空间向量与立体几何测试题答案

空间向量与立体几何测试题

一、选择题

1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是答案：Ａ Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（ b ） Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++

Ｃ．111AD CC D C ++

Ｄ．11111

()2

AB CD AC ++

3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ d ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =····

4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，

且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（b ） Ａ．1

Ｂ．1-

Ｃ．

1

2

Ｄ．2- 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（b ） Ａ．4-

Ｂ．9

Ｃ．9-

Ｄ．

64

9

6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-，

，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ c ）

Ａ．一定共圆

Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面

7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，， 的中点，则2a 等于（b ） Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD ·

Ｃ．2FG

CA ·

Ｄ．2EF

CB · 8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，

12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（ a ）

Ａ．51122

--，，

Ｂ．51122

-，，

Ｃ．51122

--，，

Ｄ．51122

，，

9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为8

9

，则λ=（c ）

Ａ．2

Ｂ．2-

Ｃ．2-或

255 Ｄ．2或255

- 10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（d ） Ａ．7412⎛⎫- ⎪⎝⎭

，， Ｂ．(241)，，

Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，， 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ d ）

Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3

arccos

3

Ｄ．3arccos

6

12．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···；

②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面；

③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合．

正确的结论的个数为（ c ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 二、填空题

13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ． 答案：2221055⎛⎫- ⎪⎝⎭

，，

14．已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，

若由向量12

53OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A B C ，，共面，那么λ= ． 答案：

2

15

15．已知线段AB ⊥面α，BC α⊂，CD BC ⊥，DF ⊥面α于点F ，30DCF ∠=°，且D A ，在平面α的同侧，若2AB BC CD ===，则AD 的长为 ． 答案：22

16．在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为 ． 答案：

6

4

三、解答题

17．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试问是否存在实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立？如果存在，求出λμν，，；如果不存在，请写出证明．

答案：解：假设4123a a a a λμν=++成立． 1234(211)(132)(213)(325)a a a a =-=-=--=，，，，，，，，，，，∵， (22323)(325)λμνλμνλμν+--++--=，，，，∴． 22332235λμνλμνλμν+-=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，，，∴解得213λμν=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩

，，． 所以存在213v λμ=-==-，，使得412323a a a a =-+-． 18．如

图2，正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角．

解：建立如图所示的空间直角坐标系，

则113(000)(00)(002)222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

，，，，，，，，，，，a

A B a A a C a a ． 由于(100)=-，，n 是面11ABB A 的法向量，

11113

12cos 6023a

AC AC AC a AC ===⇒=，，·°n n n n

．

故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30°．

19．如图3，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，在

90ACB ∠=°，

侧棱12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点，点E 平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ，求点1A 到平面AED 的距离． 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设2CA a =，

则1221(200)(020)(001)(202)(1)333a a A a B a D A a E a a G ⎛⎫

⎪⎝⎭

，，，，，，，，，，，，，，，，，．

从而2(021)333a a GE BD a ⎛⎫

==- ⎪⎝⎭，，，，，．

由0GE BD GE

BD ⊥⇒=·，得1a =， 则1(202)(200)(111)A A E ，，，，，，，，．

自1A 作1A H ⊥面AED 于M ，并延长交xOy 面于H ，设(0)H x y ，，， 则1(22)A H x y =--，，

． 又(201)AD =-，

，，(111)AE =-，，． 由11

2(2)20(2)20A H AD x A H AE x y ⊥---=⎧⎧⇒⎨⎨⊥--+-=⎩⎩，，1

1x y =⎧⇒⎨=⎩，，得(110)H ，，．

又1111cos A M A A A A A M =，·111426

cos 23

26

A A

A A A H ==⨯=

，·． 20．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P Q ，分别是BC CD ，上的动点，且2PQ =，确定P Q ，的位置，使11QB PD ⊥．

解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP t =， 得22(2)CQ t =--，222(2)DQ t =---．

那么211(202)(022)(20)(22(2)20)B D P t Q t ---，，，，，，，，，，，，