中南大学 期末考试概率论
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2016年中南大学本科生期末统一考试
概率论与数理统计
(满分:100分考试时间:100分钟)
考生注意事项
1.考试日期与时间:2016年1月6日10:00—11:40
2.答题前,考生须在试卷的指定位置上填写考生姓名、考生学院、专业班级、座位号、学号、任课老师等信息。
3、答题时,直接将答案书写在试题卷的相应位置上,在草稿纸上答题无效。
4、填(书)写部分必须使用黑色字迹签字笔书写,字迹工整、笔迹清晰。
5、考试结束后,将试题卷与草稿纸按规定交回。
(以下信息考生必须认真填写)
考生学号
考生姓名座位号
考生学院
专业班级
(以下信息由阅卷老师填写)
题号一二111213141516总分
得分
评卷人一、选择题:1~5小题,每小题3分,共15分。下列每题给出的四个选项中,只有
一个选项是符合题目要求的。请将答案填写在对应的括号内。
1、对于任意两事件A、B,同时出现的概率为()0
P AB=,则
(A)A、B互不相容(B)AB是不可能事件
(C)AB未必是不可能事件(D)()()
00
P A P B
==
或
2、设()
1
F x、()
2
F x是随机变量
1
X、
2
X的分布函数,为使()()()
12
F x aF x bF x
=-是某一个随机变量的分布函数,则下列值中可以取a、b分别为
(A)
3
5,
2
5-(B)
2
3,
2
3-(C)
1
2-,
3
2(D)
1
2,
3
2 3、设随机变量X、Y相互独立同分布,且{}{}1
11
2
P X P Y
=-==-=,{}{}1
11
2
P X P Y
====,下列各式成立的是
(A){}
1
2
P X Y==(B){}1
P X Y==(C){}
1
4
P X Y+==(D){}1
1
4
P XY==
4、设随机变量()
X t n
,()1,
Y F n
,给定()
00.5
αα<<,常数c满足{}
P X cα
>=,则{}2
P Y c>=
(A)α(B)1α
-(C)2α(D)12α
-
5、设随机变量X、Y不相关,2
EX=,1
EY=,3
DX=,则()
()2
E X X Y+-=
(A)-3(B)3(C)-5(D)5
二、填空题:6~10小题,共15分。请将答案填写在对应的横线上。
6、设A、B两个事件,且()0.4
P A=,()0.5
P B=,()0.2
P AB=
,则()
P AB= 7、设随机变量X、Y的数学期望均为2,方差分别为1和4,相关系数为0.5,则
根据切比雪夫不等式{}6
P X Y-≥≤_______________。
8、设一批零件的长度服从正态分布()2,N μσ,其中μσ、均未知。现从中抽取9个
零件,测得()()2
9
211i i x x cm =-=∑,则2σ置信度为0.9的置信区间为__________。
9、设12,,,n X X X 是总体(),X B n p 的一个样本,X 、2S 是样本均值和样本方
差,若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k =_________________。
10、设总体(),X U a b ,,a b 是未知参数,12,,,n X X X 是总体X 的一个样本,则a
的极大似然估计量是__________________。
三、计算题:11~15小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。。11、(本小题满分13分)
某实验室在器皿中繁殖出k 个细菌的概率为2
2!
k k P e k -=,且所繁殖的每个细菌为
甲类菌或乙类菌的概率相等。
(1)(8分)求器皿中所繁殖的都是甲类菌的概率;
(2)(5分)已知所繁殖的细菌全部为甲类菌,求恰有两个甲类菌的概率;
12、(本小题满分16分)
设(),X Y 的概率密度为()(),0,0,0,
x y ce
x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他。
(1)(3分)求常数c ;
(2)(7分)判断随机变量X 、Y 是否相互独立;(3)(6分)设{}min ,U X Y =,求U 的概率密度()U f u ;
13、(本小题满分14分)
天猫商城对某种商品的销售量做了统计,得知该商品的需求量X 服从正态分布()2,N μσ,且日平均销售量为40件,销售量在30到50之间的概率为0.5。商店每
售出一件商品获利70元,若进货量过大,则因资金积压,未卖出的商品每件损失100元。(注:()()0.6750.75,0.220.588Φ=Φ=)(1)(6分)求μσ、的值;
(2)(8分)为使平均利润最大,应该进货多少件?
14、(本小题满分15分)
设0.5、1.25、0.8、2.00是来自总体X 的一个样本的样本值,且ln Y X =服从正态分布(),1N μ。(注:正态分布()2,N μσ的分布函数为(
)()2
2
2x x
F x μσ--
=⎰)
(1)(4分)求随机变量X 的概率密度函数;(2)(7分)求X 的数学期望与μ的矩估计值;(3)(4分)求μ的置信度为0.95的置信区间;
15、(本小题满分12分)
设12,,,n X X X 是总体(),9X N μ 的一个样本,其中μ是未知参数,有假设检验问题00:H μμ=,10:H μμ≠。(注:0.050.0251.65, 1.96z z ==)(1)(5分)求对于显著性水平0.05α=的0H 的拒绝域;(2)(7分)若10μμμ=>,求上述检验犯第二类错误的概率β。