i ⎞ f i (C1 , C2 ) = f i ( x0 , y0 ) + ⎜ ⎟y ⎟x + ⎜ ⎜ ∂C ⎟ ⎜ ∂C ⎟ 1 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
li = f i (C1 , C2 ) − f i ( x0 , y0 )
P4 ＝165
P5 ＝78 P6 ＝60
pi pi
0
a
2 1
1 2 3 4 5 6
1 0 0 1 0 －1
0 1 0 －1 －1 0
0 0 1 0
0 0 0 0.92 1.35
85 108 49
85 0
网
1
w.
78 60 0 1.00
案
1
答
Σ
i 1 2 3 4
da
a
2 2
后
pi a1 a 3
0 0 0 0
da
= (2.2 ) × 0.0052 = 0.122
4
2
后
2 σL = d11σ 2 = 0.0434 × 0.0051 ≈ 0.0002
⎛ 1⎞ 4 ⎜∂ ⎟ ⎛1⎞ 2 2 2 z ⎜ ⎟ σC = σ z = ⎜ ⎟ σ z = Cσ 2 1 z⎠ ⎜ ∂z ⎟ ⎝ C ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
答
d 22 = 1.01
1 ⎞ ⎛ 2 + ⎜ 0.182 + ⎟ × 0.1 = 0.0019 × 9 2 . 2 ⎝ ⎠
结果（单位 μF ） ：
2
C1 = 0.2071 C2 = 0.2056
kh w.
并令 x, y 为修正值。 令
为了将 f 4 化为线性函数关系， 令 C1 的近似值 x0 = 0.2070 ，C2 的近似值 y 0 = 0.2060 ，
x + y = −0.0019
网
l3 = 0.4111 − (0.2070 + 0.2060 ) = −0.0019
w.
co
(0.2070) ∂f 4 C12 = = = 0.251 2 ∂C2 (C1 + C2 ) (0.2070 + 0.2060 )2
2
m
2 ∂f 4 C2 (0.2060 )2 = = = 0.249 ∂C1 (C1 + C 2 )2 (0.2070 + 0.2060 )2
⎡ 0 .8 ⎤ ⎡ 5 ⎥ −⎢ 2 ⎢ = 0 .2 ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎦ ⎢ ⎣− 0.3⎥ ⎣ 1 − 0 .2 ⎤ ⎡0.182⎤ − 0 .5 ⎥ ⎥ ⎢0.455⎥ ⎣ ⎦ −1 ⎥ ⎦
w.
案
网
y = AT A AT B
[
]
−1
co
⎡ 0 .8 ⎤ ⎥ B=⎢ ⎢ 0 .2 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣− 0.3⎥
ω1 = 5Hz 时，测得 X 为 X 1 = 0.8Ω
ω 2 = 2 Hz 时，测得 X 为 X 2 = 0.2Ω
ω 3 = 1Hz 时，测得 X 为 X 3 = −0.3Ω
da
PZ =
X 1 = 5L −
课
后
Σ p i a 1 li ＝1
1 = 0.8Ω 5C 1 = 0.2Ω X 2 = 2L − 2C 1 X 3 = L − = −0.3Ω C