第六讲：一阶隐式微分方程

若不能从(1)解出 y 的一阶导数，或者即使能解 出，但很难求解，则需要借助于其它办法进行讨论。
本节主要介绍三种类型隐式微分方程 的求解方法。
（1）不含 y （或 x）的方程 （2）可解出 x 的方程 （3）可解出 y 的方程
2
1、若方程（1）不含y，即 F(x,y/)0.
若原方程可表示为参数形式
p
1 2
x
C
,
y
2x
(
1 2
x
C
)
x2
2
(
1 2
x
C
)2
1 4
x
2
C x
C
2.
14
例7 求 方 程 yxy(y)的 通 解 .
(此 方 程 称 为 克 莱 洛 方 程 )
解 令 y/ p,原 方 程 写 为 yxp(p). （ 3）
若(p)二次可微且//(p)0,(3)两端
关于x求导得
p
p
x
dp dx
19
小 结 F(x,y,y/)0
（1）可解出 y 的方程 （2）可解出 x 的方程 ** 借助于一些变量代换 y / p ，可将 隐式形式的方程化为显式方程。
（3）不含 x （或 y）的方程
** 借助于一些变量代换，将隐式形式的 方程化为参数形式方程。
20
作业：P46 T1（2）（4）（6） (8) (10)
x y
(t)
,
/ (t)
(t为参数)
那么dx/(t)dt,
dy(t)dx(t)/(t)dt,
从 而 y ( t) / ( t) dt C.
3
故得原方程参数形式的解
x y
(t)
(t)/(t)dtC
.
(t为参数)
yx x 例1 求 方 程 ( ) 2 ( 2 1 ) 2 0 的 通 解 .
p/(p)ddxp,
化 简 得（ /(p)x） ddxp0,
15
由ddxp 0得到p C,从而有通解 y Cx (C).
取x /(p)0与（3）联立有
x y
/(p)0 . xp (p)
由 于 //(p)0,则 x/(p)0存 在 隐 函 数 pp(x),代 入 （ 3） 即 得 到 特 解
yxp(x)(p(x)).
16
yx y y 关 于 克 莱 洛 方 程 ( ) ， 我 们 有
（ 1） 克 莱 洛 方 程 的 通 解 由 原 方 程 的 y/换 成
任 意 常 数 得 到 ， 即 为
yxC (C).
（2）克莱洛方程的特解为参数形式
x y
/(p)0 . xp (p)
（p为参数）
此时，这个参数形式的特解又称为方
解 令y/ p,原方程写为
两端关于 y x求 2x导 p得 x22 (p)2.
p 2p x 2xddxp 2pddxp,
化 简 得（ px） ( 12d dx p)0,
px或 者ddxp 1 2.
13
将p
x代入方程y
2xp
x2
2
(p)2
得到特解
y
-1x.
2
由方程
d d
p x
1 2
知
于是原方程的通解为
xf( y,y/) . ( 4)
解法： 引入参数p y/,于是（4）等价于 xy/fp(y,p).
对x f(y,p)关于y求导，得
1
p
fy/(y,p)fp/(y,p)ddyp .
这个方程可化为显式形式，用前面类
似的方法能求出（1）的解。
7பைடு நூலகம்
yx y 例4 求 方 程 ( l n/ ) 1 的 通 解 .
.
(t为参数)
上 式 消 去 参 数 得 通 积 分 2 ( ) 2 1 .
5
例2： 求 方 程 x 3 y '3 3 x y ' 0 的 通 解 .
若方程（1）不含 x，即 F(y, y/)0, 则完全类似求解。
例3： 求 解 方 程 y 2 (1 -y') (2 y')2 .
6
2、若可从方程（1）解出 x，即
9
3、若可从方程（1）解出 y，即
yf( x,y/) . ( 2)
解法： 引入参数p y/,于是（2）等价于 yy/fp(x,p).
对y f(x,p)关于x求导，得 p fx/(x,p)fp/(x,p)ddxp.
10
从 上 式 解 出 d p ,若 能 求 得 解 dx
p p (x ,C ),
解 ：设 x cost,代 入 原 方 程 y/ cott,
4
原 那方 么程 d可 x表 示 为 sin参 (&数 t)d形 t式 , x y/ co s c ( o tt ) ( t).
dy mcos(t)dt,
从而 y sin t C .
故得原方程参数形式的解
xyC x
y
cos(t) msin(t)dtC
程的p积分曲线。而x /(p)0可直接
由（3）两端关于p求导得到。 17
例8 求 解 方 程 yxy1y'2.
思考：
求解方程x y y'
(y1')2
.
18
习题选讲
Ex1： yxy'lnx(xy')2. Ex2： yln(1y'2). Ex3： y'22yy'cotxy2 Ex4： y'3 x3(1y') Ex5： y'3y'2y'10. Ex6： x2(yxy')y(y')2.
y G
(p
f (x ,p ) ,x ,C )
0
，
再消去p ，得到原方程的通积分。
若只能从关于 d p 的方程求得解 dx
x (p ,C ),
则原方程有参数形式的通解
x y
(p ,C ) f ( (p ,C
.
),p )
(p为参数)
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例6 求 方 程 y2xyx22(y) 2的 通 解 .
第六讲 一阶隐式方程的解法
前面讨论的方程都是可解出一阶导数的
微分方程，即显式方程（ y/ f(x,y)）
一阶隐式微分方程是指
F( x, y, y/)0
( 1 )
若能从(1)解出 y 的一阶导数，那么会得到一 个或几个显式方程，用前面的办法求解。
例1: 试求解微分方程：
y'2(3xy)y'3xy0.
1
则（2）有通解
y f (x ,p (x ,C )).
这 里 p=p(x,C)只 能 代 入 y=f(x,p),不 能 代 入 y/ =p.
例5：解 方 程 y -(y ')5-(y ')3 y ' 5 0 .
11
若只能从关于 d p 的方程求得通积分 dx
G (p ,x ,C ) 0,
则可通过联立方程
解
由原方程解出x得：x
1
y/
ln y/.
令ddyx
p,即有x
1
p
ln p.
两端关于y 求导得
1
p
1
p2
dp dy
1
p
dp dy
,
整理得
dp dy
pp1.
8
yp pC 用 分 离 变 量 法 求 解 上 式 得 l n ,
则原方程有参数形式的通解
x
1
p
ln p
. (p为参数)
y p ln p C