中南大学 期末考试概率论

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2016年中南大学本科生期末统一考试

概率论与数理统计

(满分:100分考试时间:100分钟)

考生注意事项

1.考试日期与时间:2016年1月6日10:00—11:40

2.答题前,考生须在试卷的指定位置上填写考生姓名、考生学院、专业班级、座位号、学号、任课老师等信息。

3、答题时,直接将答案书写在试题卷的相应位置上,在草稿纸上答题无效。

4、填(书)写部分必须使用黑色字迹签字笔书写,字迹工整、笔迹清晰。

5、考试结束后,将试题卷与草稿纸按规定交回。

(以下信息考生必须认真填写)

考生学号

考生姓名座位号

考生学院

专业班级

(以下信息由阅卷老师填写)

题号一二111213141516总分

得分

评卷人一、选择题:1~5小题,每小题3分,共15分。下列每题给出的四个选项中,只有

一个选项是符合题目要求的。请将答案填写在对应的括号内。

1、对于任意两事件A、B,同时出现的概率为()0

P AB=,则

(A)A、B互不相容(B)AB是不可能事件

(C)AB未必是不可能事件(D)()()

00

P A P B

==

2、设()

1

F x、()

2

F x是随机变量

1

X、

2

X的分布函数,为使()()()

12

F x aF x bF x

=-是某一个随机变量的分布函数,则下列值中可以取a、b分别为

(A)

3

5,

2

5-(B)

2

3,

2

3-(C)

1

2-,

3

2(D)

1

2,

3

2 3、设随机变量X、Y相互独立同分布,且{}{}1

11

2

P X P Y

=-==-=,{}{}1

11

2

P X P Y

====,下列各式成立的是

(A){}

1

2

P X Y==(B){}1

P X Y==(C){}

1

4

P X Y+==(D){}1

1

4

P XY==

4、设随机变量()

X t n

,()1,

Y F n

,给定()

00.5

αα<<,常数c满足{}

P X cα

>=,则{}2

P Y c>=

(A)α(B)1α

-(C)2α(D)12α

-

5、设随机变量X、Y不相关,2

EX=,1

EY=,3

DX=,则()

()2

E X X Y+-=

(A)-3(B)3(C)-5(D)5

二、填空题:6~10小题,共15分。请将答案填写在对应的横线上。

6、设A、B两个事件,且()0.4

P A=,()0.5

P B=,()0.2

P AB=

,则()

P AB= 7、设随机变量X、Y的数学期望均为2,方差分别为1和4,相关系数为0.5,则

根据切比雪夫不等式{}6

P X Y-≥≤_______________。

8、设一批零件的长度服从正态分布()2,N μσ,其中μσ、均未知。现从中抽取9个

零件,测得()()2

9

211i i x x cm =-=∑,则2σ置信度为0.9的置信区间为__________。

9、设12,,,n X X X 是总体(),X B n p 的一个样本,X 、2S 是样本均值和样本方

差,若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k =_________________。

10、设总体(),X U a b ,,a b 是未知参数,12,,,n X X X 是总体X 的一个样本,则a

的极大似然估计量是__________________。

三、计算题:11~15小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。。11、(本小题满分13分)

某实验室在器皿中繁殖出k 个细菌的概率为2

2!

k k P e k -=,且所繁殖的每个细菌为

甲类菌或乙类菌的概率相等。

(1)(8分)求器皿中所繁殖的都是甲类菌的概率;

(2)(5分)已知所繁殖的细菌全部为甲类菌,求恰有两个甲类菌的概率;

12、(本小题满分16分)

设(),X Y 的概率密度为()(),0,0,0,

x y ce

x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他。

(1)(3分)求常数c ;

(2)(7分)判断随机变量X 、Y 是否相互独立;(3)(6分)设{}min ,U X Y =,求U 的概率密度()U f u ;

13、(本小题满分14分)

天猫商城对某种商品的销售量做了统计,得知该商品的需求量X 服从正态分布()2,N μσ,且日平均销售量为40件,销售量在30到50之间的概率为0.5。商店每

售出一件商品获利70元,若进货量过大,则因资金积压,未卖出的商品每件损失100元。(注:()()0.6750.75,0.220.588Φ=Φ=)(1)(6分)求μσ、的值;

(2)(8分)为使平均利润最大,应该进货多少件?

14、(本小题满分15分)

设0.5、1.25、0.8、2.00是来自总体X 的一个样本的样本值,且ln Y X =服从正态分布(),1N μ。(注:正态分布()2,N μσ的分布函数为(

)()2

2

2x x

F x μσ--

=⎰)

(1)(4分)求随机变量X 的概率密度函数;(2)(7分)求X 的数学期望与μ的矩估计值;(3)(4分)求μ的置信度为0.95的置信区间;

15、(本小题满分12分)

设12,,,n X X X 是总体(),9X N μ 的一个样本,其中μ是未知参数,有假设检验问题00:H μμ=,10:H μμ≠。(注:0.050.0251.65, 1.96z z ==)(1)(5分)求对于显著性水平0.05α=的0H 的拒绝域;(2)(7分)若10μμμ=>,求上述检验犯第二类错误的概率β。

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